立方插值简介

1、三次样条插值（Cubic SplineInterpolation）及代码实现（C语言）样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。本篇介绍力求用容易理解的方式，介绍一下三次样条插值的原理，并附C语言的实现代码。1.三次样条曲线原理假设有以下节点If :脚 如1.1定义样条曲线才是一个分段定义的公式。给定 n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：a. 在每个分段区间几"匚41 （i = 0, 1,-仁用递增），冒（时=尽都是一个三次多项式。b. 满足 * "门"（i = 0, 1,），nc. 觇Jf

2、），导数r，二阶导数中时在a, b区间都是连续的，即圧（1曲线是光滑的。所以n个三次多项式分段可以写作：5（*）=曲+ b（工-岭）+ G（曲一 *i）3 +血（兀一巧）巴，i = 0, 1,-1 , n其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。1.2求解已知：a. n+1 个数据点xi, yi, i = 0, 1,，nb. 每一分段都是三次多项式函数曲线c. 节点达到二阶连续d. 左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界）根据定点，求岀每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。插值和连续性:样条曲线的微分式:-2 , n閤H «, +- j 牛-+F

3、 + 叫 斗F占：1 巧 =-fci 4-斗+ ：如/工X, )J町倒=+盹3 mJS；(x)= 8 + & (工十宵(工£沪 +缶卩啓(W)= ®码)+曲尸= 2ct + 64r(z 3fj)将步长c.由(i = 0,1,-2)推)出hi xi带入样条曲线的条件:stCx;+i)- + 2勺(乱"一禺)+ 3必(旳十1 -石严=® + 2cth + 3dt li2 f+l(i + i)= 0+1 + 2C£(3ti+i i+i) + 3( Off+i 21+1)2 = +1由此可得:6； + 心 + 3hfdi ®+i =

4、0d. 由 *(E)=略(E)(i = 0, 1,-2)推出2ci + fih jdt 2«：j+i = 0丁e = S.r.i) = 2ci，则a.2：j + ahfdf = 0可写为:nij + Hhjdt = 0，推岀j -卅巧+1_卄钉8 _ Ghtb.将ci, di带入b严啥恤1A十h曲百十hfq十h,也:=J/.+ i可得:c.将 bi, ci, di 带入软刑41 - g)bi + 2A口 十 3h®di = b*,(i = 0, 1,-2)可得:讲+2"屮 _ ?A+l?/rh片険+ 2(/ij + /i*_|_i)»n；_|_i + 6

5、端点条件由i的取值范围可知，共有 n-1个公式，但却有n+1个未知量m。要想求解该方程组，还需另外两个式 子。所以需要对两端点 x0和xn的微分加些限制。选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。a. 自由边界(Natural)首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即日"=。具体表示为三)和 则要求解的方程组可写为:5100 02伽+ i3加】hl2(/11 + 如)U0o2ftj十斤耳）* -2(治T +丹片_订h_ i()*層0 1Ua 血"丁一的V4-WXfl 1”一ghjJfn- l !/一；!“Fl忙 一*1_“1 M"珂rtf 2Eg4rm r.55b.

6、固定边界(Clamped)首尾两端点的微分值是被指定的，这里分别定为A和B。则可以推出& 茁一 Mh 尿 加#i”! =fHll 石“"1 1 f °)2/ionifl + hom i = 6 -n!-i*»n-i + 2hnmn = 6 B-将上述两个公式带入方程组，新的方程组左侧为*h0* * * * 02(S + h>)hi0 ；02(1+M知0s(*= = 0nI- e00a n - r0*邛*_2JFin_ ic.非节点边界（Not-A-Knot）指定样条曲线的三次微分匹配，即霁Z = 街）I _ 幷订-仙根据 y）血和J 一 ，则上述条件

7、变为心（"-）=切（"一 mJ觴_1（皿“_1 一 nrJ =亦久皿口 一 卅5_1）新的方程组系数矩阵可写为：-Al山0 +加一 h斗d «0hu2(ho + hjh】0r4t)2(h| + 血)帕Dfi-I0I'1'II»i0(I« i- n1m-221 叽-a + hfl-i)叽-I0I I- #-1 1 »h_Lllft-2 + /l rt -1fljr-?右下图可以看岀不同的端点边界对样条曲线的影响:1.3算法总结假定有n+1个数据节点a. 计算步长加二叫和一 J：i (i = o, 1,-1) , nb. 将数据节点和指定的首位端点条件带入矩阵方程c. 解矩阵方程，求得二次微分值“鞋。该矩阵为三对角矩阵，具体求法参见我的上篇文章：三对角矩阵的 求解。d. 计算样条曲