练习册第4章《振动》答案(20220215215249)

1、第4章振动一、选择题1(C), 2(B) , 3(C), 4(E) , 5(C), 6(D) , 7(B) , 8(D) , 9(B) , 10(C)二、填空题(1) .、- /2 分、(2) .2 . 2m / k、2 m/2k(3) . x 0.04cos( t 2 ).0.04cos(4 t 2 ).x 2 10 2 cos(5t/2 2 ).0.05 m, -05 或-3(7) . 3/4, 2l/g(8) . 291 Hz 或 309 Hz-21(9) .4X 10 2 m,2(10) . 4:3二、计算题图11 如图1所示，一定滑轮的半径为 R,转动惯量为 J其上挂一轻绳，绳的 一

2、端系一质量为 m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如下列图.设弹簧 的劲度系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力.现将物 体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角 频率.解：取如图x坐标，平衡位置为原点 0，向下为正，m在平衡位置时弹簧已伸 长X。设m在x位置，分析受力，这时弹簧伸长x x0mg kx0T2 k(x x)由牛顿第二定律和转动定律列方程：mg T1 maT1R T2R Jkx联立解得a R2(J /R ) m由于x系数为一负常数，故物体做简谐振动，其角频率为I kkR2.(J / R2) m J mR22. 在直立的U形管中装有质量为

3、m = 240 g的水银密度为 =13.6 g/cm3，管的截面积为S = 0.30 cm2.经初始扰动后，水银在管内作微小振动不计各种阻力试列出振动微分方 程，并求出振动周期.解：建立竖直坐标如图，令微小振动中，两臂水银面相平时，水银面坐标为0，水银的重力d x势能为0，那么以右臂水银面的坐标为准，在振动中任一时刻，水银的运动速度v丄匕.这dt1时振动中水银的动能为 一mv2，水银的势能看作两水银面相平的状态下，从左臂移高度2为x的一段水银柱到右臂，那么有质量为S x的水银升高了高度 X为S gx2因振动中机械能守恒对t求导数可得化简1 2-mv2dvmv 一dtdx2m亏dt2这就是简谐振

4、动的微分方程.由此可得振动角频率2S gx 常量2S gxv 02S gx 02S g:m1.09 s振动周期)的规律作自由振3. 质量m = 10g的小球与轻弹簧组成的振动系统，按x 0.5cos(8 t动，式中t以秒作单位，x以厘米为单位，求(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相；(2) 振动的速度、加速度的数值表达式；(3) 振动的能量E;(4) 平均动能和平均势能.解: (1)A =0.5 cm;=8 s1; T = 2 /=(1/4) s ;=/321(2)vx410 sin(8 t3)(SI)ax322 10 2cos(8t13)(SI)(3)EEkEp1 . A2 1 kAm2A

5、2x 10-5 J2 2平均动能Ek(1/T)T1mv2dt02T 12、 2 2 一1、,(1/T) -m( 410)sin (8t)dt23-51x10 5 J = E2 1同理Ep E x 10-5 J4. 一质量m = 0.25 kg的物体，在弹簧的力作用下沿 x轴运动，平衡位置在原点.弹簧的劲度 系数 k = 25 N m 1.(1) 求振动的周期T和角频率.(2) 如果振幅A =15 cm , t = 0时物体位于x = 7.5 cm处，且物体沿x轴反向运动，求初 速vo及初相.(3) 写出振动的数值表达式.解:(1)k/ m 10 s1T2 /0.63s(2) A = 15 cm

6、，在t = 0 时，X0 = 7.5 cm , v i0 0 , 3(3)x 1510 2 cos(10t1 )(SI)35. 如图5所示，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24 N/m ,重物的质量m = 6 kg ,重物静止在平衡位置上.设以一水平恒力 F =10 N向左作用于物体不计摩擦，使之由平衡位置向左运动了0.05m时撤去力F.当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的 运动方程.解：设物体的运动方程为x Acos( t ).恒外力所做的功即为弹簧振子的能量：F X 0.05 = 0.5 J.当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为J,即:1 2-kA 0.5 J,

7、 A = 0.204 m .2A即振幅.k / m 4 (rad/s)2=2 rad/s.按题目所述时刻计时，初相为=.物体运动方程为x 0.204 cos(2t ) (SI).四研讨题1. 简谐振动的初相是不是一定指它开始振动时刻的位相?参考解答：对于一个振幅和周期已定的简谐振动，用数学公式表示时，由于选作原点的时刻不同，值就不同。例如，选物体到达正向极大位移的时刻为时间原点，那么值等于零；如果选物体到达负向极大位移的时刻为时间原点，贝y等于 。由于 是由对时间原点的选择所决定的，所以把它叫做振动的初相。简谐振动的初相不是一定指它开始振动时刻的位相。思考题：任何一个实际的弹簧都是有质量的，如

8、果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？2. 任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大 还是变小？ 参考解答：因为弹簧振子的周期决定于系统的惯性和弹性，惯性越大那么周期越大。因此可以定性地说，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的周期肯定会变大。假设振子的质量为 M，弹簧的质量为 m,弹簧的劲度系数为 k,可以计算出，在考虑了 弹簧的质量之后，弹簧振子的振动周期为M m/3例：劲度系数为k、质量为m的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解弹簧振子的振动周期(m M )。解：平衡时0点为坐标原点。物体运动到 x处时

9、，速度为v .设此时弹簧的长度为 L，取弹簧儿dl分析：质量dm mdl，位移为x前提：弹簧各等长小段变形相同，位移是线性规律，速度为:l dx lv.L dt L弹簧、物体的动能分别为：EkiTmdl -v0 2 L L1mv6Ek2 -Mv2.2kx2系统弹性势能为：Ep 竺.2系统机械能守恒，有：1 Mv221即(M21mv6m 2肆将上式对时间求导，整理后可得:MIkx22kx22m dv常数常数kx比拟简谐振动微分方程，知M m/3kLL3. 弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐运动，同一弹簧振子在简谐驱动力持续作用下的稳态 受迫振动也是简谐运动，这两种简谐运动有什么不同？ 参考解答：这两种振动虽都是简谐振动，其振动的表达式x Acos( t)形式也相同，但两种运 动有很多的不同，这可从振动的运动学特点和动力学特点两个方面来说明。从运动学来说，两种振动的频率、振幅、初相、速度、