第四讲-全等三角形与角平分线(20220216051831)

1、第四讲全等三角形与角平分线【知识回忆】1全等三角形的性质与判定2、角平分线的性质与判定【讲解与练习】1如图，四边形 ABCD中，/ BAD= / BCD=90 ° AB=AD，假设四边形 ABCD的面积为 24cm2,贝V AC 长是cm .2 .如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10cm ,0C=6cm . F 是线段0A上的动点，从点 O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点 Q在线段 AB上A、Q两点间的距离是 0、F两点间距离的a倍假设用a, t表示经过时间 ts时， OCF、A FAQ、 CBQ中有两个三角形全等.请写出a, t

2、的所有可能情况.3. 如图， ABC三个内角的平分线交于点 0,延长BA到点D,使AD=AO，连接DO , 假设BD=BC，/ ABC=54 °那么/ BCA的度数为 °4. 如下列图，AB=AC , AD=AE，/ BAC= / DAE，/ 1=24° / 2=36° 那么/ 3=.那么厶ABC 6.如图，点 D在BC 上, DE丄AB于点E, DF丄BC交AC于点F, BD=CF , BE=CD .假 设/ AFD=145。，那么/ EDF=.7.如图，五边形 ABCDE 中，/ ABC= / AED=90 ° AB=CD=AE=BC +D

3、E=2，那么五边形ABCDE的面积为&如图，在5X 5的正方形网络，在网格中画出点F,使得 DEF与厶ABC全等，这样的格点三角最多可以画出 个.9 .如图，0是厶ABC内一点，且0到三边 AB、BC、CA的距离 OF=OD=OE，假设/ BAC=70 ° Z BOC=.10. 如图， ABC的周长是12, OB、OC分别平分Z ABC和Z ACB , OD丄BC于D，且OD=3，那么 ABC的面积是.11. 如图，OC 平分Z AOB , Z AOC=20 ° P 为 OC 上一点，PD=PE, OD 工 OE, Z OPE=110°那么Z ODP=&#

4、176;12.如图， ABC中，Z A=60 ° AB >AC，两内角的平分线 CD、BE交于点O, OF平分Z BOC 交 BC 于 F, 1Z BOC=120 °2连 AO，那么 AO 平分Z BAC ; 3A、O、F 三点在同一直线上，4OD=OE ,5BD+CE=BC .其中正确的结论是 填序号.13.如图 1, ABC 中，AB=AC , Z BAC=90 边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点 E、F .，直角Z EPF的顶点P是BC中点，两1求证：AE=CF ;2求证： EPF是等腰直角三角形;3求证：Z FEA + Z PFC=45°4求证

5、：S PFC- Sa pbe=SaABC .14.如图， ACO为等腰直角三角形.1假设C- 1, 3，求A点坐标；2过A作AE丄AC,假设/ FEO= / COE，求/ EOF的度数；3当厶ACO绕点O旋转时，过 C作CN丄y轴，M为AO的中点，/ MNO的大小是否 发生变化？15. 如图，在 ABC中，D是边BC上一点，AD平分/ BAC，在AB上截取 AE=AC，连 接DE, DE=2cm , BD=3cm，求线段 BC的长.16. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分/ DAE , DA / CE, AB=CB .1试判断BE与AC有何位置关系？并证明你的结论；2假设/ DAC=2

6、5 °求/ AEB的度数.17. 如图，在 ABC中，AD平分/ BAC，请利用线段之比可转化为面积之比的思路方法,求证:BD_AB工心.18. 如图， ABC 中，/ C=60 ° AD , BE 分别平分/ CAB , / CBA、AD、BE 交于点 P.求 证：1/ APB=120 °2点P在/ C的平分线上;3AB=AE +BD.19. 1如图1，在 ABC中，/ ABC= / ACB , AB的垂直平分线交 AB于点N，交BC 的延长线于点 M,假设/ BAC=40 °求/ AMB的度数；2如图1，如果将1中的/ BAC的度数改为70°

7、;其余条件不变，再求/ AMB的 度数.20. 在 ABC中，AD是/ BAC的平分线.1如图，求证:AC2如图 ，假设BD=CD，求证：AB=AC ;3如图 ，假设 AB=5 , AC=4 , BC=6 .求BD的长.【作业】1. 石门福地小区有一块直角梯形花园，测量 花园面积为平方米.AB=20 米，/ DEC=90 ° / ECD=45 ° 贝U该2. 如图，在 ABC中，AB=AC，/ BAC=90 ° AE是过 A点的一条直线， CE丄AE于E,BD 丄 AE 于 D, DE=4cm , CE=2cm，贝U BD=3. 如图，在 Rt ABC中，AC=B

8、C，/ C=90 ° AB=8，点F是AB边的中点，点 D、E分 别在AC、BC边上运动，且保持 AD=CE，连接DE、DF、EF .在此运动变化的过程中，以下结论中正确的结论是 1 DFE是等腰直角三角形；2四边形CDFE不可能为正方形；3DE长度的最小值是4;4四边形CDFE的面积保持不变；5 CDE面积的最大值为 4.4. 在直角坐标系中，如图有厶 ABC，现另有一点D满足以A、B、D为顶点的三角形与ABC全等，那么D点坐标为AD=2cm , AB +BC=8 ,5. 如下列图，在 ABC中，/ A=90 ° BD平分/ ABC ,Sa abc =.F, DE=DG

9、, ADG 和厶 AED 的面6. 如图，AD是厶ABC的角平分线，DF丄AB ,垂足为 积分别为50和38,那么厶EDF的面积为 .7. 如图，在 ABC 中，/ ABC=90 ° AB=BC , A 4, 0，B 0, 2圏1ffiiH31如图1,求点C的坐标；2如图2, BC交x轴于点 M , AC交y轴于点N，且BM=CM，求证：/ AMB= / CMN ;3如图3,假设点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以 OB、AB为直角边在 第一、第二象限作等腰直角厶 BOF与等腰直角 ABE，连接EF交y轴于P点，问当点B 在y轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？假设变化请说

10、明理由，假设不变化，请求出 其长度.&如图，在厶ABC中，/ B= / C, AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.点 P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C点向 A点运动.1假设点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，那么经过1s, BPD与厶CQP是否全等？ 请说明理由；2假设点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使9.如图，AD / BC,/ D=90 °1如图1,假设/ DAB的平分线与/ CBA的平分线交于点 P,试问：点P是线段CD的 中点吗？为什么？2如图2，如果P是DC的中点

11、，BP平分/ ABC，/ CPB=35 °求/ PAD的度数为多少？10.观察、猜测、探究：在厶 ABC 中，/ ACB=2 / B.1如图 ，当/ C=90 ° AD为/ BAC的角平分线时，求证：AB=AC +CD ;2如图，当/ CM 90° AD为/ BAC的角平分线时，线段 AB、AC、CD又有怎样的 数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜测；3如图，当AD ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜测，并对你的猜测给予证明.L/A.ZsD (图? s75c s cd图遛参考答案与试题解析1.J - cm. 2.解： 当

12、厶COF和厶FAQ全等时,OC=AF , OF=AQ 或 OC=AQ , OF=AF ,6=1 () - + rMa/t/ OC=6 , OF=t, AF=10 - t, AQ=at，代入得：?或，解得：t=4, a=1,或 t=5 ,a= 一， 1,4，匕，5； 同理当 FAQ 和厶 CBQ 全等时，必须 BC=AF , BQ=AQ ,10=10 - t, 6 - at=at,此时不存在； 因为 CBQ最长直角边 BC=10，而 COF的最长直 角边不能等于10，所以 COF和厶BCQ不全等，F, Q, A三点重合，此时 COF和厶 CBQ 全等，此时为0,10故答案为：1 , 4，

13、7;, 5， 0,10.53.42 ° 4.60° .5.A DCB ，/ DCB . 6.55°延长 DE 至 F, 使 EF=BC，连 AC , AD , AF , v AB=CD=AE=BC +DE , / ABC= / AED=90 ° 由题中条件可得 Rt ABC也Rt AEF , ACD AFD , SABCDE =2SAadf =2 X ?DF?AE=2 X X 2X 2=4.2 2故答案为：4.&4 个.9.125° . 10.18 . 11 .130 ° 12. 124 5填序号.£13.证明：1连

14、结AP , EF;v ABC为等腰直角三角形，且点P为斜边BC的中点, PA=PB=PC , PA丄 BC ;而/ EPF=90° ° APF= / BPE , / PAC= / PBA=45 ° °/ PAF=Z PBE=135 °APF BPE ASA, AF=BE ,而 AB=AC , AE=CF .2 APF 也厶 BPE , PF=PE ,而/ EPF=90 ° ,EPF 为等腰直角三角形.3 APF 也厶 BPE , PFA= / PEB , FEA + Z PFC=ZFEA+Z PEB=45 °4 / APF

15、= BPE, Sa apf=S pbe , Sapfc- Sa pbe=SapfcSAAPF=sAAPC ,而(2,pfc- SapbeSaabc .14.解：1作CD丄y轴，AB丄DC延长线于点B ,vZ BAC +Z BCA=90 ° , Z BCA +Z DCO=90 ° Z BAC= Z DCO , ABC CDOAAS， BC=OD=3 , AB=CD=1 , A 点坐标-4 , 2；2 / EOF=45 °3不变，理由如下：作 MK丄ON于K点，MF丄NC于F点，连接:81MC , vZ MFC= Z CNO= Z MKN=90 ° Z FM

16、K=90 °四边形 MKNF为矩形，vAC=CO , M 是 AO 中点，/ CMO=90 °, CM=MO , vZ CMO= Z CMK +Z KMO , Z FMK= Z FMC + Z CMK ,/ KMO= / FMC , FMC KMOAAS，/ FM=MK ,矩形 MKNF为正方形，/ MNO=45 °15. 解：T AD 平分/ BAC BAD= / CAD ADE ADC SAS DE=DC BC=BD +DC=BD +DE=2 +3=5 cm.16. 1答：BE 垂直平分 AC,证明：T AC 平分/ DAE，/ DAC= / EAC ,/ D

17、A / CE,DAC= / ACE，/ ACE= / EAC , EA=EC , E 在 AC 的垂直平分线上，t AB=CB， B在AC的垂直平分线上， BE垂直平分 AC ;2解：t AC 是/ DAE 的平分线，/ DAC= / CAE=25 ° 又t DA / E/ DAC= / ACE=25 °CAE= / ACE=25 AE=CE，/ AEC=130 ° AEB CEB， / AEB= / CEB， / AEBj 360° / AEC=115° 17面积法丄/ ABC+/ BAC丄1802 218. 证明：1t/ C=60 

18、6; AD、BE是厶ABC的角平分线， / ABP=1 / ABC , / BAP=1 / BAC , / BAP+/ MBP=2 2/ C=60 °APB=120 °2丨如图1,过P作PF丄AB , PG丄AC , PH丄BC , t AD , BE分别平分/ CAB , / CBA , PF=PG , PF=PH , PH=PG , 点 P 在/ C 的平分线上；3如图2,在 AB上取点 M使AM=AE ,连接PM t AD是/ BAC的平分线，PAM= / PAE ,AMP AEP , APM= / APE=180。-/APB=60 ° ,BPM=180。-

19、/ APM +/ APE=60° ° / BPD= / APE=60 ° ° BPM= / BPD ,t BE 是/ ABC 的角平分线,MBP= / DBP,BOM BOD , BM=BD , AB=AM +BM=AE +BD .19. 解：T/ ABC= / ACB , / BAC=40 °，/ ABC=70 ° t AB 的垂直平分线交 AB 于点 N , 交 BC 的延长线于点 M, AM=BM , / BAM= / ABC=70 ° , / AMB=180。-/ ABC / BAM=40 °2t / AB

20、C= / ACB , / BAC=70 ° , / ABC=55 ° , t AB 的垂直平分线交 AB 于点 N , 交 BC 的延长线于点 M, AM=BM，/ BAM= / ABC=55 ° , / AMB=180。-/ ABC / BAM=70 °20. 解：1如图 ，证明：作 DE丄AB于E , DF丄AC于F, t AD是/ BAC的平分线, 弘ABD _尹恻_AB DE=DF 一ABAB 1%ACD AC，暨, AB=AC ;沁厦D匕QDF乩2t BD=CD , S abd=Saacd 由1的结论-_丄上1 二订'二_ 二丄丄 I：

21、-* 二，也8比_即AACD °C由1的结论SAABD _ABAACD 也 BE AB 5 ， -DC AC 43如图，过A作AE丄BC,垂足为E,200. 2. 6cm . 3. 1.4. 2022?吉安模拟在直角坐标系中，如图有厶 顶点的三角形与厶 ABC全等，那么D点坐标为ABC，现另有一点D满足以A、B、D为 0,- 2或2,- 2或2, 2.5.8cm2 . 6.6 7 .解：1作 CD 丄 BO ,/ CBD+Z ABO=90 ° / ABO + Z BAO=90 ° /-Z CBD= / BAO , ABO BCD AAS，/ BD=AO=4 , C

22、D=BO=2 ,/ C 点坐标2, - 2；23作EG丄y轴，vZ BAO +Z OBA=90 ° Z OBA + Z EBG=90 ° Z BAO= Z EBG , BAO EBG AAS, BG=AO , EG=OB,v OB=BF，/ BF=EG , EGPA FBP AAS, PB=PG , PB=&解：1点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后， BPD与厶CQP全等,理由是：v AB=AC=10 厘米，点 D 为 AB 的中点，/ B= Z C, BD=5 厘米，/ BP=CQ=3t厘米=3 厘米， CP=8 厘米-3 厘米=5 厘米=BD ,

23、 DBPPCQSAS；2设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使厶BPD与厶CQP全等,v BD=5 厘米，BP=3t 厘米，CP= 8 - 3t厘米，CQ=xt 厘米，Z B= Z C,当 BP=CQ , BD=CP 或 BP=CP, BD=CQ 时， BPD 与厶 CQP 全等，即 3t=xt, 5=8 -153t,解得：x=3不合题意，舍去，3t=8 - 3t, 5=xt，解得：,1 %即当点Q的运动速度为厘米/时时，能够使厶BPD与厶CQP全等.49. 解：1点P是线段CD的中点.理由如下：过点 P作PE丄AB于E,/ AD / BC，/ D=90 ° / C=180。/ D=90 ° 即 PC丄 BC,：/ DAB 的平分线与/ CBA 的平分线交于点 P,. PD=PE , PC=PE , PC=PD，点P是线段CD的中点；2过点 P 作 PE丄 AB 于 E,： AD / BC，/ D=90 ° :丄 C=180 °-/ D=90 ° 即 PC丄 BC . PBE PBC AAS，/ EPB= / CPB=35