考研数学公式大全(数三)

1、高等数学复习公式导数公式:(tgx)二 sec x(ctgx)二-esc2 x (secx) = seex tgx (cscx)二-cscx ctgx (ax) = ax In a1(log ax)-xln a(arcsin x)=(arccos x)=(arctgx)=(arcctgx)1.1 - x21121 x11 x2基本积分表：Jtgxdx = In cosx +CJctgxdx = ln sin x +CJsecxdx =ln secx + tgx +C2= sec xdx = tgx C cos xdxcsc xdx 二-ctgx Csin xJcscxdx = In cscx

2、ctgx +Csecx tgxdxsecx Cdxa2x21x carctg C aadx2 2x -aC1 ln 2acscx ctgxdx 二-cscx Cxaxdx C ln ashxdx 二 chx Cdx2 2 a -xln C2a a xchxdx = shx Cdx : 2 2“ a2 -x2-arcsin Cdx.X2 - a2第1页共6页高等数学复习公式第#页共6页高等数学复习公式Xdx”1n22二 sinn xdx 二 cosn001 21Hx2 +a2 dx = Jx2 +a2 +父1 n(x + 寸 x2 + a2) +C 2 2i 2 Wx2 -a2dx = x*x2

3、 -a2 - Jn x + Ux2 - a2 +C 2 2 2.a2 -x2dx2a . x-xarcs in2三角函数的有理式积分:2usinx 2，1 ucosx 二匕,tgi，dx2duu2第#页共6页高等数学复习公式一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦:shxx_xe -ex双曲余弦:chx 2sin xlim1x 2 xlim （1 2）x =e =2.718281828459045 j xX _x双曲正切g詁汴arshx =1 n（ x . x1）2archx 二 In（x 亠x -1）arthx21 -x-和差角公式:sin（x 二）=sin ： cosL 二 cos： sin

4、: cos（：） =cos： cos ： -sin ： sin :tg：； tg :tg（_ btg： tgl ctg（： _ ctg： ctgTctgi 二 ctg：Ra + P a - Psin 篇出 sin= 2sincos2 2Ra +P a _Psin 匚-sin= 2cos sin 一2 2Ga + P a - Pcos： cos- - 2cos cos2 2Ra + P a - Pcos： -cos - - 2sinsin 2 2倍角公式:sin 2： =2s in- icos-：2 2 2 2cos2- = 2cos - -1 =12sin - = cos - -sin -ct

5、g 2:ctg2 ： -12 ctg :sin3： = 3sin：4sin3:3cos3： - 4cos ： -3cos：tg2：2tg :21 -tg :-tg3：=33tg： -tg :1-3tg2：-半角公式:丄 1cosa2 2丄 a 亠-cosatgr-.1 cos：1 -cos：蛙si nsin :1 +cosa正弦定理：- b 2Rsin Asin Bsin Csin ，1+cosacos2 2丄a丄 jM+cosctg2 1 co申1 cos：si nsi n：1-cos：2 2 2余弦定理：c = a b -2abcosC-和差化积公式:第2页共6页高等数学复习公式高阶导数公

6、式莱布尼兹(Leibniz )公式:n(n)k (n 上)(k)(uv)Cnu vkX(n)g) n(n-1) (n. n(n- 1厂(n-k 1) 5 g5)=uv nuvuv亠 亠uv 亠 亠uv2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b) -f (a) = f ( J(b-a)柯西中值定理：f(b)-f”F(b)-F(a)F 徉)当F(x)二x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。定积分的近似计算：定积分应用相关公式：多元函数微分法及应用隐函数方程组:F(x，y，u，v)=jG(x,y,u,v)=O:u 1 j(F,G)；v 1,_ ,I,”， _-.xJ；：(x,v)；xJ

7、:u1；:(F,G)；v1= =:yJ；:(y,v)为JcFcF1 ,(F,G) _石FuFvc(u,v)cGcGGuGvcu：(F,G)；：(u,x)：(F,G)f(u, y)第3页共6页高等数学复习公式微分法在几何上的应用： 多元函数的极值及其求法:fxy(x,y) = B,fyy(x,y) = C设fx(x0,y。)= fy(x,y) =0,令：fxx(X0,y。)= A, 2 A0时，0爲治0,(x0, y0 )为极小值贝ACB2 0时，无极值AC-B2=0寸,不确定I常数项级数：等比数列：1 q q2 g7qn 4 = 1 q1 q等差数列：2,3n=加2调和级数：1 1 1 J是发

8、散的23 n级数审敛法:1正项级数的审敛法根植审敛法(柯西判别法)：-Pel时，级数收敛设：P =lim；.：un，则 P1时，级数发散I P=1时，不确定2、比值审敛法：设:心im Ua，nUn：:：1时，级数收敛 则 P 1时，级数发散 p=1时，不确定 3、定义法：sn =比 U2川卷Un； lim Sn存在，则收敛；否则发 散。交错级数5 -u2 u3 -u (或 -5U2-u3 ，un 0)的审敛法莱布尼兹定理：Un讥十如果交错级数满足n：，那么级数收敛且其和S兰*,其余项rn的绝对值rn WUn审 lim un =04-JPC绝对收敛与条件收敛：(1) u U2川Un宀，其中Un为

9、任意实数；(2) U +上|+比|+血+如果(2)收敛，则肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果(2)发散，而(1)收敛，则称为条件收敛级数。调和级数1发散，而上收敛；nnp级数：np第5页共6页高等数学复习公式第#页共6页高等数学复习公式幕级数:第#页共6页高等数学复习公式x0 =0时即为麦克劳林公式：f(xrf(0) f(0)x ；(!0)八f In些函数展开成幕级数:1 xx2 . x3 川质xn x 1时，收敛于丄1 -xx _1时，发散对于级数(3)a aiX - a?x2亠亠anXn ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存x:：:R时收敛在R,使 x .R时发散，其

10、中R称为收敛半径x=R时不定求收敛半径的方法：设lim = P,其中 an， T anan 1是 (3)的系数，则0时，R=1Pr =0时，R =:时，R = 0函数展开成泰勒级数：f(X)= f(x0)(X-x0)畀(X-X)n2!n!函数展开成幕级数:f ( n制()余项：Rn JLJ(x_Xo)n1,f(X河以展开成泰勒级数的 充要条件是(n +1)!lim Rn = 0(1x)J mx 哑以22!35sin x =x _ x(_1)n_3!5!(2n -1)!十十 m(m1)(m n +1)” 十2n4xn!(-1 ： x : 1)微分方程的相关概念:一阶微分方程：y=f(x, y)

11、或 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy = f(x)dx的形式，解法: g(y)dy =jf (x)dx 得：G(y)=F(x) V称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方 程可以写成 鱼=f(x, y)二(x, y)，即写成卫的函数，解法：dxx设u = y，贝U=u x，u 史二(u)， dxdu 分离变量，积分后将 代替u，x dxdx dxx (u)-ux即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1、阶线性微分方程：dy P(x)y =Q(x)dx当Q(x) =0时，为齐次方程，y当 Q(x)0时，为非齐次方程,y =(JQ(

12、x)eF(gdx+C)eTP(g 2 贝努力方程：dy P(x)y 二Q(x)yn,(n = 0,1)dx全微分方程:如果P(x,y)dx Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微 分方程，即：du(x, y)二 P(x, y)dx Q(x,y)dy =0,其中：-U = P(x, y),=Q(x, y) excy.u(x, y) =C应该是该全微分方程的 通解。二阶微分方程：d2ydx2+ %)孚dxQ(x)y = f(x)，f (x)三0寸为齐次f (x) = 0寸为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) y py qy =0，其中p,q为常数;求解步骤：1、 写出特征方程：(=)r2 pr q = 0,其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y ,y ,y的系数;2、求出(式的两个根ri,r23根据ma的不同情况，按下表写 出(*)式的通解:G D的形式(*)式的通解两个不相等实根(p2 4q 0)gx |r2xy =