考研数学基本知识点大全复习大全

1、高等数学基本知识点QQ807784058一、函数与极限1、集合的概念i般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总休叫集合（简称聚）集介只冇确定性（给 定集合的元素必须是确定的）和m异件（给定集合中的元索是用不相同的）-比如“身材较崗的人”不能 构成集合，肉为它的元索不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、表示集合，用小写拉丁字母n、b、c表示集合中的元素. 如果a是集介A中的元素，就说a屈T A.记作：aeA.否则就说a不屈丁 A记作：aA.仃）、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或白然数集）。记作N（2）、所育止整数组成的集合叫做止整数集。记作N或N-（3）、全休整数组成的集

2、介叫做整数集.记作Z.（4）、全体冇理数组成的集介叫做冇理数集.记作Q,（5）、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R.集合的表示方法、列举法：把集介的元索一列举出來，并用“ ”括起來农示集介（2）、描述法：用集合所有元索的共同特征来表示集合.集合间的基本关系、了集：一般地，对丁两个集合A、B,如果集合A中的任意-个元索都是集介B的元第.我们就 说A、B fj包介关系，称集介A为集合B的子集，记作A CB （或B OA）（2）相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元索与集合B中 的尤索完全一样，I月此集合A与集合BHI等，记作A=B°、真子集*如何集合A

3、足集合B的子集，但存在一个元索JK于B但不嵐于A,我们称集合A是集合 B的貞子集。（4）、空集：我们把不會任何元素的集合叫做空集.记作0,并规定，空集是任何集合的子集.（5）、宙上述集合之间的基本关系，可以得到卜面的结论： 、任何一个集合足它木身的子集。即A CA 、对丁傑介A、B、C,如果A是B的子集，BMC的子集，则A足C的子集. 、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”集合的基本运算、并集：-般地，山所仃屈丁集合A或屈集介B的元索组成的集介称为A »JB的并集.记作A UB.（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次.）即 AUB= x|x

4、WA或 xWB 、交集：一般地，山所的屈j tUAlLWr集介B的儿索组成的集合称为AbB的交集。记作A nBc即 AOB= x|xGA HxWB 、补集：全集：一般地，如果一个集A含何我们所研究问題中所涉及的所有元索.那么就称这个集合为全集。 通常记作U.补集：対一个集合A,山全集U中不屈J集合A的所仃九索组成的集合称为集A A柑对全集U 的补集。简称为集合A的补集，记作C".UP CuA= x|xCU, fix 任 A集合中元素的个数、仃限集：我们把會右何限个元索的集合叫做有限集，倉右无限个尤索的集合叫做无FU集。、用card來表示有限集中元索的个数.例如A= a.b.c.则ca

5、rd(A)-3。、一般地，对任总两个集合A、B.冇card(A)+card(B)-card(A UB)*card(A QB)我的问题：1、学校里开运动会.设人=x|x是参加一百米跑的同学 , B= x|x足参加二百米跑的同学C =(x|x是参加四帀米抱的同学学校规定，毎个参加匕述比赛的同学帰多只能参加两项.请你用集介的 运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。U)、AUB： (2)、AAB,2、在平而宜角坐标系中,集AC = gy)|yx衣示直线丫=乩 从这个角度看,集合阳)|方程组： 2xylz4y-5农示什么？集介C、D之间有什么关系？请分别用集合和几何)件言说明这种关系。3、己知集介

6、A-x|lWxW3, B=x|(x-l)(x-a)-O.试判断B是不是A的子集？是否存在实数a使A =B成立？4、对丁有限集合A、B、C,能不能找出这三个集合中元索个数与交集、并集元絮个数之间的关系呢?5、无限集 A= 1. 2. 3, 4.，n. ) , B= (2. 4. 6, 8,，2n. ,你能设计种比较 这两个集合中元索个数多少的方法吗？2、常量与变童、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的呈,其中有的量在过程中不 起变化，我们把英称之为常绘：冇的就住过程中是变化的.也就是可以取不同的数值.我们则把其称之为 变墩。注：在过程中还有一种駅，它虽然是变化的，但是它的

7、变化相对所研究的对彖是极英微小的，我 们则把它看作常呈。、变量的表示：如果变童的变化是连续的.別常用区间来吸示其变化范在数轴上来说,区间足 指介于某两点之间的线段上点的全休.区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴匕的表示闭区间aWxWba» b* 丨 开区何a<x<b(a- b)DA4半开区间aVxWb 或 aWxVb(a. b或a. b)u1丄4t:u1&*t :以上我们所述的都是仃限区间，除此Z外，还仃无限区间：a, +8)：表示不小丁*的实数的全体，也可记为：aWxV8：(8, b)：表示小Fb的实数的全体,也可记为:-8<xVb：(8, +

8、8)：农示全体实数.也可记为：-OO<X< + °°注：梵中8和*8,分别读作"负无穷大"和"疋无穷大"，它们不是数，仅仅足记号.、邻域：设a与6是两个实数，H 6>0.满足不等式|x-a | <6的实数x的全体称为点a的 5邻域，点a称为此邻域的中心，5称为此邻域的半径。2、函数(1) 、函妓的定义：如果半变昴x在英变化范用内任意取定一个数值时.吊y按照一定的法则f总冇确 定的数值与它对应，则称y是x的函数。变乐x的变化范圉叫做这个函数的定义如 通常x叫做自变量，y 叫做函数值(或因变量)，变虽y的变化范叫做

9、这个函数的值域.注：为了农明y是x的旳数，我们用 记号y=f(x)、y=F(x)等等來衣示。这里的了母"厂、F衣示y与x之间的对应法则即函数关系，它们是可以 任总:采用不同的字母来表示的.如果门变显:在定义域内任取一个确定的值时，畅数只冇一个确定的值和它 对应，这种曲数叫做单值因数，否则叫做多值说数.这里我们只讨论单值曲数.(2) 、函数相等山函数的崔义可知，一个函数的构成耍索为：定义域、对应关系和值域。山丁值域是山定义域和对应 关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致.我们就称两个函数相等.、域函数的表示方法a) ：解析込用数学式子表示自变量和因变量之何的对应关系的

10、方法即是解析法.例：直角坐标系中, 半径为r、圆心在脈点的圆的方程是：x：+y：=r：b) ：表格法：将一系列的白变戢值与对应的两数值列成表來表示说数关系的方法即是表格法.例：在 实标应用中，我们经常会用到的平方表，三角肉数表等都是用表格法表示的肉数。c) ：图祁法*用坐标平面上曲线*表示函数的方法即暑图示法.般用横坐标表示门变纵坐标表 示因变量.例：直角坐标系中，半径为“圆心在庄点的圆用图示法表示为：3、函数的简单性态、函数的有界性：如果对属于某一区间2的所有x值总有| f(x) | WM成立，其中M足个与x无关 的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界,否则便称无界.注：一个函数，如果在其

11、整个定义域内育界，则称为有界曲数例题：函数COSX在(8,+oo)内是有界的.、函数的单调性：如果函数隹区间(a,b)内随着x增人而增人，即：对丁 (a,b)内任总陶点氐 及X：, gVx：时.冇V®.则称函数几%:区间(a, b)内足单调増加的。如果函数/ 在区间(a,b)内随着x增人而减小，即：对J -(a, b)内任盘两点&及左，当X1<x=时，仃/佃)则称幣数FS）在区间（a, b）内是单调减小的。例题：函数-W=x 61区间（8,0）上是唯调减小的，任区间（0,+8）上是总调増加的。（3）、函数的奇偶性如畑数"）对淀义域内的任意X都満足*则叫做码函数

12、：如果函数/債）对丁淀义域内的任总X都满足*K）“匕），则"）叫做奇瓯数。注：偶函数的图形关丁y轴对称，奇函数的图形关丁脈点对称。、函数的周期性对涵数川*）,若存在一个不为零的数厶使得关系式几对J：定义域内任何X值都 成立，则#）叫做周期函数，2是力的周期。注：我们说的周期用数的周期是指最小止周期。例圈 换数E兀81星是以2JI为周期的周期凶数：函数tgx是以n为周期的周期隨数。4.反函数、反函数的定义：设有函数A./8,若变fty在函数的值域内任取一值y.时，变fitx在函数的 定义域内必有-值&与Z对应，Up/G"二儿，那末变虽x是变虽y的函数.这个函数川*=*

13、5 來衣 示，称为惭数八/何的反旳数.注：山此定义可知，函数也是函数的反函数。、反函数的存在定理：若'国49b）卜.严恪増（减）其值域为R则它的反曲数必然在R 上确定，且严格堆（减）注：严格增（减）即是单调增（减）例题：y=x：.英定义域为（8,+8）,值域为0,.8）.对丁 y収定的非负值，可求得x=±V .若我们不 加条件，Ihy的值就不能唯一确定x的值，也就足在区间（8,+8）上，丙数不是严格増（减），故英没冇反 函数。如果我们加上条件，耍求x0则对yMO、尸石就是产x：在要求xMO时的反函数。叩是：函数 在此要求下严格增（减）.、反函数的性质：在同一坐标平面内,y-/

14、W与入=心的图形是关克线尸X对称的。例题，函数F"与函数JF = I*«< "为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关纟戈y=x对称的如右图所示:、反函数的性质：在同一坐标平面内,y-/W与入=心的图形是关克线尸X对称的。、反函数的性质：在同一坐标平面内,y-/W与入=心的图形是关克线尸X对称的。5、复合函数复合函数的定义：若y是u的怖数：尸"）.而u 乂是x的换数："用），的旳数 值的全部或部分的畑 的定义域内，那末.y通过u的联系也是x的函数.我们称拆一个函数是山函数 八"D及复合而成的函数，简称境合函数，记作y= J1

15、*CZ）J,其中u叫做中间变比注：并不是任总两个换数就能复合：复合怖数还可以由更多恠数构成例题:値与皈数h = 2+H是不能复介成一个函数的。冈为对的定义域（8广8）中的任何x值所对应的u值（都人丁或等丁2）,使都没有定义.6. 初等函数、基本初等函数：我们最常用的令五种慕本初等南数.分别是：指数嗨数、对数幡数.泵旳数.二角肉数及反三角悄数。卜向我们用农格來把它们总结一下:函 数 名 称函数的记号函数的图形函数的性质指 数 函 数a）:不论x为何值,y总为正数;b）:当x=0时，尸1.对 数 函 数¥ 函 数y = kg*a* 0Ja) :其图形总位轴右侧，并过(1,0)点b) ：当

16、dAl时，在区何(0, 1)的值为 负：在区间(,+8)的值为正：金定义 域内单调増.八C为任盘实数这里只顷出部分函数图形的-部分.令 a=m/na) :当m为偶数n为奇数时,y是偶函数；b) :当m, n都是奇数时,y是奇函数；c) :当1奇n偶时,y在(-8,0)无意义.角 函 数正弦函数)这里只塢出了正弦函数a) :正弦旃数是以2“为周期的周期函数b) :正弦函数是奇函数且丘水'反角 函 数z-<ra*x(反正弦怖数)这里只丐出了反正弦函数Ida)： III J"此幣数为多值函数，肉此我 们此函数值限制在7/2,刃/2上， 并称其为反正眩函数的主值.、初等函数：由

17、基本初等丙数与常数经过仃限次的令理运聲及灯限次的函数复合所产工并IL能川 个解析式农出的函数称为初等函数.例题：十城叶再十血血)是初等廉数7、双曲函数及反双曲函数、双曲函数:在应用中我们经常遇到的双曲函数是:(用表格来描述)函数的名称函数的表达式函数的图形函数的性质双曲正 弦4 21y=s'/ Q：其定义域为：（-8,+8）：b）：足奇函数：c）：在定义域内是单调增/ /双曲余 弦心2XX.lyr y=chx/y1a）：其定义域为：（-8,+8）：b）：是偶函数：c）：其图像过点（0,1）:双曲正 切#4十1&1a）：其定义域为：（-8,+8）：b）：是奇函数：c）：其图形夹在

18、水平直线y=l及y=-l之问：在定域内眾调增：厂 y=thx/丿-1我们再來看一下女曲用数与二角说数的I 乂别:双曲函数的性质三角函数的性质0 = 0xA0=lfM = 01C = QLoo«0 = LtaaO = 0shx与thx是奇函数，chx是偶函数sinx与lanx是奇函数，cosx是偶函数x = 1它们都不是周期旳数都挺周期函数双曲函数也有和差公式:±JT ±力=如;如:t 七如、反双曲函数：双曲用数的反用数称为反戏曲函数.a）：反双曲正弦函数ZukOMH+l）英定义域为：（8）：b）：反双曲余弦用数0=It Lizc）：反双曲正切函数2 lK其定义域为

19、：（-1,0:8. 数列的极限我们先來回忆一下初筹数学中学习的数列的概念。、数列：若按照一定的法则，冇第i个数m第二个数，依次It列下去使得任何一个正整 数n对应着一个确定的数，那末，我们称这列冇次序的数a” a：,，a，为数列.数列中的毎一个数 叫做数列的项。第“项叫做数列的一般项或通项.注：我们也町以把数列並看作II变试为止整数n的函数.即：的.它的宦义城址个体总（2）、极限：极限的概念是求实际问题的桔确解答而产牛的.例：我们可通过作圆的内接止多边形，近似求岀圆的面枳。设有一圆，首先作圆内接正处边形,把它的面积记为山再作圆的内接正十.边形，其面积记为比： 再作圆的内接正二十四边形，英而枳记

20、为儿：依次循下去（一般把内接正6X2"边形的面积记为AJ可得- 系列内接正多边形的面积：A；, A：. A”，An.，它们就构成一列仃序数列。我们可以发跖当内接正 多边形的边数无限增加时，An也无礙接近某一确定的数值（圆的向枳），这个确定的数值在数学上被称为数 列山，Ax. A, An, 当n-8（读作“趙近丁无穷人）的极限。注：上而这个例了就是我国古代数学家刘徽（公元三世纪）的割圆术.、数列的极限： 般地.对丁数列叫4丿叫5來说.若存在任总给定的正数£ （不论“么小），总存在正密数N，使得対J' n>N时的一切心不等式都成立，那末就称常数a是数列入总的极限,

21、或者称数列恳收敛丁 a 记作：*注：此宦义中的正数c只仃任盘给迟，不等式才能衣达出兀“与a无限接近的总恵。11 宦义中的正整数N与任盘給定的正数c是冇关的，它是随看c的给定而选定的。（4）.数列的极限的几何解释：在此我们可能不易理解这个概念下面我们再给出它的一个儿何解禅以使我们能理解它。数列乙极限为a的一个几何解释：将寫数a及数列叫召叫耳严在数轴匕用它 们的对应点农示出來再在数轴上作点&的£邻域即开区间（a-c . a*c）,如下图所示:因不等式与不乍式a -Kx/CaZ等价，故芳n>N时所仃的点心都落在开区何（a-e . a"）内,而只有有限个（至多只有N个

22、）在此区间以外.注：至丁如何求数列的极限，我们在以后会学习到.这里我们不作讨论.、散列的有界性：对丁数列耳，若存在着正数M.便得-切入祁满足不等式|入|wm,则称数 列心是有界的,若疋数M不存在，则可说数列是无界的。定理；若数列心枚敛.那木数列匚一定冇界.注：冇界的数列不一定收敛，即：数列冇界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.例：数列1. -1, 1. -1. （-I）"*1 是有界的，但它是发散的.9、函数的极限曲面我们学习了数列的极限，已经知逍数列可看作类待殊的函数.即白变量取1-8内的正整数, 若变量不再限丁正整数的额/T，而是连续变化的，就成了函数.下UH我们来学习函数的

23、极瞅.幣数的极值有两种惜况：a）：白变駅无限增大：b）：自变昴无限接近某一定点狀，如果在这时，幡数 值无限接近某一常数A,就叫做惭数存在极值。我们（2知逍甫数的极值的惜况，那么惭数的极限如何呢？下面我们结合着数列的极限來学习一下函数极限的概念！、函妓的极限（分两种惜况）a）: fl变就趋向无穷大时函数的极限定义：设函数住对于任意给定的正数（不论其多么小），总存在着正HX,便得对于适合不等式的切x,所対应的甬数值/G）都満足不等式n $0=Al/w- *1那末常数a就叫做旳数-78 x-8时的极限社作:卜M我们用农格把函数的极限与数列的极限对比一下:数列的极限的定义函数的极限的宦义心在数列 75

24、）与常数A,任给- -止数e >0.总町找到一正整数N.对n>N的所有°，都满足RFvc则称数列 ,当x-8时收敛丁a记：fan*>存血数八几叽用数a.任给一正数£>0,总可找到-正数X.对丁适介的-切x,都满足车曲数为L8时的极限为A,记：6 产-从上衣我们发现了什么？ ？试恵考Zb）订I变戢趋向有限值时函数的极限。我们先來看个例子.例：函数 ix-1时函数值的变化趋势如何？函数（W x=l处无定义我们知逍对实数來讲，在数轴上任何个冇限的范IM内，郁仃无穷多个点.为此我们把x-1时函数危的变化趋势用农列出, 如下图：qg ojMom -iJQ 1J

25、991 OOO1J0C1 1JW 1,12_0»1 XH 31从中我们可以看HJxfl时.，S）f2而11只耍X与L有多接近，（J）就与2仃多接近或说：H要/1功与2只圣一个微战一就一定可以找到一个6.十< 6时满足kw-2|< 6定义：设函数在某点&的某个公心邻域内仃定义.11在数儿如果对任意给定的c （不论其女么小），总心半ovU< 6时.e则称函数八m时存在极限.H极限为A,记：注：在定义中为什么定在£心邻域内呢？这是闵为我们只讨论X-Xc的过程，与X*出的惜况无关。此 立义的核心问題是：对给出的e .足否存在正数6,使其在去心邻域内的x均满

26、足不等式。冇些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为A.我证明方法是怎样的呢？a) :先任収e >0：b):写出不等式C):解不等式能否紂JB j;心邻域o vd):则对丁任给的e >0.总能找出6.半0<若能:<6 时.l/w-4v e成立肉此&n/W = 10. 函数极限的运算规则询面c经学习了数列极限的运克规则，我们知道数列可作为一类特殊的幡数，故两数极限的运克规则 与数列极限的运算规则相似。(1).函效极限的运算规则若L1 知 xf xo（或xf 8）时.f（Q血（«”±"朗二乂土2 kn /W-«W = 5

27、MO： fffan=心仇为常Sbfax/3为ZEtHR)推论：叫f在求幣数的极限时，利用卜述规则就可把一个复杂的闻数化为若干个简单的函数來求极限.卄-1例题：求+ra-x+3fan 4a1xa faa Ji-hfcu 3r-«l»l Ml1P_4,42例题：求"*7x5 +5xa -3此题如果像匕題那样求解，则会发现此两数的极限不存在.我们通过观察町以发现此分式的分子和分母 都没仃极限.像这种惜况怎么办呢？卜向我们把它解出来。解答,2注：通过此例題我们可以发现：珥分式的分子和分母都没仃极限时就不能运用商的极限的运算规则了. 应先把分式的分子分母转化为存在极限的惜形

28、，然后运用规则求之.函数极限的存在准则学习函数极限的存在准则Z前，我们先來学习一下左、右的概念。我们先來看一个例子：例：符号函数为Ofx = O丄4对T这个分段丙数,x从左趋丁 0和从右趋丁 0时函数极限是不相同的为此我们定义了左、右极限的概 念。定义:如果x仅从左侧(x<xo)趋近X。时诵数与常战A无限接近则称A为怖数，(刃当*->巧 时的左极限.记:如果x仅从右侧(x>&)趋近&时.函数与常戢A无限接近.则称A为怖数於®屮TX；时= A的右极限记：厂注：只仃当x-x。时，函数/(E的人、右极限II.相等，方称右x-Xc时仃极限函效极限的存在准则准

29、则一：对点X。的某一邻域内的一切X.XD点本身町以除外(或绝对值大丁某一正数的一切x) /fgW那末a存在.II等丁A注：此准则也就是夹逼准则.准则二：单调有界的两数必有极限. 注：仃极限的函数不一圧单调仃界 两个直要的极限limfl+_!）=X注：其中e为无理数它的值为：e=2. 718281828459045 注：在此我们对这两个重耍极限不加以证明.注，我们要牢记这两个車耍极限，在今后的解世中会经常用到它们.当x-0时.>"我们把这种悄况称为"）趋向无穷大。为解答2令 2 ,则x=-2t,因为x8故t 8.注：解此类熨的题时，一定要注意代换后的变厳的趋向惜况，彖X

30、-8时，若用t代换1/x,则t-0. 无穷大就和无穷小虽无穷大量我们先来看一个例了：此我们可定义如下设仃函数产/何.x=x0的公心邻域内仃定义.对丁任盘给定的正数N 个任总大的数）.总町找到止数6,当0<|1咄<% l/WP1”成立，则称旳数屮T毛时为无穷大显an y（x） = «i记为： *（表示为无穷大呈，实际它是没右极限的）同样我们可以给出当8时，/&）无限趋人的定义：设仃旳数尸y®.当x允分人时有泄义, 对丁任总给定的正数M-个任盘大的数），总可以找到正数M片庐"时，"妙*"成立，则称函fai/（z） = ra数当X

31、f 8时是无穷大ft, id为：无穷小量以零为极限的变呆称为无穷小量。定义：设仃说数#6.対任意给疋的止数不论仝多么小）总#411-：数$（或疋数M,使得对r适合不等式（或kpw）的-切x,所对应的函数值満足不等式”冊°,则称检数/"-和或乂_8）时为无穷小童.«n/（x） = O fan J（x） = O记作；i（或）注意：无穷大虽与无穷小虽都是一个变化不定的量，不是常量，只仃0川作为尢穷小园的唯*«ft. 无穷大员打无穷小虽的区别是：询各无界，后者冇界前花发散.后者收敛丁 0无穷大虽与无穷小凰足互 为倒数关系的.关于无穷小量的两个定理定理一：如果怖数

32、在” T心（或L8）时有极限A. JHIJ/W"Z=珥习是屮> E（或Xf 8）时的无穷小示，反之亦成立.定理二：无穷小虽的有利运算定理a）：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小呈:b）：有限个无穷小量的积仍是无穷小量:c）：常数与无 穷小戢的积也足无穷小51无穷小呆的比较通过询面的学习我们C经知道，两个无穷小虽的和、左及乘枳仍IH是无穷小.那么两个无穷小城的商会 是怎样的呢？女门接卜來我们就來解决这个间題，这就足我心耍学的两个无穷小量的比较。定义，设a. B都是时的无穷小血JI B在Xo的公心领域内不为寥则称a是B的岛阶无穷小或B是a的低阶无穷小:则称a和3是同阶无穷小;例：因为

33、Em = 13所以当xfO时.x与3x是同阶无穷小:c）：如果f “，则称a和B是等价无穷小.记作 asB（a与B等价）血土 = D冈为 "3X ,所以当Xf 0时，x：是3x的高阶无穷小:hm= 1冈为。次，所以当X-0时 sinx与x是等价无穷小.等价无穷小的性质fct Wfan «设 orSor 0S， ff 存在，则 Bff注?这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时.分子及分母都可用等价无穷小来代替因此我们可 以利用这个性质來简化求极限问懸。-max:bn例题求"*皿虹-mor解答2 “I xf 0 时.sindZM tanbHbx.故： t&Q&

34、amp;Aaaxsm x例题：2.求i tan3入解答:tan xan x54注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时耍代换式中的某一项.不能只代换某个I人I子。 函数的一重婆性质连续性在然界中仃许多现彖，如气温的变化，植物的生长等祁是连续地变化着的.这种现彖在函数关系上的 反映，就是函数的连续性在定义两数的连续性之前我们先来学习一个概念一一增量设变虽X从它的一个初值：变到终值X"终值与初值的x：-x：就叫做变量x的增量，记为：即： Zlx=x：-xi增园4x可正可负.我们再来看一个例子,函数，./的在点X。的邻域内冇定义,当fl变戢x在领域内从Xo变到片4x 时.换数川血地从变

35、到中山）其对应的増嵐为:Ar =/(«c+A«)-/(-=)这个关系式的儿何解释如卜图：巴*心鉛现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当趋向零时，怖数y对应的增吊:4y也趋向零即: 凰® 1 °,那末就称函数F "8在点X。处连续.函效连续性的定义:设函数F =丘点X。的某个邻域内仃运义如果有 f称函数在点X。处连续，称X。为函数的的连续点.下而我们结介着函数左、右极限的概念再來学门 沖函数左.右连续的概念：设怖数/（方在区间（a.b任点b左连续设函数在区间kb）内仃定义.如耒右极限十丿'丿存仙等"服.那木我们就称曲数丁口儿山

36、a右连续.个函数在开区间（a, b）内毎点连续则为在（a,b）连续.若乂在a点右连续.b点左连续.则在闭区间 a, b连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。注：一个函数若在定义域内某一点左、右祁连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续.注：连续幣数图形是一条连续而不间断的曲线.通过上面的学习我们C经知道因数的连续性同时我们可以想到若函数在某点耍是不连续会出现 什么惜形呢？接着我们就來学习这个问題：函数的何断点函数的间断点定义*我们把不满足惭数连续性的点称之为间断点.它包括三种情形:a）： “）在X。无定义:b）：在xx。时无极限:c）："）在xf时右极限但不等J;卜向我们通

37、过例题來学习-卜间断点的类也:例1：正切函数尸也2处没仃定义，所以点 2是函数八x卞的间断点，wr =cox55 11我们就称 2为函数八g乃的无穷间斷点:1y = sm 例2：换数人在点x=o处没有定义：故当x-o时.鞘数值在-1与+1Z间变动无限女次.我y = sin 们就称点x=0叫做丙数X的振荡间断点:k/»=例3：函数a r = 0"b当x_o时，心极限右极限这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在，但不相等.故函数在点x=o不存41极限.我们还可以发现在点x=0时.怖数值产住跳跃现彖.为此我们把这种间断点祢为跳跃间断点：我们把I：述二种间断点用儿 何图形表示出来如

38、下：间断点的分类找们通常把间断点分成两类：如果&是函数孑的间断点.讥杠极限祁/：我们把x。称为 隨数，（町的第一类间断点：不是第一类间断点的任何间断点.称为第二类间断点.可去间断点若&是函数/的间断点，但极限在，那末&足函数/G）的浜间断点。此时函数不连续沁：心）不存在或者山但卽叫如。我们令3丸/3则可便函数及/ &处连续,故这种间断点X。称为可去间斷点。连续旳数的性质及初等旳数的连续性连续函数的性质函数的和、积、商的连续性我们通过两数在某点连续的定义和极限的四则运算法则.可得出以卜结论：a）：仃限个在某点连续的曲数的和是一个在该点连续的因数：b）：仃限个在某点

39、连续的函数的乘枳是个在该点连续的函数：c）：两个在某点连续的怖数的商是一个在该点连续的函数（分村在该点不为零）：反函数的连续性若幣数/在某区间匕单调增（或单调减）II连续那末它的反怖数才祕呵也在对应的区间例：凶数，-3在闭区间2 2卜冲调増（单调减）H连续匕单调増H连续故它的反函数Z =*在闭区间卜1,1匕也是单调増口连续的. 复合函数的连续性设函数"就劝h L&时的极限存在且等于m即:而函数/閻在点u=a连续，那末變合因数尸=/W01当xf时的极限也存在U等汐仏）即例题:bnc«3（l+x）v解答:注：函数八8<1十或可看作=8«« &#

40、187; = 0 + 复合而成，側数A = ««!«在点u=e 连续，因此可得出上述结论。设函数*=朋在点0°连续，11欣）=斗，而函数八y筒在点u=u。连续，那末以函数A = /IM©】在点沦也是连续的初等函数的连续性通过前向我们所学的槪念和件质，我们町得出以卜结论：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的; 一切初等函数在其定义域内也都是连续的.闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续用数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续.对闭区何上的连续曲数何儿 条巫耍的性质，下而我们來学习一下：垠大值最小值定理：在闭区问上连续的函数一定冇最大值和最

41、小值.(在此不作证明)例：函数y=sinx在闭区间0, 2 n 卜.连续，则在点x=m/2处，它的函数值为1, R大于闭区间0, 2 n 上其它各点出的则在点x=3m/2处，它的函数值为-1,且小于闭区间02叮上其它得点出的函 数值。介值定理在闭区间上连续的函数定取得介丁区间两端点的函数值间的任何值.即：/何*、u在a、B之间，则在a, b间一定令一个J使/(OP推论：在闭区间连续的两数必取得介报大值瑕小值之间的任何ffi二、导数与微分导数的概念在学习到数的概念之询，我们先來讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设-质点 沿x轴运动时,其位代x是时间t的函数，K = Jw ,求质点

42、在t。的瞬时速度？我们知逍时间从t。冇增MAt Hj.质点的位阳j增就这就是质点在时间段&的位務。|人i此，在此段时间内质点的平均速度为：z.若质点是匀速运动的则这就是在口的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不足质点在S时的瞬时速度.我们认为半时间段At无阪地接近丁 0时，此 平均速度会无限地接近于质点口时的瞬时速度，即：质点在时的瞬时速度空为此就产生了导数的定义,如下:导数的定义：设函数尸/3*点X。的某一邻域内冇定义半变笊x在应处冇増就xd+Ax也 在该邻域内)时.相应地函数右増虽r；Ay AxZbtAx-0时极限存在，则称这个极限值为，"3在&处的导数=记

43、为：还可记为：石f ,函数/)在点&处任导数简称函“5 在点&处可馭 否则不可导。若函数/CM在区间(a,b) 内每-点都可导就称负数几*)在区间(a, b)内町导。这时函数对门*间(a,b)内的毎-个确 定的X值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就祢这个惭数为脈來函数yr/a）的 导函数.注：导数也就是左商的极限左、右导数前面我们有了左、右极限的概念,导数是塑商的极限,因此我们可以給出左、右导数的概念.若极限J旷山伽我们就称它为函数的左导数 若极限我们就称它为函数尸在X=Xo处的右导数。注：2在&处的* <1 <数处IMII1；是瞬数 =

44、 /W/f &处的町导的充分必要条件函数的和、羞求导法则函数的和差求导法则法则，两个可导用数的和（足）的导数等r这两个悄数的导数的和（足）.用公式町写为： “切性撐"。其中u、V为町导惭数。/=（iy+（j?y+py=+5k4 <-o=L-i-sx4解答：«<例题；己知八金求Wy=（m 初Q°g.*y+（ey=cosx-+®1 解答,a函数的枳商求导法则常数与函数的积的求导法则法则：在求一个帘数与一个町导函数的乘枳的导数时常数时了町以提到求导记号外山。用公式町写成：gQe'例品L1知珂珈卄时，求尹解竺 >* =(3

45、71;n 功= 3(tn itf 十4(总)'=38f ar+4 -2x = 381 x+8z函效的积的求导法则法则：两个可导函数乘枳的导数丁第一个因了的导数乘第二个WT.加上第一个因了乘第二个闪了的导数。用公式可坷成：WTf"皿例题，求加y解答,/C*yxr = sn注：若是三个函数相乘.则先把英中的两个看成-项函数的商的求导法则法则：两个可导用数之商的导数等J分子的导数与分母导数乘枳减云分母导数与分子导数的乘枳.在除以分母导数的平方。用公式可写成:例题，己知2）沁匚求*y解答：/（办伽卄自）'(an.c©®axcm1xcos1 JT=sec*x

46、C«® JT复介函数的求导法则在学习此法则之询我们先来看一个例子!例题，求g 2*=?这个解答正确吗?解答，山丁鈕©'=3長.故2xy=co«2z这个解答是借误的.止确的解答应该如卜:(ch 2j0* 一 (2oi jtoqc j()f - 2(ih. fycocjc+iu x(gqc © 2coc2x我们发4 的灿、I泌址对门变示求导，而不是对2x求丫下而我们给出复介函数的求导浓则复合函数的求导規则规则：两个町导闻数境合而成的复合怖数的导数等诩数对中间变就的导数乘匕中何变笊对门变就的 导数。用公式表示为：空dr Ju女.其中u为中间变

47、虽W例麻已知八五求必4y _令如 dx du dr解答：设« =则金疋可分解为,» = » » M此= ®)i jOr = 2icosx = 2sh xccM；jr=»2x注：在以后解题中，我们可以中间步骤省去.空例题：已知八虹111 r求必= （ln$n jQ*=炉= S2=Cotx解答：血ah xsh k反函数求导法则根据反函数的定义，函数为川调连续函数.则它的反函数,它也是卩调连续的.为此我们可給出反函数的求导法则，如卞（我们以泄理的形式给出）：定理：若"就力环调连续的，且旳则它的反函数了=/的在点X可导，口仃： 只刀

48、注：通过此定理我们町以发现：反惭数的导数鸽H；舶数导数的倒数。注：这里的反曲数是以y为自变嵐的，我们没有对它作记号变换.即：声5是对y求导"切是对x求导例题*求«rao x的导数.入>入>例题：求 = arcfcan»的廿数.入>解答：此用数的反函数为x = tan<x .故xff=nc3>则:高阶导效这种导数的导数叫做s对t的二阶导数。卜面我们给出它的数学定义:我们知道.在物理学匕变速直线运动的速度v(t)是位代函数s(t)对时间t的导数.即：.而加速度a又是速度V对时间t的变化帕即速度V对时间t的导数:定义：怖数，/国的导数”/徊

49、仍然是x的函数我们把的导数叫做怖数住空上理I功的二阶导数记作尸"或占.mi： >*=00f或&必1必丿川应地，=/W的导数叫做悄数"的-阶导数类似地，.阶导数的导数，叫做三阶导敷，上阶导数的导数叫做四阶导数.，一般地(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数.分别记作：尸°二阶及二阶以匕的导数统称高阶导数.山此可见.求髙阶导数就是多次接连地求导.所以.在求高阶 导数时可运用前面所学的求导方法。例题：L1知八吐"，求h解答：肉为”=a,故h=o例题，求对数丙数尸二耐"©的n阶导数.沖=-12-3a+>)*y->=-般地

50、，可得隐函数及其求导法则我们知逍用解析法农示函数，可以仃不同的形式.若函数y可以用仟门变虽x的算式农示，像y=sinx, y=l*3x等.这样的函数叫显函数.前而我们所遇到的函数大*那是显函数.一般地，如果方程F(x, y)=0中，令x在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的y值存在， 则我们就说方程F(x,y)=O在该区间上确定f x的隐函数y.把一个隐函数化成显旳数的形式，叫做隐函数的 显化。注：冇些隐函数并不是很容易化为显函数的，那么也求JL导数时该如何呢？下而让我们來解决这个 问題！隐函数的求导空若12知F(x,y)=O,求血时,一般按下列步骤进行求解:a) ：若方PiJF(x,

51、 y)=0.能化为的形式.则用询面我们所学的方法进fj求导：b) ：廿方程F(x, y)=0,不能化为的形式，则是方程两边对x进fj求导，并把y看成x的函数y/W,用复合喷数求导法则进行.空例题2知一材"，求忑解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.两边对x进行求导，注：我们对隐函数两边对X进行求导时. 定耍把变虽y看成X的函数.然后对其利丿|父介函数求导法 则进行求导.例题，求隐函数，.少"“"，在x=0处的导数解答：阿边对X求导“/+*7-浓"，故5/ +2x=0时，y=0.故有些幡数在求导数时，若对其覚接求导方时很不方便.像对某些珮函数进行求导时

52、，有没有一种比较 宜观的方法呢？下面我们再来学习一种求导的方法：对数求导法对数求导法对数求导的法则：根据隐函数求导的方法.对某-诩数先取函数的门然对数.然后在求导。注：此方 法特别适用丁廉函数的求导问题O例题，C知八厂>0,求才此题廿对其自接求导比较麻烦，我们町以先对其两边取|'|然对数，然后再把它看成隐函数进行求导， 就比较简便些。如下解答：先两边取对数：把其看成隐函数，再两边求导亠， y = Xc«xh.x+-) =x*rcosxkix+-)因为所以XM例题:(2知忸-欢"引，求”此题可用复介函数求导法则进彳亍求导，但是比较麻烦，下而我们利用对数求导法进行

53、求导hy = -k< ar-D + k<x-2)-Kr-3)-k<Jc-4)解答：先两边取对数2再两边求导屮二g哄丄丄丄丄21(jt-3(x-4) x-1 z-2 jt-3 x-49悄数的微分学习函数的微分Zi"J，我们先來分析-个JI体河題： 块止方形金赋薄片受温度变化的影响时，氏边 长山X。变到了 Xo*Ax,则此薄片的面枳改变了多少？解答：设此薄片的边1(为x,而枳为A,则A是x的函敌：°=昭 池片受温度变化的形响而积的改变呈，可以看成足当1*1变呈x从也取的增戢Ax时,函数A相应的JW ffi AA .即："(气*4尸-斗2斥山十備1从上

54、式我们可以看出，ZSA分成两部分，第-部分&A=心山*是的线件冈数即下图中红色部分：第部分如尸即图中的黑色部分.Ax->0时，它是Ax的高阶无穷小，表示为：心0山此我们可以发现，如果边长变化的很小时，而枳的改变战町以近似的用地-部分来代祎.下而我们 给出微分的数学定义：函数微分的定义：设函数在某区何内仃宦义.刘及xo+Ax在这区间内，若曲数的増虽“J农示为2 =，其中a是不依赖g的帘数，是心的岛阶无穷小，则称函数a "8在点x。可微的.丛1叫做怖数，/（）在点&相应于fl变禾增厳的微分，记作dy,即：妙=松.通过上山的7习我们知道：微分妙是门变的线性函数，心打厶

55、y的力XA0是关r/kx 的高阶无穷小量,我们把dy称作的线性主部.于是我们又得岀:当小0时,ydy.导数的记号为: 冬=40<»，现在我们可以发现，它不仅衣爪导数的记4而II还町以衣小两个微分的比值（ft!Ax看成dx,即:定义自变虽的增虽等于自变呈的微分）,还可表示为:山此我们得IB：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立.微分形式不变性什么是微分形式不边形呢？=则复合因数y = /I喊XM的微分为:*（11 f=故我们可以把复合函数的微分写成dgfGddu由此可见，不论u是|'|变就还是中间变晁，的微分dy总可以用，"细）与du的乘积来表示，我们把这 性质称为微分形式不变性。例题：（2知求dy解答：把2xT看成中间变显u,根据微分形式不变性,则妙= ttf（in «） = co<2x-l-iy/（2*4-D = co<2jrF 0-= 2co<2r通过匕而的学习，我们知道微分与导数冇着不町分割的联系，询面我们知道电木初等两数的导数公式和导数的运算法则，那么基本初等曲数