自主招生数学不等式第三讲

1、自主招生学案：不等式第三讲（2013年12月24日枣庄八中陈文）考点三：重要不等式一、考点分析： 自主招生考试中所考的重要不等式主要包括绝对值不等式、均值 不等式、柯西不等式、琴生不等式等。二、不等式求解的常见题型：1、利用不等式证明结论。2 利用不等式解决数学建模问题。3 借助不等式求最优解问题。4.不等式的综合问题。三、例题详解及梯度训练：（一）绝对值不等式从不等式的背景可以看到，许多不等关系都涉及距离的长短、面积或体积的大小、重量的大小等等，他们都要通过非负数来表示，因此，研究含有绝对值的不等式具有重要意乂。定理1： 如果a, b都是实数，则|a |-|b|_|a _b|勻a| |b|等

2、号是否成立依赖 与ab的符号。定理2： 如果a, b, c都是实数，那么|a-c闫a-b|b-c|当且仅当（a-b）（b-c）_0时，等号成立例1.如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个火车站，要求到六个村庄的路程 之和最小，应该选在哪里最合适？如果在P的地方增加了一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？（2010年浙江大学）1梯度训练：1若对一切实数x,都有|x-5|+|x-7|>a,则实数a的取值范围是（）A. a<12 B. a<7 C. a<5 D. a<2（2011 年复旦大学）2.|x-5|+|x-7|+|x-6|+|x

3、-8|> a，则 a 的取值范围如何?（二）平均值不等式设a （0, =）（i =1,2,，n），记这n个数的调和平均值Hn =算术平均数A =nn 1-i =1 ai几何平均值nai ,i daii £n方幕平均数Xn则Hn -Gn - An -Xn，当且仅当印=a?二=时等号成立。11例 2.设正数 a，b， c满足 a+b+c=1，求证：（a ）（b）.（c 'ab1000 。27（2008年南京大学）2（2008年山东大学）f(Xn)。推广1:推广2:梯度训练：1 n1 n1设n为正整数，求证：（一）:：: （1）。nn +12x1212.已知已知函数 f(x)

4、,f(1)=1,f(),令 x1,xn1ax+b2321(1)求数列的通项公式；(2)证明：x1x2.xn 丄2e3三、柯西不等式对于任意的两组实数a1, a2,., anft bi ,b2,.bn(n _ 2)，有nnn（迟abj2兰（迟a2）（迟b2）当且仅当丸a=%d为常数，i=i,2，n ）时成立4i 4i 4i当都为正实数时，等号成立的条件可以改写为例3.证明柯西不等式。ai a2_ 01bi b2 bn(2009年华东师范大学)#梯度训练：1.设实数a，b，c满足a2 2b2 3c 3.求证:abc392712（2008年西安交通大学）1 21 2 1 22.设a，b，c为正实数，

5、且 a+b+c=1，求（a ） （b ） （c ）的最小值。 abc（2008年南开大学）(四)排序不等式设aA < a2 <. < anb乞b?空乞bn为两组实数，c1,c1,., cn为b1,b,., bn的任意排列，贝Ua1bna2bnA . anbi< a1c1a2c2.ancn乞 a1b1a2b2. - anbn当且仅当 aa2二二an或d =b2二二bn时，等号成立例4.有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i( i=1,2，10)个人的水桶需要t分钟，假定这些1各不相同。问只有一只水龙头时，应如何安排10个人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的

6、总时间等于多少？梯度训练： 设a1, a2,., an是n个互不相等的正整数，求证:12232a1 -n5（五）琴生不等式1. 凸函数:（1）下凸函数：一般地，设f （X）是定义在（a, b）区间上的函数，如果对于定义域内的任意两个数Xi,X2都有f （空 竺）空丄凶，则称f（幻是（a, b）内的下凸函数.2 2（2）上凸函数：一般地，设f （x）是定义在（a，b）区间上的函数，如果对于定义域内的 任意两个数x1, x2都有fQ x2） - f（Xl） f（X2），则称f（乂）是（a，b）内的下凸函数.2 22. 凸函数常用的性质：性质1：（琴生不等式）：对于（a，b）内的下凸函数f （X），有f（ Xi X2 Xn）f （Xi） f（X2） f （Xn）nn性质2：（加权琴生不等式）：对于（a，b）内的下凸函数f （x），若q + a2 + . + an =1，则f（aiXi a?X2 . anXn） f（xj 玄鸟恨）.a.f（x.）注：对于上述