求数列通项公式的方法归纳与训练

1、求数列通项公式的方法类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解.例1 已知数列满足，求数列的通项公式。变式：1.已知数列满足，求数列的通项公式.2. 已知数列满足，求.类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列满足，求.例3:已知， ，求.变式: 1已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 2. 已知数列满足，求数列的通项公式.类型3 （其中p，q均为常数，）.解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例4:已知数列中， ，求.变式: 在数列中，若，则该数列的通项_类型4 （其中p，q均为

2、常数，）（或,其中p，q, r均为常数）.解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决.例5:已知数列满足，求数列的通项公式. 变式 : 已知数列中，,，求.类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法(待定系数法)：先把原递推公式转化为,其中s，t满足例6：已知数列中,，求数列的通项公式.例7:已知数列中，,，求.变式: 1.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；2.已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和.类型6 递推公式为与的关系式。(或)解

3、法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解.例8：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.变式: 1.已知数列中，,求通项.2. 已知数列的前n项和为,求通项.3. 已知数列的前n项和Sn满足,求通项公式.4. 已知数列的前n项和Sn=1+2an,求通项公式.求通项.5. 已知数列中,求通项.6.已知数列的前n项和满足,求通项.7.已知,求通项.8.已知正项数列an,其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列求数列an的通项an 类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例

4、9:设数列：，求. 例10：已知数列满足，求数列的通项公式。 例11：已知数列满足，求数列的通项公式。例12： 已知数列满足，求数列的通项公式。类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例13：已知数列中，求数列类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为.例14：已知数列an满足：，求数列an的通项公式.变式: 1.若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式.2.已知数列满足时，求通项公式. 3.若数列a中，a=1，a= nN，求通项a 类型10周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期例15：若数列满足，若，则的值为 .变式: 已知数列满足，则=

5、（ ）A0BCD 求数列通项公式的方法类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解.例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为.评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。变式：1.已知数列满足，求数列的通项公式.解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式. 2. 已知数列满足，求.类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解.例2:已知数列满足，求。例3:已知， ，求。变式:（2004，全国I,理15）1.已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 解

6、：因为所以用式式得则故 所以由， 取n=2，则=1，代入得. 所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式.2. 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式.类型3 （其中p，q均为常数，）.解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例4:已知数列中，求.变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_ 类型4 （其中p,q均为常数）（或,其中p,q, r均为常数）解法：一

7、般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例5：已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得， 所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式.变式 : 已知数列中，,，求.类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足例6：已知数列中， ，求数列的通项公式.例7:已知数列中，,，求.变式: 1.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II

8、）求数列的通项公式； 2.已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和.类型6 递推公式为与的关系式.(或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解.例8：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.（2）应用类型4（其中p，q均为常数，）的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以变式: 1.已知数列中，,求通项.2.已知数列的前n项和为,求通项.3.已知数列的前n项和Sn满足,求通项公式.4.已知数列的前n项和Sn=1+2an,求通项公式.求通项.5.已知数列中,求通项.6

9、.已知数列的前n项和满足,求通项.7.已知,求通项.8. （2006，陕西,理,20本小题满分12分) 已知正项数列an,其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列an的通项an 类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.例9 : 设数列：，求.例10：已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的

10、通项公式，最后再求出数列的通项公式.例11：已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得 整理得。令，则，代入式得 由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则.评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式.例12：已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 将代入式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入式，得 由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例13：已知数列中，求数列类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为.例14：已知数列