双曲线的简单几何性质精品教案

1、双曲线的简单几何性质第一课时（一）教学目标1 .通过对双曲线标准方程的讨论，掌握椭圆的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率 等几何性质.2 . 了解双曲线中心、实轴、虚轴、渐近线等概念，以及 a、b、c、e的关系及其几 何意义.3 .通过启发、诱导，让学生明确双曲线性质的研究过程和研究方法，培养学生类比、 分析、归纳、猜想、概括、论证等逻辑思维能力.4 .通过类比旧知识，探索新知识，培养学生学习数学的兴趣，探索新知识的能力及勇 于创新的精神.（二）教学过程吊【情境设置】提问（1）前节课根据椭圆的标准方程研究了椭 圆的哪几种性质？（如图）（范围、对称性、顶点、离心率）22（2）请同学说出椭圆 与=

2、1的几何性质：a b方口 性、程 质22土+_V_121a b范围-a <x <a , bEyEb对称性对称轴、对称中心顶点四个、顶点坐标离心离e = c/a,（几何意义）（学生回答）教师用投影显示下表，并画出焦点在x轴上的椭圆说明：研究双曲线几何性质后，依次在另一纵列填上相应的性质.上节课已根据双曲线的特征（包括双曲线的坐标系内的位置）导出了双曲线的标准方程， 现在我们能根据双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质吗？（板书课题）【探索研究】x2 V21 .类比椭圆 f +今=1（a A0, b A0 ）的几何性质，探讨双曲线a2 b22 2 4=1佰>0, b>0）的几

3、何性质：范围、对称性、顶点、离心率. a b程序是：学生：自我思考一得出初步结论一小组讨论一得出满意结论一回答所得结论（与大家交宛）教师：启发诱导一点拨释疑一补充完善 列表：程 质22xy八八，八f=1(a >0, b >0 )222_乙=1何>0, b>0)/ b2范围-a <x <a, -b < y < bx 之 a或 x < -a , y w R对称性关于坐标轴、原点都是对称的.（对 称轴、对称中心）关于坐标轴、原点都是对称 的.（对称轴、对称中心）顶点四个、坐标A1(-aQ),A2(a,0), B0,_b ), B20 b)二个坐标

4、 A1(a,0), A2(a,0)离心离c . . . e =一,反映椭圆圆扁程度 ac .c = 一 >1 a（教师说明实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长）离心率的几何意义下面继续研究图演示222C（a、b、c、e关系：c =a +b , e= >1）a2.渐近线的发现与论证22根据椭圆的上述四个性质， 能较为准确地把+L =1画169出来吗？（能）22根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把土_y_ = 1画出来吗？（能）169通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来， 但双曲线向何处伸展就不很清楚.1我们能较为准确地回出曲线 y = ,这是为什么？（因为当双曲线

5、伸向远处时，它与xx1 轴、y轴无限接近）此时， x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线.x对渐近线并不陌生，例如：直线x=kn+（kw Z ）是正切函数y =tanx图像的渐近线. 222问：双曲线4=1有没有渐近线呢？如果有，又该是怎样的直线呢？a2 b2引导猜想：在研究双曲线范围时，由双曲线标准方程可解出:y = ±bdx2 -a2 二±b xJ1 -ay aa . xa2当x无限增大时，' 就无限趋近于零，也就是说，这时双曲线x b线y = ±Bx无限接近.（引导学生分析、猜想）ab这使我们有理由猜想直线 y =x为双曲线的渐近线.ab直线y =x恰好是过

6、实轴端点 A、A2,虚轴端点Bi、B2,作平行于坐标轴的直线ax = ±a , y = ±b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点的沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？找学生板演其推理过程,其他方法用投影给出）显然，只要考虑双曲线在第一象限就可以了.学生探讨证明方法，教师可给予适当提示，寻找不同证明方法，对于基础好一点的学生， 可能会得到如下三种证法.（板演其中一种,22x V 证法一：如图，设M（x0, Vo为第一象限内双曲线 一2-22=1 a bb -22上的任一点，则y0=一寸x0a , M (x0, y0剧渐近线ay bx = 0 a的距离为:M

7、Qay。-bxob x(2 - a2 -bx0,a2b2b xo - x2 - a2 cc xox； -a2向远处运动，X0随着增大,b就无限接近于直线 y=bxa证法二：如图，设N为渐近线上与标的点，于是 yN =bx。aMN | = yN _y。=b(x。- Jx2 -a2 aaX。abr=r点M沿曲线 22xo 一.： xo - a向远处运动，X0随着增大,MP逐渐减小，于MQ也逐渐减小.证法三：设P为渐近线上与M （xo, y。后相同纵坐标的点，于2a. y a -2.2xp=by°, xO =a+了 =by0+b1 MP = x0 xP =y； + b2 - y0 = b

8、*bb2ab点M沿曲线向远处运动，x0随着增大,y0y2 b2MP逐渐减小，于MQ也逐渐减小，故把b22y=±x叫做双曲线之一）=1的渐近线.aa b解决了双曲线向远处伸展时的趋向问题，从而可较准确地画出双曲线，比如画22土匕=1,先作双曲线矩形，画出其渐近线，就可随手画出比较精确的双曲线.169（演示）3.离心率的几何意义问：椭圆的离心率反映椭圆的圆扁程度，那么双曲线的离心率有何几何意义呢?C22.2- e=，c>a, e>1 ,由等式 c -a =b ae越大（接近于1)bu °越接近于01双曲线开口越小（扁狭） a be越大u 越大ua（完善表格）双曲线开

9、口越大（开阔）4.说出双曲线2 y2 a2x-xy=1的几何性质.（图形演木）b25.巩固练习题1.求下列双曲线的渐近线方程，并画出双曲线. 4x2 - y2 = 4题2.已知双曲线的渐近线方程为x±2y =0且双曲线过点 M 4, ,3M（4,“用分别求出两双曲线方程然后分别总结两题的解题步骤, 间的内在变化规律.最后通过仔细分析，揭示出双曲曲线与其渐近线的方程双曲线方程：4x2 -y2 =±4 ,渐近线方程：2x_y=0 x_2y=0一般地，双曲线方程为 B2x2 A2y2 =C(C ¥0 ),它渐近线方程为 B2x2A2y2=0,即Bx ± Ay

10、=0 ,反之当渐近线方程为Bx ± Ay =0时，它的双曲线方程为：_2 22 2B x -A y =±m(m >0).(三)随堂练习求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程.(1) x2-8y2=32(2) x2-y2=-4答案：(1) 8尤,4, &4V2Q ) (±6,0 ) e = 32 , y = ±2x 44(2) 4, 4, (0, ±2 ),(0, ±V2 ), e = 42, y = ±x(四)总结提炼1 .双曲线的几何性质及 a、b、c、e的关系，完善上述表格，(投影

11、显示)2.渐近线是双曲线特有性质，其发现证明蕴含重要的数学思想与数学方法.3.双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与 联系，不能混淆，列表如下：椭圆双曲线方程22xy八F+F=1(a>0, b>0) ab224 = 1佰>0, b>0) a ba、b、c 的 关系c2 =a2 -b2(a > b > 0 )c2 = a2+b2(a >1, b>0)图形ipFS Jpl范围|x|a|y|<bix 占 ayw R对称性对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点顶点(_a ,0(0,-b

12、)长轴长2 a)、(a ,0)、(0, b),短轴长2b(-a,0 )、(a,0)实轴长2 a虚轴长2b离心率e = , (0 <e < -1) ae = , (e>1 ) a渐近线无有两条，其方程为b y = ±xa（五）布置作业1 .双曲线x2 y2 = 3的（）a.顶点坐标是 住J3,0、虚轴端点坐标是 9，士J3）B.顶点坐标是（0, 土 V3 1虚轴端点坐标是（±，3,0）C.顶点坐标是 住。3,0 ）,渐近线方程是 y = ±xx = yY2倍,且一个顶点的坐标为（0, 2）,224422左-幺=184d .虚轴端点坐标是（0, 士 73）,渐近线方程是2 .双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的则双曲线的标准方程为（）22x y /A.-=14422y x .c.匚=1483.双曲线中a, b, c的长成等差数列，则224,以椭圆 +L=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是 . 855 .已知下列双曲线方程，求它的焦点坐标、离心率、渐近线方程.（1） 16x29y2 =144 ；（2） 16x29y2 =-144 .6 .求一条渐近线方程是 3x+4y=0, 一个焦点是（4, 0）的双曲线标准方程.5x2 y254答案：1.B;2. B