2013年考研数三真题及答案解析

1、2013年考研数三真题及答案解析、选择题18小题.每小题4分，共32分.、1.当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是()(A) xo(x2)o(x3)o(x)o(x2)o(x3)(B) o(x2)o(x2)o(x2)2、，2、o(x)o(x)o(x)【详解】由高阶无穷小的定义可知(A)(B)(C)都是正确的，对于(D)可找出反例，例如当x0时f(x)x2x3o(x),g(x)x3o(x2),但f(x)g(x)o(x)而不是.2.o(x)故应该选(D)2.函数f(x)x(x1)lnx的可去间断点的个数为(A)(B)1(C)2(D)3limf(x)limxx1x1x1x(x

2、1)ln|xxlnx|limLx02xlnxlimf(x)x1Ixx1limx1x(x1)lnxxlnlxlim：x1(x1)lnx，所以所以x1不是函数f(x)的可去间断点.故应该选(C).3设Dk是圆域D()(x,y)|x2y21的第k象限的部分，记Ik(yx)dxdy,则Dk(A)I10(B)I20(C)I30(D)I40【详解】当xlnx0时，xx1exl叫x1xlnx,lxx1xlnx|，-一，、,limf(x)limlim1,所以x0是函数f(x)的可去间断点.x0x0x(x1)lnxx0xlnx|1.1,所以x1是函数f(x)的可去间断点.2【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知

3、Ik(yx)dxdyDkk2(k*10(Sin2cos)rdrkk21(sinsin)d1sin3kcos|22所以I1I32，应该选（B）.34设an为正项数列，则下列选择项正确的是（(A)an一n1an1，则(1)an收敛;(B)1）n1an收敛，则anan1；(C)an收敛.则存在常数P11,使limnpan存在;(D)若存在常数P1,使limnpan存在，则nan收敛.n1D）正确，故应选（D）.【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A）,但少一条件liman0，显然错误.而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件

4、,n不是必要条件,选项（B）也不正确，反例自己去构造.5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C,且B可逆，则A的行向量组等价.A的列向量组等价.B的行向量组等价.B的列向量组等价.(A)(B)(C)(D)矩阵矩阵矩阵矩阵C的行向量组与矩阵C的列向量组与矩阵C的行向量组与矩阵C的列向量组与矩阵【详解】把矩阵A,C列分块如下：A1,2,n则可知ibi11bi22binn(i1,2,n),列向量组线性母.同时由于B可逆，即1ACB1,C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵,C1,2,n,由于AB=C,得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵A的列向量组等价.应该选（

5、B）.1a1200aba与矩阵0b0相似的充分必要条件是1a10006.矩阵(A)a0,b2(B)a0,b为任意常数2001a12000b0是对角矩阵，所以矩阵A=aba与矩阵0b0相0001a10000(D)a2,【详解】注意矩阵b为任意常数(C)a2,bEA1a1aba1a1从而可知2b2a22b,即a0,7.设X1,X2,X3是随机变量PP2Xj2,则似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等.b为任意常数，故选择(A)PiP2P3，且X1N(0,1),X2(2(b2)2b2a2)N(0,22),X3N(5,32),(C)P3P2Pi【详解】2)，则XN(0,1)(B)P2(D)PiP3

6、P2P21,P2X3P2X2P*3(1)23X330-X221,1)1)X0123Pp1/21/41/81/8AX和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为故选择(8.设随机变量Y-101P1/31/31/3(A)12111(B)(C)(D)一862详解】1111PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y11224246，故选择(C).二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)9.设曲线yf(x)和yx2x在点1,0处有切线，则limnfn【详解】由条件可知f10,f'(1)1.所以limnfnlimn2f'(1)2n22n10.设函数zzx,y是由方

7、程【详解】设Fx,y,zxFxx,y,z(zy)ln(zy)zyxy确定，则三|(1,2)x(zy)xxy,x1y,Fz(x,y,z)x(zy),当x1,y2时，z0,所以1(12)22ln2.x11.dx【详解】lnx(1x)2dxlnxd工蛙|idxlnM|1ln21x1x1x(1x)x112.微分方程y14y0的通解为【详解】方程的特征方程为11-0，两个特征根分别为12,所以方程通42解为y(CiC?x)e2,其中Ci,C2为任意常数.13.设Aaj是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aj为元素aj的代数余子式，且满足Ajaij0(i,j1,2,3)，则A=【详解】由条件丹aij0(i,j1

8、,2,3)可知AA*T0,其中A*为A的伴随矩阵，从而可知A*TA,，*但由结论r(A)n,r(A)1,r(A)0,r(A)所以A可能为可知，A1或0.A*t0可知r(A)r(A*),伴随矩阵的秩只能为3,所以A1.14.设随机变量X服从标准正分布XN(0,1),则EXe2X【详解】EXe2X2x1xee2x22dxt2(x2)222dx(xt2(x2)22)e2dxte2dte2dt2一_2eE(X)2e2e2.所以为2e2.三、解答题(本题满分10分)当x。时，1cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，求常数【详解】当x0时cosx11x2cos2x1*x)2o(x2)12x2o

9、(x2)cos3x1扣2o(x2)4921一x2/2o(x),2o(x2)【分析】主要是考查x0时常见函数的马克劳林展开式.所2,22,2、，.92,22,2、1cosxcos2xcos3x1(1xo(x)(12xo(x)(1-xo(x)7xo(x)2由于1cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，所以a7,n2.(本题满分10分)设D是由曲线yx，直线xa(a0)及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10VxVy,求a的值.【详解】VxVy25ay2dx京dx尊3;005aa36xdx-a7Oxf(x)dx20由微元法可知73由条件10V

10、xVy,知a(本题满分10分)设平面区域D是由曲线X3y,y3x,xy8所围成，求【详解】x2dxdyDx2dxdyDix2dxdyD223xxdxx03dydx8xxdy34163(本题满分10分)设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件,价格函数为P60,(P1000是单价，单位：元，Q是销量，单位：件)，已知产销平衡，求:(1) 该的边际利润.(2) 当P=50时的边际利润，并解释其经济意义.(3) 使得利润最大的定价P.【详解】八2(1)设利润为则yPQ(600020Q)40Q60001000Q.500(2) 当P=50时，Q=10000,边际利润为20.经济意义为：当

11、P=50时，销量每增加一个，利润增加(3) 令y'0,得Q20000,P602000040.10000边际利润为y4020.19.（本题满分10分）设函数fx在0,）上可导,f00，且limxf(x)2,证明(1)存在a0,使得fa1；（2）对（1）中的(0,a),f'(【详解】证明（1）由于limf(x)2,x又由于fX0，当xX时,有3f(x)5220,由介值定理,存在a0，使得fa使得所以存在1;x在0,）上连续，且f0函数fx在0,a上可导，由拉格朗日中值定理,存在（0,a）,使得20.（本题满分11分)1a0设A,B101所有矩阵C.(2)1b【详解】f'(f

12、(a)f(0)1),问当a,b为何值时，存在矩阵C,使得ACCAB,并求出显然由ACCAB可知,如果C存在，则必须是2阶的方阵.X1X3X2x4则ACCAB变形为x2ax3ax1x2ax4即得到线性方程组A|b所以，当axx3x2ax3axx2x4x2ax3ax41要使C存在，此线性方程组必须有解,01a0010111a10a101a00101110000101a0b0000b线性方程组有解,0时,即存在矩阵1,bxix3x4xax3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下aC,使得ACCA于是对方B.此时，A|b10111011000000000000所以方程组的通解为X1111X2010cC1C

13、2八X30110X4001,也就是满足ACCAB的矩阵1C1C2C1C1C2C1,C2为任意常数.21.(本题满分11分)f(Xi*)2(81X12a2X283X3)(biXb?X22b3X3)81b182,b283b3(1)证明二次型f对应的矩阵为(2)若，正交且为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y22y2-【详解】证明：(1)f(X1,X2,X3)2(81X12X1,X2,X3X1,X2,X322、283X3)(b1X1b2x2,、2b3X3)8182X181,82,83X2X1,bX1X2,X3b2b1,b2,b3X283X1TX2X3X3X1,X2,X3b3X3X1TX2X3T

14、TX1X1,X2,X32X2X3所以二次型f对应的矩阵为证明(2)1,2，所以为矩阵对应特征值12的特征向量;为矩阵对应特征值21的特征向量;而矩阵A的秩r(A)r(2T)r(2T)r(T)0也是矩阵的一个特征值.故f在正交变换下的标准形为2y；22.(本题满分11分)X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为fx(X)3x2,0:0,其他1，一,在给7Ex(0x1)的条件下，丫的条件概率密度为fYx(y/x)蚪。yx0,其他X,(1)求X,Y的联合概率密度fx,y(2)y的的边缘概率密度fY(y).【详解】(1)X,Y的联合概率密度fx,yfx,yfYX(y/x)fX(x)9y2八,0xx0,其他1,0yx(2)Y的的边缘概率密度fy(y):fY(y)f(x,y)dx1泣dxyx0,2.9yIny,0y1其他23.(本题满分11分)设总体X的概率密度为f(x；)