函数极限的定义的多种表达

1、精心整理函数极限的定义数学科学学院2010级(1)班指导教师韩刚摘要极限是数分中的重要内容，用定义证明极限类型题都要用到它。本文就给出二十四个函数极限的定义。关键词极限1函数在一点的极限的定义1.1 函数在X0点的极限的定义设函数f(x)在X0点的附近(但可能除掉点本身)有定义，又设A是一个定数。如果对任意给定的名>0, 一定存在6>0,使彳3当0< x-x°|<6时，总有|f(x)-A<w ,我们就称A是函数在点X0的极限， 记为lim f (x) = A ,x)x0或者记为 f(x) . A(x x0).这时也称函数f(x)在x0点极限存在，其极限值

2、是 A.1.2 函数在点x0右侧的极限的定义设函数f(x)在(x。，x0+")内有定义，”是一个确定的正数，又设A是一个定数。如果对任意给定的8>0,总存在> >0,当0<x-x 0 V 6时，有f (x) - A < "我们就称A是函数f(x)在点x 0的右极限， 记为lim f (x)=人或电 0+0)=Ax jx0 0精心整理精心整理或 f(x) A(x . X0+0)这时也称函数f(x)在点X0右极限存在。1.3 函数在Xo点左侧的极限的定义设函数f(x)在(xo-，xo)内有定义，”是一个确定的正数，又设 A是一个定数。如果对任意给定

3、的a>0,总存在6>0,当0<x0 -x <6时，有f(x) A<以我们就称A是函数f(x)在点的左极限，记 为lim ”*)=人或* x0 -0)=A x_rx0 -0 r .或 f(x) > A(x > x0 -0)这时也称函数f(x)在x0点左极限存在.2函数在无限远处的极限2.1 函数在无限远处极限的定义若对任意给定的s>0,存在X>0,当|x>X|时，总有|f(x)-A <君，我们说A是f(x)在无限远处的极限，或者说A是当xtg时f(x)的极限，记为这时也称函数f(x)在无限远处极限存在2.2 函数在正无限远处的极限

4、的定义若对任意给定的>0,存在X>0,当x>X时，总有| f (x) - A父名，就称A为f(x)在无限远处的 极限，或者称A是当xt +的时f(x)的极限，记为或 f(x) 一； A(x：,)这时也称函数f(x)在正无限远处的极限存在。2.3 函数在负无限远处的极限的定义若对任意给定的>0,存在X>0,当x<-X时，总有| f (x) - A <名，就称A为f(x)在负无限远 精心整理精心整理精心整理处的极限，或者称A是当XT+g时f(x)的极限，记为或 f(x) A(x )一二)这时也称函数f(x)在负无限远处极限存在。3函数在一点处函数值趋于无穷

5、大3.1 函数在x。点处函数值趋于无穷大的定义如果对于任何G>Q存在6>0,当O<x-xo| <6时，有|f(x)| >G,就说函数f(x)在x。点趋于无 穷大(或发散到无穷大)，记为/ :门 L，jlim £(*)=00或£仅)t °q(xt x0) x_xo3.2 函数在x。点右侧函数值趋于无穷大的定义如果对于任何G>0,存在6>0,当0<x-x0c6时，有|f(x)|G,就说函数f(x)在x0点右侧趋 于无穷大(或发散到无穷大)，记为3.3 函数在x0点左侧函数值趋于无穷大的定义如果对于任何G>0,存在6

6、 >0,当0<x0 -x< a时，有|f(x) >G,就说函数f(x)在x0点左侧趋于无穷 大(或发散到无穷大)，记为4函数在一点处函数值趋于正无穷大4.1 函数在x0点处函数值趋于正无穷大的定义如果对于任何G>0,存在6 >0,当0c|x-x0| < 5时，有f(x)>G,就说函数f(x)在x0点处趋于正 无穷大(或发散到正无穷大)，记为4.2 函数在x0点右侧函数值趋于正无穷大的定义如果对于任何G>0,存在6>0,当0<x-x0<：6时，有f(x)>G,就说函数f(x)在x°右侧趋于正无 穷大(或发散到

7、正无穷大)，记为精心整理4.3 函数在xo点左侧函数值趋于正无大穷的定义如果对于任何G>0,存在6 >0,当0cxo -x< B时，有f(x)>G,就说函数f(x)在x°右侧趋于正无 穷大(或发散到正无穷大)，记为5函数在一点处函数值趋于负无穷大5.1 函数在xo点处函数值趋于负无穷大的定义如果对于任何 G>0,存在6 >0,当0< xx0 <6时，有f(x)<G,就说函数f(x)在xo点处趋于 负无穷大(或发散到负无穷大)，记为/ . ? y I/' I 飞. -5.2 函数在x。点右侧函数值趋于负无穷大的定义如果对于任

8、何 G>0,存在6 A0,当0<x-x0 <6时，有f(x)<-G,就说函数f(x)在x°右侧趋于正 负穷大(或发散到负无穷大)，记为5.3 函数在x0点左侧函数值趋于负无穷大的定义如果对于任何 G>0,存在6 >0,当0<x0 -x<a时，有f(x)<-G,就说函数f(x)在x°右侧趋于负 , -无穷大(或发散到负无穷大)，记为6函数在无限远处函数值趋于无穷大6.1 函数在无限远处函数值趋于无穷大的定义如果对于任何G>0,存在X>0,当x >X时，有f(x)| >G ,就说函数在无限远处趋于无穷

9、大(或 发散到无穷大)，记为6.2 函数在正无限远处函数值趋于无穷大的定义如果对于任何G>0,存在X>0,当x aX时，有f(x)| aG ,就说函数在正无限远处趋于无穷大(或 发散到无穷大)，记为6.3 函数在负无限远处函数值趋于无穷大的定义如果对于任何G>0,存在X>0,当x < -X时，有f (x)| > G，就说函数在负无限远处趋于无穷大(或 发散到无穷大)，记为 精心整理精心整理7函数在无限远处函数值趋于正无穷大7.1 函数在无限远处函数值趋于正无穷大的定义如果对于任何G>0,存在X>0,当x aX时，有f (x) >G ,就说函

10、数在无限远处趋于正无穷大 (或 发散到正无穷大)，记为7.2 函数在正无限远处函数值趋于正无穷大的定义如果对于任何G>0,存在X>0,当x aX时，有f (x) >G，就说函数在正无限远处趋于正无穷大(或 发散到正无穷大)，记为7.3 函数在负无限远处函数值趋于正无穷大的定义:J、 I如果对于任何G>0,存在*>0,当*<X时，有f(x)>G ,就说函数在负无限远处趋于正无穷大 (或发散到正无穷大)，记为8函数在无限远处函数值趋于负无穷大8.1 函数在无限远处函数值趋于负无穷大的定义如果对于任何G>0,存在X>0,当|x|>X时，有f(x)c-G ,就说函数在无限远处趋于负无穷大(或 发散到负无穷大)，记为8.2 函数在正无限远处函数值趋于负无穷大的定义如果对于任何G>0,存在X>0,当xX时，有f(x)<-G ,就说函数在正无限远处趋于