初中数学竞赛辅导-韦达定理及其应用

1、.n学科：奥数年级：初三不分版本期数：346本周教学内容：韦达定理及其应用【内容综述】设一元二次方程g2+队+,=OQ工0有二实数根工】和勺,那么4+这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a,b,c的关系,称之为韦达定理.其逆命题也成立.韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用.本讲重点介绍它在五个方面的应用.【要点讲解】1 .求代数式的值应用韦达定理及代数式变换,可以求出一元二次方程两根的对称式的值.ba例1假设a,b为实数,且层+%+1=口,户+登+1=.,求1十后的值.思路注意a,b为方程/+3+1=口的二实根：隐含空口.解1当a=b时,

2、一十=2ab.2当/于方时,由及根的定义可知,a,b分别是方程M+3t+l=0的两根,由韦达定理得aW,ab=l.,b_a+匕尸一2劭_-32-2x1.+=abdbab11 12 2s5-4-说明此题易漏解a=b的情况.根的对称多项式"+可,4+M,门叼等都可以用方程的系数表达出来.一般地,设马,/为方程/+改+匕=口的二根,+芍,那么有递推关系.+c*=0其中n为自然数.由此关系可解一批竞赛题.附加：此题还有一种最根本方法即分别解出a,b值进而求出所求多项式值,但计算量较大.例2假设陆2=附+1,且加#力,试求代数式的值.思路此例可用上例中说明局部的递推式来求解,也可以借助于代数变

3、形来完成.解：由于加由根的定义知m,n为方程炉-乂-1=0的二不等实根,再由韦达定理,得k+找=1mn=-1.m7+/=卜+/),椅+阴-/-疗/='+Ji)2-2ra«2-2MM.归+jiJ3_3z?3M(m+?i)-(wiji)3(ra+n)=(l2-2(-1)2-2(-1)2).1s-3(-1).1-(-1)3-1=7x4+1=292.构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积,那么可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程.例3设一元二次方程工一以十'二"的二实根为a和A(1)试求以1和/为根的一元二次方程：(2)假设以a?和/为根

4、的一元二次方程仍为/-川+°=0.求所有这样的一元二次方程.解(1)由韦达定理知你44二尸豕?y,o：./,=(喇3=/,陵+伊二(«+砰-3啰(口+.)=/-3的O所以,所求方程为1-M-3加/吗p=p(p2-3q)(2)由己知条件可得q3=q'解之可得由得夕二°,ti分别讨论(p,q)=(00),(1,0),(1,0),(0,1),(2,1),(一2,1)或(0,-1).于是,得以下七个方程M=0,-"0,/+工=0,M+1=CI,M-2x+1=D,x2+2x+1=0,x21=O,其中x2+l=0无实数根,舍去,其余六个方程均为所求.xi+=

5、-20,Xjr2=6-方程二根均大于1的条件为=4,-46-a>0,«ij-1十马-1=一2.一2>0,11-也-L=6-a-2a+1>0.解之得-7<a<-3方程二根中一个大于1,另一个小于1的条件为/=4a2-46-a>0,x-lx、-1=6a-2a+1<0.解之得.a<-7a说明此例属于二次方程实根的分布问题,注意命题转换的等价性；解题过程中涉及二次不等式的解法,请参照后继相关内容.此例假设用二次函数知识求解,那么解题过程极为简便.5.求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程组中也有着许多巧妙的应用.例6解方程做

6、+7户位+4次+1=6.解：原方程可变形为6x+726x+86x+6=72令6工+72,儆+矶故+6=匕.那么0+-劝=1夕卜劝=-72由韦达定理逆定理知,以a,-b为根的一元二次方程是/-7-72=0O解得】=-8,%=9.即a=8或a=9.；«=-8961+7尸="或1?=一3通过6人然短+6=.求解*结果相同,且严谨.卜+7&,麻+7舍去.=_2=_5解之得"一1,%一此种方法应检验：6芯+观6芯+6=匕是或否成立本周强化练习:A级 1.假设k为正整数,且方程:T/一脍/+72=0有两个不等的正整数根,那么k的值为o 2.假设黜+1氏+16=口,+1

7、1k16=°仅,那么g-辰. 3.乙和工2是方程Mt一1=.的二实根,那么2次+%=. 4.方程一+2工-巾+1=0m为整数有两个不等的正整数根,求m的值.B级 5.：或和浦为方程淤+抨+°=°及方程*+内、寸+.的实根,其中n为正奇数,且ap求证：户,石是方程二十1-k+r=°的实根.6.关于x的方程/+上=3一的二实根龙和/满足像,加:2,试求k的值.旖放胃傕业后再冒答麋！C参考答案1. 2126提示：原方程即代+1,-3优-1卜-6=口,所以"加+1,"1由仔+邛2知k=l,2,3,5,11；由旭知k=2,3,4,7.所以k=2

8、,3,但k二3时原方程有二相等正整数根,不合题意.故k=2.士回2. -4提示：由x,y为方程*2+1加+16=£1的二根,知="=16.于是原式=7=；一=±：Jk+F'_4寸=土"府444.3. 21提示：由*=+1,后=勺+1,.+4=1知,铝+元=24卜+12+5勺勺+1=2/xj+2勺+1+512+5x2=2工1工1十1+2工+1十5x2+1十512=6x?+4rl+10r2+5=61十.+4i+1Ox2+5=10x+x2+1=21a+g=Tn,4. 设二个不等的正整数根为以,/0户,由韦达定理,有一隙+L消去m,得A磔".-/?=10即.-1伊-1=2.那么0f-1=1且加1=2.；.&=2,产=3故m=-仪+/=-55. .由韦达定理有口十户二一户,侬1F.+/V+F=0泮+s俨+/=0.X»,二式相减得卜-夕卜+夕+川=0.,3,歹:.£+歹卅=Q,O将种"代入有£+/-卜+郎=.x、兄/、Xa4a_十1一+1=0从而w),(6V-+1-2+1=0同理W/9/,口p豆和.是方程工"一k+炉=°的根.6.当01=|3时,可知01=0=1,所以14+1<=3乂12=1&l