初 高 中 数 学 衔 接 教 材75

1、初 高 中 数 学 衔 接 教 材现有初高中数学知识存在以下“脱节”1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基

2、本题型与常用方法。5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交

3、弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。目 录第一章：数与式的运算和因式分解1.1 数与式的运算绝对值 . 乘法公式 二次根式 .分式1.2 分解因式第二章：方程、函数、方程组、不等式组2.1 一元二次方程根的判别式 根与系数的关系（韦达定理）2.2 二次函数 二次函数yax2bxc的图像和性质 二次函数的三种表示方式 二次函数的简单应用2.3 方程组不等式 二元二次方程组解法 一元二次不等式解法第三章：相似形、圆3.1相似形平行线分线段成比例定理 3相似形3.2 三角形3 三角形的“四心” 几种特殊的三角形3.3

4、 圆3 直线与圆，圆与圆的位置关系 3 点的轨迹1.1 数与式的运算绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零。即或绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离。13ABx04CDxP|x1|x3|图111例1 解不等式：4。解法一：由，得；由，得；若，不等式可变为，即4，解得x0，又1，0；若，不等式可变为，即14，不存在满足条件的；若，不等式可变为，即4， 解得4。又3，4。综上所述，原不等式的解为0，或4。解法二：如图111，表示轴上坐标为x的点P到坐标为1

5、的点A之间的距离|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|x3|。所以，不等式4的几何意义即为|PA|PB|4。由|AB|2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧。0，或4。练 习1填空：（1）若，则=_；（2）如果，且，则b_；（3）若，则c_。2选择题：下列叙述正确的是（ ）A、若，则 B、若，则 C、若，则 D、若，则3化简：|5|213|（）。4、解答题：已知，求 的值。. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 。【揭示乘法公式的几何意义】从边长为a的正方

6、形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是( )A、 完全平方公式：1.将字母看作非负数；2.平方式构造正方形，底数即为边长；3.两个字母相乘则构造长方形，两个字母即为长与宽。【设计与创造】请在下面正方形内设计一个方案，使之能解释公式：【利用图形探索】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个一模一样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，斜边为c，那么你能得到关于a、b、c的什么等式？ 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；

7、（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 ；（4）两数和立方公式 ；（5）两数差立方公式 。对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。例1 计算：。解法一：原式=。解法二：原式=。例2 已知，求的值。解： 。例3、试探索 练习：1填空：（1）（ ）；（2） ；(3) 。2选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于（ ）A、 B、 C、 D、（2）不论，为何实数，的值（ ）A、总是正数 B、总是负数 C、可以是零 D、可以是正数也可以是负数3、计算：（1）103×97 （2） （3）(12x)(12x ) ()()4、找规律与为什么观察下列等式：， 用含自然数n的等式表示这种规律

8、:_并证明这一规律。5、观察下列等式：个位数字是5的两位数平方后，末尾两个数有什么规律？你能证明这一规律吗？6、一个特殊的式子7、公式的拓展（1）完全平方公式的拓展一推导=_练习：=_（2）完全平方公式的拓展二观察下面的式子（）1111 21133114 641根据前面的规律，_（3）平方差公式的拓展推导(abc)(abc) =_练习：化简（2ab3c)(2ab3c)二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式。根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式。 例如 ，等是无理式，而，等是有理式。1.分母（子）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化。为了进行分母（子）有理化，需

9、要引入有理化因式的概念。两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等。一般地，与，与，与互为有理化因式。分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程。在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。2二次根式的意义例1 将下列式子化为

10、最简二次根式：（1）； （2）； （3）。解：（1）； （2）；（3）。例2计算：。解法一：。解法二：。例3 试比较下列各组数的大小：（1）和； （2）和。解：（1）， ，又，。 （2） 又 42， 42， 。例4化简：。解： 。例 5 化简：（1）； （2）。 解：（1）原式。（2）原式=，所以，原式。例 6 已知，求的值 。解：，。练习 1填空：（1）_ _；（2）_ _；（3）若，则的取值范围是_ _ _；（4）若，则_ _。2选择题：等式成立的条件是（ ）（A） （B） （C） （D）3若，求的值。4比较大小：2 （填“”，或“”）。5、化简。6、解答：设，求代数式的值分式1分式的意义

11、：形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式。当M0时，分式具有下列基本性质：；。2繁分式：像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。例1若，求常数的值。解：， 解得 。例2（1）试证：（其中n是正整数）；（2）计算：；（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有。（1）证明：，（其中n是正整数）成立。（2）解：由（1）可知。（3）证明：，又n2，且n是正整数，一定为正数，。例3.设，且，求的值。解：在两边同除以，得，(21)( 2)0，1（舍去），或2。2。练 习1填空题：对任意的正整数n， ()；2选择题：若，则（ ）（A） （B） （C） （D）3正数满足，求的值。4、若，则的值是

12、5、计算。习题11A 组1解不等式：(1) ； (2) ； (3) 。.已知，求的值。3填空：（1）_；（2）若，则的取值范围是_；（3）_。B 组 1填空：（1），则_ _；（2）若，则_ _；2已知：，求的值。C 组1选择题：（1）若，则（ ）（A） （B） （C） （D）（2）计算等于（ ） （A） （B） （C） （D）2解方程。3计算：。4试证：对任意的正整数n，有。12 分解因式因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法及待定系数法。1、提取公因式法例2分解因式：（1）（2） 解：（1）=（2）= =。或 课堂练习：一、填空题：1、多项式

13、中各项的公因式是_。2、_。3、_。4、_。5、_。6、分解因式得_。7计算= 二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“×” ）1、（ ） 2、（ ）3、（ ） 4、（ ）2、公式法例3 分解因式：（1） （2）解：(1)=(2) =课堂练习一、，的公因式是_。二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“×” ）1、（ ）2、（ ）3、（ ）4、（ ）5、（ ）五、把下列各式分解1、 2、3、 4、3、分组分解法例4 （1） （2）。解：（1）或（2）=。或=。课堂练习：用分组分解法分解多项式（1） （2）4、十字相乘法例1分解因式：（1）32； （2）412； （3）；

14、（4）。 解：（1）如图111，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有32(1)( 2)。aybyxx图1142611图1131211图11212xx图11111xy图115 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图111中的两个x用1来表示（如图112所示）。（2）由图113，得412(2)( 6)。（3）由图114，得（4）y(y)1(1) (y+1) （如图115所示）。课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）_。（2）_。（3）_。（4）_。（5）_。（6）_

15、。（7）_。（8）_。（9）_。（10）_。2、3、若则，。二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1）（2）（3）（4），（5）中，有相同因式的是（ ）A、只有（1）（2） B、只有（3）（4）C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式得（ ）A、 B、 C、 D、3、分解因式得（ ）A、 B、C、 D、4、若多项式可分解为，则、的值是（ ）A、， B、， C、， D、，5、若其中、为整数，则的值为（ ）A、或 B、 C、 D、或三、把下列各式分解因式1、 2、3、 4、5、关于x的二次三项式+b+c(a0)的因式分解。若关于x

16、的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为。例5把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）； （2）。解：（1）令=0，则解得，=。（2）令=0，则解得，=。练习1选择题：多项式的一个因式为（ ）（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8= （2）8a3b3=（3）x22x1 （4）。习题12 1分解因式：（1）= （2）； （3）； （4）。2在实数范围内因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）。3三边，满足，试判定的形状。4分解因式：x(a2a)。1 B 2（1）(x2)(x4) （2） （3） （4）。习题1.2 1（1） （2） （3） （4）2（1）；（2）

17、；（3）； （4）。3等边三角形 42.1 一元二次方程根的判别式情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根：(1)；(2)；(3)。用配方法可把一元二次方程bc0（a0）变为a0，4a20。于是（1）当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根；（2）当b24ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根；（3）当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。由此可知，一元二次方程bc0（a0）的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程bc0（a0）的根的判别式

18、，通常用符号“”来表示。综上所述，对于一元二次方程bc0（a0），有（1）当0时，方程有两个不相bc0等的实数根；（2）当0时，方程有两个相等的实数根，；（3）当0时，方程没有实数根。例1 判定下列关于的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。（1）330； （2）10；（3）(1)0； （4）2a0。解：（1）324×1×330，方程没有实数根。（2）该方程的根的判别式a24×1×(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根，。（3）由于该方程的根的判别式为a24×1×(a1)a24a4(a2)2，所以

19、，当a2时，0，所以方程有两个相等的实数根x1x21；当a2时，0， 所以方程有两个不相等的实数根x11，x2a1。（4）由于该方程的根的判别式为224×1×a44a4(1a)，所以当0，即4(1a) 0，即a1时，方程有两个不相等的实数根，；当0，即a1时，方程有两个相等的实数根x1x21；当0，即a1时，方程没有实数根。说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论。分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题。 根与系数的关

20、系（韦达定理）若一元二次方程bc0（a0）有两个实数根则有；。所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果bc0（a0）的两根分别是,，那么+， 。这一关系也被称为韦达定理。特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pq0，若,是其两根，由韦达定理可知，+p，q，即p(+)，q，所以，方程pq0可化为(+)0，由于,是一元二次方程x2pxq0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程(+)0。因此有以两个数,为根的一元二次方程（二次项系数为1）是(+)0。所以，方程的另一个根为，k的值为7。例2已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值。分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代

21、入，求出k的值，再由方程解出另一个根。但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值。解法一：2是方程的一个根，5×22k×260，k7。所以，方程就为5x27x60，解得2，。解法二：设方程的另一个根为，则 2，。由（）2，得 k7。所以，方程的另一个根为，k的值为7。例3 已知关于的方程2(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值。分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，

22、从而解得m的值。但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零。解：设,是方程的两根，由韦达定理，得+2(m2)，m24。21，(+)23 21，即2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170，解得m1，或m17。当m1时，方程为650，0，满足题意；当m17时，方程为302930，3024×1×2930，不合题意，舍去。综上，m17。说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可。（2）在今后的解题过程中，如

23、果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零。因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。例4已知两个数的和为4，积为12，求这两个数。分析：我们可以设出这两个数分别为，y，利用二元方程求解出这两个数。也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解。解法一：设这两个数分别是，则 解得： ，因此，这两个数是2和6。解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x24x120的两个根。解这个方程，得2，6。所以，这两个数是2和6。说明：从上面两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷。例5 若和分别是一元二次方程25x30的两根。（1）求|的值； （2）求的值；

24、（3）。解：和分别是一元二次方程2530的两根，。（1）| |2x12+ x222 (+)246，|-|。（2）。（3）(+2)( )(+) (+) 23()×()23×()。说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程bc0（a0），则，|-|。于是有下面的结论：若和分别是一元二次方程bc0（a0），则|-|（其中b24ac）。今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论。例6 若关于x的一元二次方程a40的一根大于零、另一根小于零，求实

25、数a的取值范围。解：设,是方程的两根，则a40，且(1)24(a4)0。由得a4，由得a。a的取值范围是a4。练 习1.选择题：（1）方程的根的情况是（ ）（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根（2）若关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m02填空:（1）若方程310的两根分别是x1和x2，则 。（2）方程mx2x2m0（m0）的根的情况是 。（3）以3和1为根的一元二次方程是 。3.若，当k取何值时，方程kab0有两个不相等实数根？4已知方程31

26、0的两根为和，求(3)( 3)的值。习题2.1 A组1选择题:（1）已知关于的方程k20的一个根是1，则它的另一个根是（ ）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法：其中正确说法的个数是（ ）个 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4方程2x70的两根之和为2，两根之积为7；方程2x70的两根之和为2，两根之积为7；方程370的两根之和为0，两根之积为；方程32x0的两根之和为2，两根之积为0。（3）关于x的一元二次方程a5xa2a0的一个根是0，则a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程k4x10的两根之和为2，则k 。（2）方程2x2x4

27、0的两根为，则22 。（3）已知关于x的方程ax3a0的一个根是2，则它的另一个根是 。（4）方程22x10的两根为x1和x2，则| x1x2| 。3试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数。B 组1选择题:若关于x的方程(k21) xk10的两根互为相反数，则k的值为（ ）（A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若m，n是方程2005x10的两实数根，则m2nmn2mn的值等于 。（2）若a，b是方程x10的两个实数根，则代数式a3a2b

28、ab2b3的值是 。3已知关于x的方程kx20。（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求实数k的取值范围。4一元二次方程abxc0（a0）的两根为x1和x2。求：（1）| x1x2|和；（2）x13x23。5关于x的方程4xm0的两根为x1，x2满足| x1x2|2，求实数m的值。C 组1.选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程28x70的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（ ） （A） （B）3 （C）6 （D）9（2）若x1，x2是方程24x10的两个根，则的值为（ ）（A）6 （B）4 （C）3 （D）（3）如

29、果关于x的方程2(1+m)xm20有两实数根，则的取值范围为（ ）（A） （B） （C）1 （D）1 （4）已知a，b，c是ABC的三边长，那么方程c(ab)x0的根的情况是（ ）（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根2.填空：若方程8xm0的两根为x1，x2，且3x12x218，则m 。3.已知x1，x2是关于x的一元二次方程4k4kxk10的两个实数根。（1）是否存在实数k，使(2x1x2)( x12x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k2，试求的值。4已知关于x的方程。（

30、1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|x1|2，求m的值及相应的x1，x2。5若关于x的方程xa0的根一个大于1、另一根小于1，求实数a的取值范围。2.1 一元二次方程 练习1.（1）C （2）D 2 （1）3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x22x303k4，且k0 41 提示：(x13)( x23)x1 x23(x1x2)9习题21 A 组1.（1）C （2）B 提示：和是错的，对于，由于方程的根的判别式0，所以方程没有实数根；对于，其两根之和应为。（3）C 提示：当a0时，方程不是一元二次方程，不合题意。2（1）2

31、 （2） （3）6 （3） 3当m，且m0时，方程有两个不相等的实数根；当m时，方程有两个相等的实数根；当m时，方程没有实数根。4.设已知方程的两根分别是x1和x2，则所求的方程的两根分别是x1和x2，x1x27，x1x21，(x1)(x2)7，(x1)×(x2)x1x21，所求的方程为y27y10。B组 1C 提示：由于k=1时，方程为x220，没有实数根，所以k1。2（1）2006 提示：mn2005，mn1，m2nmn2mnmn(mn1)2006。（2）3 提示；ab1，ab1，a3a2bab2b3a2(ab)b2(ab)(ab)( a2b2)(ab)( ab) 22ab(1)

32、×(1)22×(1)3。3（1）(k)24×1×(2)k280，方程一定有两个不相等的实数根。（2）x1x2k，x1x22，2k2，即k1。4（1）| x1x2|，；（2）x13x23。5| x1x2|，m3。把m3代入方程，0，满足题意，m3。C组 1（1）B （2）A （3）C 提示：由0，得m，2(1m)1。（4）B 提示：a，b，c是ABC的三边长，abc，(ab)2c20。2（1）12 提示：x1x28，3x12x22(x1x2)x12×8x118，x12，x26，mx1x212。3（1）假设存在实数k，使(2x1x2)( x12 x

33、2)成立。一元二次方程4kx24kxk10有两个实数根，k0，且16k216k(k+1)=16k0，k0。x1x21，x1x2， (2x1x2)( x12 x2)2 x1251x22 x222(x1x2)29 x1x22，即，解得k，与k0相矛盾，所以，不存在实数k，使(2x1x2)( x12 x2)成立。（2）2，要使2的值为整数，只须k1能整除4。而k为整数，k1只能取±1，±2，±4。又k0，k11，k1只能取1，2，4，k2，3，5。使2的值为整数的实数k的整数值为2，3和5。（3）当k2时，x1x21， x1x2， 2÷，得28，即， 。4（1

34、）； （2）x1x20，x10，x20，或x10，x20。若x10，x20，则x2x12，x1x22，m22，m4。此时，方程为x22x40，。 若x10，x20，则x2x12，x1x22，m22，m0。此时，方程为x220，x10，x22。5设方程的两根为x1，x2，则x1x21，x1x2a，由一根大于1、另一根小于1，得 (x11)(x21)0， 即 x1x2(x1x2)+10， a(1)10，a2。 此时，124×(2) 0， 实数a的取值范围是a2。22 二次函数 二次函数yax2bxc的图象和性质情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图（1） (2) (3

35、) 教师可采用计算机绘图软件辅助教学问题1 函数ya与y的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y2，y，y2的图象，通过这些函数图象与函数y的图象之间的关系，推导出函数ya与y的图象之间所存在的关系。先画出函数y，y2的图象。先列表：x321012394101492188202818从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大到两倍就可以了。xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21yx2y2x2xOy再描点、连线，就分别得到了函数y，y2的图象（如图21所示），从图21我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y2的图象可以由函数yx2的图象各点的纵坐标

36、变为原来的两倍得到。同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y，y2的图象，并研究这两个函数图象与函数y的图象之间的关系。通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数ya (a0)的图象可以由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到。在二次函数ya (a0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小。问题2 函数ya(xh)2k与ya的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系。同学们可以作出函数y2(x1)21与y2的图象（如图22所示），从函数的图象我们不难发现，只要把函数y2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个

37、单位，就可以得到函数y2(x1)21的图象。这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点。类似地，还可以通过画函数y3，y3(x1)21的图象，研究它们图象之间的相互关系。通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yabxc(a0)的图象的方法：由于yabxca()ca()c ，所以，yabxc(a0)的图象可以看作是将函数ya的图象作左右平移、上下平移得到的，于

38、是，二次函数yabxc(a0)具有下列性质：（1）当a0时，函数yabxc图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，函数取最小值y。（2）当a0时，函数yabxc图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，函数取最大值y。 上述二次函数的性质可以分别通过图223和图224直观地表示出来。因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题。xOyx1A(1,4)D(0,1)BC图2.25xyOxAxyOxA例1 求二次函数y36x

39、1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象。解：y36x13(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线x1；顶点坐标为(1，4)；当x1时，函数y取最大值y4；当x1时，y随着x的增大而增大；当x1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(1，4)，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图25所示）。说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确。函数yabxc图象作图要领：确定开口方向：由二

40、次项系数a决定。确定对称轴：对称轴方程为确定图象与x轴的交点情况，若>0则与x轴有两个交点，可由方程bxc=0求出若=0则与x轴有一个交点，可由方程x2bxc=0求出若<0则与x轴有无交点。确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图：（1） (2) (3) x /元130150165y/件705035例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时

41、每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润日销售量y×(销售价x120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值。解：由于y是x的一次函数，于是，设ykxb，将x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得。 yx200。设每天的利润为z（元），则z(x+200)(x120)x2320x24000 (x160)21600，当x160时，z取最大值1600。答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元。例3 把二次函数ybxc的图像向上平移2个

42、单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，求b，c的值。解法一：ybxc(x +)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数y的图像，所以， 解得b8，c14。解法二：把二次函数ybxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y的图像，等价于把二次函数yx2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数ybxc的图像。由于把二次函数y的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y(x4)22的图像，即为y8x14的图像，函数y8x14与函数ybxc表示同一个函数，b8，c14。说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解

43、决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律。这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点。今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题。例4 已知函数yx2，2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值。 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论。解：（1）当a2时，函数y的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时

44、x2；（2）当2a0时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当xa时，函数取最小值ya2；（3）当0a2时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当x0时，函数取最小值y0；（4）当a2时，由图226可知，当xa时，函数取最大值ya2；当x0时，函数取最小值y0。xyO2axyO2aa24图2.26xyOa224a22xyOaa24说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论。此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题。练习 1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）（A）y2 （B）y24x2 （C）y21 （D）y24x （2）函数y2(x1)22是将函数y2（ ） （A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2填空题（1）二次函数y2m