物理竞赛极值问题解法例谈

1、物理竞赛极值问题解法例谈极值问题，是物理竞赛中较为常见的一类问题。解答这类问题，除了用 到相关的物理知识，一般都要借助一定的数学知识才能完成。现将初中物理 竞赛中，常见的几类极值问题的解答方法，举例介绍如下。一利用“三角形两边之和大于第三边求解例1.某中学举办了一次别开生面的“物理体育比赛。比赛中有个工程:图 1 (b)运发动从如图1 ( a)所示的A点起跑，到MN槽线上抱起一个实心球，然后 跑到B点。比赛时，谁用的时间最少谁胜。试问运发动比赛时，应沿着什么 路线跑最好？耐 OOOCOCCOOOOCOCOOCOCOCCOOO N图 1 (a)析与解：假设某运发动在槽线上抱起一个实心球所用的时间

2、、运发动跑步的速度是一定的，那么，他跑过的路程如果最短，那么他所用的时间最少。因此，此题实际上是一道路程极值问题。如图1(b)所示，作B关于槽线MN的对称点B,图中. : L 丄!. *1 二、等，都是可能的路线。显然， I 匕fli路线，分别与卜 、二、卜 卜|等长，而由“三角形两边之和大于第三边的结论可知，图中的衆 1 i (直线段)最短，即路线 L 八 最短。故，运发动比赛时，应沿着 八 路线跑最好。利用“正弦函数 sin B的最大值为1求解例2.如图2 a所示，某人站在离平直公路垂直距离为60m的A处，发现公路上有一汽车， 从B处以vo= 10m/s的速度沿公路匀速行驶，B与人相距10

3、0m。问此人最少要以多大的速度，沿什么方向奔跑才能与汽车相遇？析与解：设人以速度V,沿与AB成B角的方向奔跑，如图 2 b所示,并在C处与汽车相遇，所用的时间为 t。那么有BC = V0t, AC = vt。作BE丄AC ,由三角形AOC与三角形BEC相似得：二、BE AO又：，故：BE = AB sin 0 ,Ad所以： * 二所以:-I-整理得：.AB代入数值计算得：上式中，要使v最小，应使sin Q最大,即 sin 9= 1, 0= 90 时，v 最小为 vmin = 6m/s。故，此人最少要以6m/s的速度，沿与 AB成90。的方向向公路奔跑，才能与汽车相遇。三. 利用“ I 1二二叮

4、乔求解例3.如图3所示，一根均匀杠杆，每米长重入=30N，现以杆的A端为 支点，在杆的B端施一竖直向上的力 F,在距杆的A端a= 0.2m处挂一个重G = 300N的重物，要使杠杆在水平位置平衡，求：杠杆为多长时，加在的力F有最小值？最小力 F是多大？图3析与解：如不考虑杆重，那么杠杆越长，力F就越小。假设不考虑重物 G的作用，那么杠杆越长，杠杆就越重，力F也就越大。现在既要考虑杆重，又要考虑重物G的作用，那么杠杆就既不是越长越好，也不是越短越好，而应是某 一恰当的长度时，所要用的力F最小。设杠杆长为L,那么杠杆重为 AL，力F的力臂长即为L ;杠杆均匀的 所受重力的力臂长即为 L/2。根据杠

5、杆的平衡条件有：FL = Ga+入L? L/2所以：二十由数学中的不等式知识 .,.1 可知，所以，F最小为：i I： .1 .符=2x300x30x0/2 N =60N此时有：即: - 故，当杠杆长为 2m时，加在B端的力F有最小值，最小力 F是60N。四. 利用“ = b2 4ac0 求解例4.如图4所示，用一根长3m的铁丝，拉着一根 4m高的竖直电线杆， 铁丝的一端固定在电线杆上的铁圈 A上，另一端固定在地面的水泥桩 B上， 电线杆的上端 C拉有水平的电线。试问：桩 B离电线杆多远时，铁丝承受的拉力最小?图4作DE丄AB，垂足为E,设BD = X,根据杠杆UHi-析与解：设杆上端的水平电

6、线对杆的拉力为F,铁丝对杆的拉力也就是铁丝承受的拉力为 T。 电线杆可以看作绕 D转动的杠杆。的平衡条件有:T X DE = F X CD根据勾股定理：.1, .r f -_ ； r :由三角形BED与三角形BDA相似得：DE BDID- AE所以：-所以$因此有：_F :整理并化简得：T2x4 9T2x2 + 144F2= 0(1)因为x必有实数解，所以 二=b2 4ac 0 即：9T22 4 T2X 144F2?0解得：T 8F/3，即T最小等于8F/3。将T的最小值8F/3代入1式即可解得故，打在地面上的桩 B离电线杆亠时，铁丝承受的拉力最小。五. 利用“A B 2 0求解例5.如图5所

7、示，一个滑动变阻器 R与一个固定电阻 Ro串联后，接到电压恒为U的电源上。调节R的大小，当R取 何值时，变阻器上消耗的电功率最大？最大功 率为多少？析与解：因变阻器R与定值电阻Ro串联， 所以变阻器R上消耗的电功率为：HE：乔氐尹Pr= Ir2 R = I2 R=由于U恒定，U2是定值，所以，当，取值最大时，Pr值即为最大。:rj-：而1而r7.- - :.-i.二-R十斗Kq因为，所以：-T R为正值所以：一 1r-+4R - W故 PrW 丰。即当 ：_ 11 _ ，也就是R= Ro时，变阻器消耗4山R的电功率为最大，最大电功率为Pr max= 。Hrtn六.利用假设a+b=c c是常数，

8、那么函数y=ab，在a=b=c/2时有最大值 求解例6. 一个体积为 V的实心长方体，放在水里，静止时长方体能浮在水面上。现将它露出水面的局部切去，再把它的剩余局部放在水里，那么长方体的密度为多大时，长方体剩余局部在水中静止，露出水面的体积V 与长方体 的体积V的比值k最大？最大比值 k是多少？析与解：以p、p分别表示水的密度和长方体的密度，以V表示长方体的体积、V i表示长方体静止在水面上时长方体浸在水中局部的体积。由于长方体浮在水面上静止时，长方体的重力与其所受浮力的大小相等，即：P2 V g = pi Vi g所以：卓LP-故将长方体露出水面的局部切去后，其剩余局部的体积就为再将这局部放

9、入水中静止时，同理可得它浸在水中局部的体积V2与其总体积Vi的关系为.,这时它露出水面局部的体积就为：V = Vl - V2 = 5- =- 一? Vl = 1 I : :所以，这时它露出水面的体积V 与长方体的体积 V的比值为：Dp由于.为常数,所以，当，即1! _ -时，比值k最大，最大比值Pi PiPi 2k= 1/4。此时.Ix 1.0X 103= 0.5X 103 kg/m3。上为介绍极值问题的某一解法，以上各例仅谈了在这一方法下的一种解答过程，实际上，许多问题各种方法都可以解答。如例3，也可以先配方得到:-:J-1 - 丨=，然后根据A - B 2 0,得到： = ! J r i_ ；再如例 6,得到一后,展开整理得到：| | ，然后根据该方程有解， b2-4ac0