线性相关与线性无关

1、§ 9线性相关与线性无关 教学要求：掌握线性相关与线性无关的定义，并能够判断向量组的线性相关性知识要点：一、定义与例子：定义9.1对向量组弘弘厂宀，如果存在一组不全为零的数 <,使得上14 +心兔=Q那么，称向量组 ?-线性相关.如果这样的匸个数不存在，即上述向量等式仅当时才能成立，就称向量组九口厂线性无关.含零向量的向量组 山】一：厶一定线性相关，因为lO+Oflj+Oo + +0 备其中，MM不全为零.只有一个向量二组成的向量组线性无关的充分必要条件是一H,线性相关的充分必要条件是考虑齐次线性方程组如眄+凉说2 *- 0彳角內+呀花+曲菇耳二0柑可+ +陽握冠二0（*）它可

2、以写成二.，或婀+两闵+心备二。其中由此可见，向量组-线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 也就是说，向量组込厂线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组(*) 有非零解.(*)只有零解.例1向量组2(2是线性无关的解：设有U使x坷+ 0即<1、<2 )2+花T丿J ;得齐次线性方程组r 2、(p x23r1 1 >解此方程组得陷-"-,所以向量组r 4线性无关.证明向量组例 2 设向量组 -线性无关，又设-J -_-1 ,也线性无关.证明：设有使（石+右）坷+陽+ 馳+偽+6肉=0因为线性无关，故有& +有=0飞+& 二 0Ag+Aj = 0此线性方

3、程组只有零解I】1,也即向量组线性无关.定理9.1向量组线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余I个向量线性表示.证明：必要性 设 二 线性相关，即存在一组不全为零的数- '<,使得.不妨设t 11 ,则有均=（令碣+ （-勒总即T可以由其余二个向量线性表示.其实，在向量等式：+-，：- 中，任何一个系数小的向量二都可以由其余< 1个向量线性表示充分性 设向量组：；：！中有一个向量能由其余 ；：1个向量线性表示.不妨设则因为一'七不全为零，所以线性相关.二、向量组线性相关和线性无关判别定理：设矩阵的列向量组为,矩阵J的列向量组为丄其中矩阵J是通过对矩阵

4、做行初等变换后得到 的.我们有以下定理： 定理9.2向量组与向量组J有相同的线性相关性证明：记 .那么,当且仅当齐次线性方程组有非零解时向量组线性相关.当且仅当齐次线性方程组有非零解时向量组 线性相关.由于齐次线性方程组或者只是对调了的第个方程与第个方程的位置，或者只是用非零数 】承的第：个方程,或者只是把的第.个方程的丨倍加到第个方程上去,这连个方程组一定是同解的，所以,对应的向量组L，有相同的线性相关性.定理9.3如果向量组 &线性相关，那么'；L,''八!也线性相关.证明：向量组 二倉也线性相关，即存在不全为零的数' -使石珂+右码+4耸-o于是石

5、兔+易闵+&$+0%口+0亀二0但是，二- 仍不全为零，因此，向量组f r线性相关.推论9.4线性无关向量组的任意一个非空部分组仍是线性无关向量组定理9.5设有 ' 维向量组虫：曲二一知J二12申如果向量组 线性无关，那么，向量组J也线性无关.推论9.6 "维向量组的每一个向量添加个分量成为1维向量.如果，维向量组线性无关,那么，：维向量组也线性无关.反言之,如果：维向量组线性相关，那么，“维向量组也线 性相关.定义9.2在門窘型的矩阵中,任取 行 - 列丄',位于这些行列交叉处的 厂个元素，不改变它们在 中所处的位置次序而得的:阶矩阵行列式，称为矩阵的阶子式

6、.切H小机X”型矩阵 丄的上阶子式共有 "丿W 个.定理9.7 设 '维向量组亠二构成矩阵广的I巧JS】an2 "'知丿则向量组线性无关的充分必要条件是矩阵中存在一个不等于零的阶子式.推论9.8】个】维向量组线性无关的充分必要条件是它们所构成的】阶矩阵的行列式不等于零.推论9.9当心时,匸个】维向量K :!必线性相关.思考题：1、举例说明下列各命题是错误的(1) 若向量组 "线性无关，则 可由已 线性表示；若有不全为零的数-'一；使入坷儿务+石A+几久=5则 ; ?线性相关， -! T也线性相关; 若只有当一，全为零时，等式粗+3十漏+才能

7、成立；匸 ?线性无关，- -J"-匕也线性无关； 若f 线性相关，-V - 也线性相关，贝y有不全为零的数 ;： 一:，使風+觎+入亀二切+易瓦+几厲=0同时成立.2、判断下列向量组是否线性相关(1)1025<-1>20“ 7、2-15心二-13A = 6<2；<20；-2-3JTr34-19161rb设向量组：线性无关，讨论向量组二+4二+如二亠®的线性相关性4、 设向量组-七：线性无关，：丄线性相关，贝上 必可由向量组 Jj：*.线 性表示.5、选择题(1) '维向量组 二二心|线性无关的充分必要条件是A. 存在一组不全为零的数上，使1一分 小;B. 二士！中任意两个向量都线性无关；C. 亠二':址中存在一个向量，它不能由其他向量线性表示；D. ':宀中任意一个向量都不能被其他向量线性表示(2) 已知向量组线性无关，则向量组A. =7二1 +止良+匕,m _ v也线性无关；B. '儿'! '： 7 也线性无关;C. :巴+二厂坷二-二也线性无关;D. 寿+二°厂坷7也线性无关