数列知识点常用结论

1、数列知识点及常用结论-、等差数列（1）等差数列的基本公式通项公式：an =a1 +（n-1）d （从第1项a1开始为等差）an=am+（nm）d（从第m项am开始为等差）an -am = ndan =am+（n m）d=an-am d =1 . n-m前n项和公式：SnN+anLnai十nd2 2（2）证明等差数列的法方定义法：对任意的n,都有an书-an=d （d为常数）=an为等差数列> 一一 * _ _ 等差中项法：2an=an+an±（n=N ） u an为等差数列通项公式法：an =pn+q （p, q为常数且p为）u an为等差数列即：通项公式位n的一次函数，公差

2、d = p ,首项a1 = p + q2刖n项和公式法：Sn = pn +qn （p, q为常数）=an为等差数列即：关于n的不含常数项的二次函数（3）常用结论若数列an, bn为等差数列，则数列an+k, klan, an±bn, kan+b（k, b为非零常数）均为等差数列.*右 m+n=p+q （m , n, p, q= N ），贝U an + am= ap + aq.特别的，当n+m=2k时，得an +am = 2ak 一- - 、 , 一 * . 在等差数列an中，每隔k（k= N ）项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为（k+1）d（例如：ai,

3、a4，a7,而仍为公差为3d的等差数列)若数列an为等差数列，则记Sk=a1+a2 + +ak,S2k Sk= ak+ +ak +a2k,2S3k S2k =a2kJ1+a2k J2 +a3k ,则 Sk , S2k 0 , Sk -Sk仍成等差数列，且公差为 k d Sc 若Sn为等差数列an的前n项和，则数列也为等差数列.n S,(n=1)an =此性质对任何一种数列都适用S -S1i.(n.2)求Sn最值的方法:、. ak _0 一. , 一I：若a1>0,公差d<0,则当k时，则Sn有最大值，且Sk最大；ak i 三 0ak _ 0若为<0,公差d>0,则当k时

4、，则Sn有最小值，且Sk最小；a- 一02II：求刖n项和Sn = pn +qn的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k ,当n = k时，Sk为最值，是最大或最小，通过Sn的开口来判断。二、等比数列(1)等比数列的基本公式通项公式：an =aiqn(从第1项a1开始为等比)an =amqnR(从第 m项am开始为等差)前 n 项和公式：Sn =亘(1q,(q#1), Sn=na1,(q=1)1 -q(2)证明等比数列的法方定义法：对任意的n,都有an4r =qan(an # 0) u -ani = q (q 0) u an为等比数列2等比中项法：an =an41ao（2口封口#0） w an

5、为等比数列通项公式法：an =aqn（a,q是不为0的常数）=烝为等比数列（3）常用结论若数列an, bn为等比数列，则数列1,kLan,an2,a2n，anbnananbn（k为非零常数）均为等比数列.若 m+n=p+q （m , n, p, q = N ），贝U aj_am= ap|_aq.特别的，当n+m=2k时，得an|_am = ak2_ 一 - - 、 . . * . 在等比数列an中，每隔k（kW N ）项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为 qk* （例如：a1, a4, a7, a10 仍为公比q3的等比数列）若数列烝为等差数列，则记Sk =3| +a

6、2+'''' +ak , S2k _& ="+ak 出+ a2k , S3k Sk =a2k+a2k 七 +a3k ,则Sk , S2k -Sk , S3k S2k仍成等比数列，且公差为 qk三、求任意数列通项公式 an的方法(1)累加法：若an满足an+1=an+f(n)利用累加法求：anan 二ai （a2 一4）. a a2） a3）'（an an）例题：若ai =1,且 an4i =an+2n ,求：an练习题：若数列an满足an.-an-2n*=0,且ai=0(2)累乘法：若an满足an+ = f (n) Wn利用累乘法求：a

7、nan二Mla3)，一一(')ala2 a3an1 n 1例题：在数列an中，a= 一,an噌=an,求：an.2 n练习题：在数列an中，a =1且an = nan书，求：an（提示：1M2父3父n = n!）(3)递推公式中既有& ,又有an ,用逐差法an =SSn - Sn jn=1n _2特别注意：该公式对一切数列都成立。(4)若an满足an书=pan +q,( p =q),则两边加：x =q,在提公因式P,构P-1造出一个等比数列，再出求：an例题：已知数列 ,满足：an4=2an+1,且a1 =1 ,求：an习题1 :已知数列an满足：an书-3an =1且阚=1

8、 ,求：an习题2:已知数列an满足：a1 =2,且Sn +an = n，求：an(5)若为满足an+ = pan +pn",则两边同时除以：pnZ构造出一个等差数列,再求出：an例题：已知an满足：21=10=2烝+22,求：an解:an*=2an+2n'彘喷+；,既有:a所以：Sat I是首项为:.2n1 ，一d =一的等差数列2n nn J所以：an2 n 22习题1 :已知an平-3an =3n*且& =1 ,求：ann 1.习题2 ：已知an书=2an+3 2 且a1=1,求：an(六)待定系数法：若4满足以下关系：an = kan + f ( n)都可用待

9、定系数法转变成一个等比数列来：温馨提示：提k,对f(n)待定系数例题1:已知数列an满足an+=2an+3乂5, &=6,求数列1小的通项公式.解：an书+x'5n* =2(an+x 6)= an书=2an3x 5n ,与原式对应得，x = 1f-n 1ani -5n 1 =2(an -5n)= an 1 一 =2an -5所以：an -5n是首项a1 -51 =1 ,公比q =2的等比数列既有：an -5n =2n= an = 5n 2nJ例题2:已知数列满足an* = 3an +5 M 2n+4, a1=1,求数列an的通项公式. 解：an书 +x '2n* +y

10、=3(an +x '2n +y)= an+ = 3an +x 2n + 2y ,与原式对应得：x = 5, y = 2an 5 212an 1 5 2n 12 =凰5n 22 an 1 5 22所以：an+5 ,2n+2是首项为：为十5,21+2=13,公比4=3的等比数列既有：an - 5 2n 既=13 3n- : an =13 3n- -5 2n -2（七）颠倒法：若an满足：an«nC,用颠倒法;an Can 11a1c a c 11= I - I *1C a C naC na CnaJ-是以首项为:an，111所以：二,所以:an 1 an C1 一 1,一,公差d

11、 =的等差数列a1C例题1 :已知an书=2_a_，且ai =2 ,求：an an 2例题2 :已知an书Wn =3an 3an中，且ai =1,求：anA a一（八）倒数换兀法：若数列匕满足：3己，则颠倒变成1an 1B an C C 1 B =+ -TA anA anAq1然后再用两边加： 一q或者待定系数法既可求出 « ,再颠倒就可得到：anP -1an, 2a.例题：右数列 an 满足：an4 =，且a1 =1 ,求：anan 32a一1311解：an上a=，= 3，+1，两边加：1得:an 3 an 12 an 2an 113十 一an2an 13 13( 1)2 an所以

12、:既有:an 1彳an一十仆是首项为:=2 ,公比:an3q = 的等比数歹U；211:2 an/3、n J(2)=13n' -2ann -2 an 二2n 23n 12 n 2若用待定系数法:_ 2anan 1 'an 3an 1211 十 _3an2-an 113131311.一+x=22+3x= +1x与原式子对应得 x = 1 ,然后的方an 12 an 2an 1 2 an 2法同上；习题：已知 3an噂 an =2an41第且 a1 =1 ,求：an四、求前n项和Sn的方法（1）错位相减求和主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前 n项和；或者是等差与等比的商的前

13、n项和；（是商的时候，适当转变一下就变成了乘积形式）。既：设anaa为等差数列，必为等比数列，求：an 0或的前n项和常用此方法（an都转变为乘积 bnbn形式）例题1 :已知数列an =2n,数列 bn的前n项和Sn = n2十2n ,求数歹1an bn的前n项和T3n 1例题2:求数列an =n的an *的刖n项和Sn习题 1 :求：Sn =1父2+4父22+7父23+ (3n-2)M2n(2n 1)习题2：设数列an =( n用,求an的前n项和Sn3n(2)裂项相消求和1,1111适用于an =的形式，变形为：an =-(-)n (n k)n (n k) k n n k, 1 一、. 一一例题：求数歹U an =的刖n项和Snn(n 1)一1习题1 :求数列an =的刖n项和Snn(n 2)习题2:求数列1. 2 ' . 2. 3 ' ' . n % n 1 '的前n项和.(3)、分组法求和：有些数列是和可以分成几部分分开求，在进行加减;例题：求an =3n +2n +1的前n和Sn ?习题1 ：已知an是一个递增的等差数列且 a2 ®4 =45,a +a