第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题答案初中一年级组第

1、第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组)一、填空题(每题10分，共80分)题号12345678答案670405921742944403解答以下各题(每题10分，共40分,要求写出简要过程)9. 是否存在长方体，其十二条棱的长度之和、体积、外表积的数值均相等？如 果存在，请给出一个例子；如果不存在，请说明理由 答案：否解答：假设存在长a、宽b、高c的长方体满足：abc = ：(ab be ca)二(a b c).于是abc(a b c)二(ab bc ca) =这样a bc ab c abc- = a b - b e - c- >(a bc ab c abc),即

2、a bc ab c abc a b " b b ca =:一.又 a>0, bnO, caO,于是 a2b2+b2c2+c2a2+a2bc+ab2c+abc2 >0 矛盾!10. 如图，正方形ABDF的边长为6厘米，ZEBC的 面积为6平方厘米，点C在线段FD的延长线上，点 E为线段BD和线段AC的交点.求线段DC的长度. 答案:3厘米解答：连接线段FE.设线段DC的长度为x,线段DE的长度为y.由ZEBC的面积为6平方厘米和正 方形ABDF的边长为6厘米,得xy =6x -12 .又ZEDF的面积为3y, ECD的面积为xy ,而SCF的面积为3(6+x).另外ACF的

3、面积=AEDF的面积+ AECD的面积+ EFA的面积3(6+x)= 3y+ xy+18.解由联立的方程组得x = 3, y = 2.所以DC的长度为3厘米.班D)11. 如右图，先将一个菱形纸片沿对角线 AC折叠, 使顶点B和D重合.再沿过A, B (D)和C其中 一点的直线剪开折叠后的纸片，然后将纸片展 开.这些纸片中菱形最多有几个？请说明理由.答案：0解答：菱形纸片沿对角线折叠后是等腰三角形，如图，ABC中，AB=BC.假设过顶点A或C剪开，沿AE剪开，展开后会得到两个三角形 和一个四边形.如果展开后的四边形是菱形，需要满足 AE=CE.显然.CAE CAB ,而.CAB ,故.CAE

4、： C , 所以AE EC,因此这个四边形纸片不是菱形.(或：假设四边形纸片为菱形，那么点E在AC的垂直平分线上.由点B 在AC的垂直平分线上，故BE丄AC,即BC丄AC,这是不可能的！所以这个四边形纸片不是菱形.)假设过顶点B剪开，如图，沿BF剪开，展开后 会得到两个四边形.在CBF中， CBFA, 而.C A,故.A ： BFA ,所以 AB BF , 因此这个四边形纸片不是菱形 .同理，另一个纸片也不是菱形.综上，这些纸片中没有菱形.12. 证明：任意"个整数中，至少有两个整数的平方差是的倍数.证明：整数被7除的余数可以分为余0,余±,余吃，余出四类根据抽屉原理，这、

5、个整数中一定有两个属于同一类，不妨设这两个数是a=7m+r, b=?n+l,其中 r=0, ±, ± ±l=±r.当丨=r 时,a -= m - n m ：； ；：'n 二r是 的倍数；当丨-r 时，a 二 - b 二=m - n ：r m n也是 的倍数三、解答以下各题每题15分，共30分，要求写出详细过程13. 直线a平行于直线b, a上有丄个点A-, A<, A,-, b上有二个点B,B?, B-,用线段连接A和Bj i= :/，工，j=l,，二，所得到的图形中一条边在a上 或者在b上的三角形有多少个？答案:5995解答：其中一条边在

6、a上或者b上的三角形分两种情况.情况1:三角形的三个顶点都在a或者b上，这样的图形与三个点有关，两 个点在a上，一个点在b上，或者两个点在b上,一个点在a上.这样的三角形有汇10汇101債11 + 11"1汉111；<10 =495 + 550 = 104512丿12丿情况2:三角形中有两个顶点在a, b上,另一顶点是这些线段ABj i=l, 丄，j=-/，二的交点,这样的三角形与四个点有关,其中两个点在a上, 两个在b上.每组这样的四个点决定2个三角形满足一条边在a或者b上.这样的 4个一组共有 丄10 10 -1- 11 11一1；丄45 55 = 2475组,12八2丿因

7、此所得图形中有2475 2 =4950个三角形满足两个顶点在a或者b上.综合上面两种情况共用4950 104 5995.14. 关于x, y的方程x=-y一门二-k有且只有六组正整数解,且x 一 y,求k的最大值.答案：1777解答：由于x y-】二x yx- y,那么当x, y的整数解同为偶数或奇数时, x - y-是4的倍数.这里要用到一个公式，记自然数m的质因数分解为 m二mklmk2mks,其中 m , m , ms是m的质因数,次数分别为k , , ks,那么m的因子分解数目为匕 1仇 1 ks 1.记方程2021 - k = m , x2 - y2 = m ,由于方程的正整数解有

8、6组，那么m至少有12个因数.当m是奇数时，x2 - y2 = m总有正整数解.当m是奇数且是平方数时，1x2- y2 = m的正整数解的个数是m的因数数目-1.否那么x2 - y2 = m的21正整数解的个数是 丄m的因数数目.2当m是偶数时，根据前面的分析，m是4的倍数，记m = 4n.如果n是平方数, x2- y2=m的正整数解的个数是-n的因数数目-1;否那么x2 - y2二m的21正整数解的个数是丄n的因数数目.2当m是奇数时，如果m只有一个质因数，那么次数为 11, m的最小值为311 .211 =2048 2021,不可能.如果m有两个质因数那么次数为1和5, m的 最小值为35 5 =243 5=1215 ;或者 2 和 3, m的最小值为 33 52 =27 25 =675.如果有3个质因数，次数为1, 1和2, m的最小值为 32 5 7 =9 35 =315.此外没有其它的情况.当m是偶数时，如果n只有一个质因数，那么次数为 11, m的最小值为22 211 212048 2021 ,不可能.如果n有两个质因数那么次数为1和5, m 的最小值为22 25