考研数学辅导,第三讲中值定理的证明

1、第四讲中值定理的证明技巧一、考试要求1、理解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，有界性定理，介值定 理)，并会应用这些性质。2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值 定理。掌握这四个定理的简单应用(经济)。3、 了解定积分中值定理。二、内容提要1、介值定理(根的存在性定理)(1) 介值定理在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.(2) 零点定理设f(x)在a、b连续，且f(a)f(b) v 0,则至少存在一点 Q (a、b), 使得f(c)=02、罗尔定理若函数f(x)满足：(1) f(x)在la,b 1上连续(2) f(x)在(a,

2、b)内可导(3) f(a)"(b)则一定存在'(a，b)使得f'(J=o3、拉格朗日中值定理若函数f(x)满足：(1) f(x)在a,b上连续(2) f(x)在(a,b)内可导则一定存在 (a，b)，使得 f(b)-f(a) = f'( )(b-a)4、柯西中值定理若函数f(x), g(x)满足：(1) 在a,b I上连续(2) 在(a,b)内可导(3) g'(x)=of(b) f(a) _ f'G)则至少有一点(a,b)使得g(b)-g(a) g'()5、泰勒公式如果函数f (x)在含有 怡的某个开区间 (a,b) 内具有直到n 1阶

3、导数 则当X在(a,b)内时.f(x)可以表示为x-x。的一个n次多项式与一个余项 Rn(x)之和，即f(x)=畑 f(砒十)诗 f 匈(一)2 n nn R(x)其中Rn(x) =f(n 1)()(n 1)!(x-xo)n1介于X。与x之间)，在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1 展开的基点；2展开的阶数；3 余项的形式.其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公 式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式.而基点和阶数，要根据具体的问题来确定.6利用中值定理解题的技巧(1) 辅助函数的构造微分中值定理通常用来 证明一些等式、不等式及方程根的存在性 。在证明 方程根

4、的存在性和不等式时，经常要构造出一个辅助函数，辅助函数的构造方法 通常有三种：找原函数法；指数因子法；常数 k值法。 、方程根的存在性方程根的存在性，常用介值定理和罗尔定理来证明。这里着重讲解罗尔定理。 下面通过例题来给出三种构造辅助函数的方法。 、存在多个中间值的证明有一类问题，要证明存在两个或两个以上的中间值， 满足一定的等式，由于 用一次中值定理只能找到一个中间值，故这类问题通常至少要用两次中值定理才 能解决。(2) 非构造性的证明有一类证明题，在证明过程中，不需要构造辅助函数，只需对原题中的函数 进行讨论，称这类问题为“非构造性的证明”。7、利用泰勒公式解题的技巧泰勒公式常用干处理与高

5、阶导数相关的函数的性态研究，在解题方面，通常 用于证明与中间值相联系的不等式以及求函数极限。(1)带拉格朗日型余项的泰勒公式本公式常用于证明与中间值相联的不等式， 其关键是注意泰勒公式中展开点 xo的选择，通常选已知区间的端点、中间点或函数的极值点和导数为0的点。这类题的特点是已知函数可导的阶数比较高 (二阶以上)，同时还有若干个已知 的函数值或导数值。(2)带皮亚诺型余项的泰勒公式带皮亚诺型的泰勒公式较常用于函数极限的计算，尤其是对常规方法不好求 时的极限，泰勒公式能有意想不到的作用。解题的关键是展开式中项数的确定， 即展开到第几项合适。8、积分中值定理若f(x)在a、b上连续，则至少存在一

6、点c a、b，使得ba f(x)dx=f(c)(b-a)三、典型题型与例题题型一、与连续函数相关的问题(证明存在使f ( ) = 0或方程f(x)=0有根)例 1、设 f (x)在a,b上连续，a ： xi ： x2 ：xn ： b, g 0(i =1,2厂，n)，证明存在 a,b，使得趴Cif(Xi) +C2f(X2)十+Cnf(Xn)f(厂Ci +C2 十+Cn例2、设b a 0, f (x)在a,b上连续、单调递增，且f (x)0，证明存在 (a,b)使得a2f (b)+b2 f (a) = 2二2 f (二)例3、设f (x)在a,b上连续且f (x) 0，证明存在：(a,b)使得 f

7、(x)dx 二 f(x)dx=f (x)dx。a2 a1例 4-1、设 f(x)在0，1上连续，在(0,1)内可导，f(1) = 2 o2xf (x)dx证明：(0,1),使 f ( ) f ( ) = 0例4、设f(x), g(x)在a,b上连续，证明存在：(a,b)使得g( ) a f (x)dx 二f( ) g(x)dxx例5、设f(x)在0,1上连续，且f(x)<1.证明：2x - °f(t)dt =1在(0,1)内有且仅 有一个实根。例5-1、设f(x)在0，1非负连续，证明(1) 存在x° (0,1)，使得在0, xo上以f(xo)为高的矩形面积，等于xo

8、,1上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积；(2) 又设f(x)在(0,1河导，且f (x) -2®，证明(1)中的xo是惟一的。x例6设实数a1,a2,，an满足关系式aj -聖(-1)心 幻 0，证明方程32n -1a1 c o x a2 c o 3xan c o S2(i -1)x = 0，在(0,)内至少有一实根。2例 7、( 0234, 6 分)设函数f(x),g(x)在a,b上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证 明存在一点.a,b使得bba f(x)g(x)dx = f ( ) a g(x)dx3 -x2例8、验证函数f(x)二 211题型二、 验证

9、满足某中值定理x -1，在0，2上满足拉格朗日中值定理，并求 满足定理的题型三、证明存在',使f(n)( )=0(n=1,2,)例9、设f(x)在a,b上可导且f (a)f_(b) ： 0，证明至少存在一个 ga,b)使得f徉)=0例 10、设 f(x)在0,3上连续，在(0,3)内可导，且 f(0) f(1) f(2) = 3, f(3) = 1， 证明存在一个：(0,3)使得f()=0例11、设f (x)在0,2上连续，在(0, 2)内具有二阶导数且恤丄凶 =0,2 1 f(x)dx= f(2)，证明存在 (0,2)使得f ( ) = 0 x_2 cos x题型四、证明存在'

10、;,使G( ,f ( ), f ( )0(1) 用罗尔定理1) 原函数法：f ()g()例12、设f (x), g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且g (x) =0(x (a,b)，求证 存在：(a,b)使得 f (a) 一 f()g(©-g(b)例 13-1、设 f(x)、g(x)在a,b上连续，证明：(1)对于任意的入，(a,b)内可导，f(a)=f(b)=0，(a,b)使f ( ) f()二 0；(a,b)使f ( T f( ) g ( 0例13、( 0134)设f(x)在0,1上连续，(0,1)内可导，且f (1) = k ok xe1 以 f (x)dx, k 1

11、证明：在(0,1 )内至少存在一点，使f ()二(1 -、)f)m + b例 14、 设 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且 f(a)f(b)>O,f(a) f ( 厂:0, g(x)在a,b上连续，试证对三(a,b),使得f ( g( )f().1 1* 例 15、设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内一阶可导，且f(x)dx=0,xf(x)dx=0. 试证： -(0,1),使得 f ( ) =(1 J)f().2)常微分方程法：例16、设f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f (a) = f (b) = ，证明存在(a,b)使得 f) f)例17、设f(x

12、)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1,证明：对任意实数,必存在：(0，1),使得f)-f ( J -= 1(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，求证存在 " (a,b)，使得 bf(b)af(a)=f)©+f(©b - a-nnb ab a f(a) f (b)例19、设f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，求证存在：(a,b)，使得二 n'nf( ) f ( ), n_11例20、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导(0 a b)使得 f (b) 一 f(a)

13、二 in b f ()a求证存在；:二(a,b)，例21、设f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导(0 a b) 使得 f (b) - f (a)b -a十2 ab b2)m例21-1、设函数 f(x) 在闭区间 a,b 上连续，在开区间f (x)0。若极限 lim f (2xa)y x - a 在(a,b)内 f(x) 0 ；b2 -在(a,b)内存在，使一厂Ja f (x)dxf (-在(a,b)内存在与(2)中相异的点，使2 2 2：f ( )(b - a -存在，证明:求证存在：;:二(a,b)，(a,b)内可导，且(1)(3)(1)因 limx >af (2x - a)x

14、 aba f(x)dxo存在，故lim f (2x- a)ia十又因 f (x)0= f (x) f (a) = 0 x二 0= f (a)二 0(a,b)(2)法一、2x设 F (x)二 x ,g(x)二 a f (t)dt(a 乞 x -用柯西中值定理，于是 -(a,b)，使XF(b)- F(a) g(b) - g(a)b2 - a2af (t)dt -xf(t)dt ('(x2)f(t)dt)-8X8X2；f()2 2即a f (x)dx8X8X法二、b2 - a2设丁f (x)dxx2xdx 二aa2；kf (x)dx-2x 二 kf (x)f(t)dt8X8X令 F (x)二

15、 x22 2F(a) = a ,F(b) = bbk a f (x)dx = b2 2 2-(b - a a8X8X-F(a)=F(b)在a,b上用罗尔定理即可。(3)因 f()二 f( )-0二 f( )- f(a), 在a,上应用拉格朗日中值定理，知(a,)使f( f ( )( -a)从而由(2)的结论得b2 a2= 2 二 2:f(x)dx f( ) f ( )( - a)'222b即 f ( )(b - a )a f(x)dx-a8题型5、含有f ()(或更高阶导数)的介值问题例22、 设f(x)在0,1上二阶可导，且f(0)=f(1),试证至少存在一个：(0,1),使2f (

16、)1 -例23、( 012, 8分)设f(x)在-a,a(a . 0)上具有二阶连续导数，f(0)=0(1) 写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。(2) 证明在-a, a上至少存在一个 使得3 aa3f ( )=3 f(x)dx _a例24、设f(x)在-1, 1上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f (0)=0,证明:在 (-1,1)内存在一点，使得f ( ) = 3.题型6、双介值问题F，)=0例25、例1、设f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，0 ： a ： b，求证存在',(a,b) 使得 f ()二 (a b)2耳例26、( 051，12

17、分)已知函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0) =0, f(1) =1证明：(1)存在 (0,1)，使得f ( ) =1 -(2)存在两个不同的点，(0,1)使得f ( )f ( )=1题型7、综合题例27-1、f(x)在0,1连续,(0,1)可导,f(0)=0 ,f(1)=1，证明:对于任意的正数 mi,m2.存在 X1, X2 (0,1)，使(xjm2f (X2)m1m2m1只需证匹旦f (xi)f (X2)1,由于0mi故由介值定理,(0,1)，从而m2=1 - f()m2F面只需证明f(fgf()f (X2)由拉格朗日中值定理,x/(0, ) (0,1), ( ,1) (0,1)使 f( )- f(0)f (儿)及W=f (X2)即牯及加从而4匚“(v Mf (X1)f (X2)例 27、(0