最新二项分布及其应用学案资料

1、12.5二项分布及其应用考情分析本节内容主要以解答题的形式与分布列、期望等结合，考查条件概率、相互独立 事件的概率，n次独立重复试验及二项分布基础知识1、条件概率：(1)定义：对于任何两个事件 A和B，在已知A发生的条件下, 事件B发生的 概率叫做条件概 率，用 符号P(B/A)来表示，其公式为P(B/A)=P(AB)P(A)(2)条件概率具有的性质：(1)非负性：0 # P(B/A) 1 ; ( 2)可加性：如果B和C是两个互斥事件，则P(B UC/A)= P(B/A) + P(C/A)2、相互独立事件(1)定义：对于事件A和B,若A的发生与B的发生互不影 响，则称A,B为相互独立事件(2)

2、相互独立事件的概率性质：若A与B相互独立，则P(B / A) = P(B),P(AB)= P(B/A)gP(A)= P(A)gP(B)如果事件 A1,A2,ggc)An相互独立，则这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生概率的积，IP P(A1A2gggAn)= P(A1)gP(A2)CWgP(An)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B，A与B，A与B也都相互独立3、独立重复试验与二项分布：独立重复试验：一般的，在相同条件下重复做 的n次试验称为n次独立重复试验二项分布：一般的，在 n次独立重复试 验中，设事件A发生的次数X，在每次试验中事件A发生的概率为p,那么 在n次独立重复试验中，事

3、件A恰好发生k次的概率为p(x = k) = C：pk(1- P)n-k(k = 0,1,2鬃?n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X : B(n,p)，并称p为成功概率。注意事项1.可先定义条件概率 P(BA)二 PPAAL，当 P(B|A)二 P(B)即 P(AB)二 P(A)P(B)时，事 P(A)件B与事件A独立.但是要注意事件 A、B、C两两独立，但事件 A、B、C不一 定相互独立.2.计算条件概率有两种方法.(1)利用定义 P(B|A) =；若n(C)表示试验中事件C包含的基本事件的个数，则P(B|A)n(AB) nA .题型一条件概率【例1】从1,2,3,4,5中任取2个不同

4、的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(BA)等于(丄00Ac3+ C242c21解析 P(A)二二乔飞，P(AG B) = CT而丄由条件概率计算公式，得P(B|A)二PAB二乎=1.p(A)4 410答案 B【变式1】如图，EFGH是以0为圆心，半径为1的圆的内接正方形将一颗豆 子随机地扔到该圆内，用 A表示事件“豆子落在正方形 EFGH内”，B表示事 件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1) P(A)二； (2)P(BA) =.n解析 圆的面积是n正方形的面积是2,扇形的面积是4,根据几何概型的概率12 计算公式得p(a)=n，根据条件概

5、率的公式得P(B|A)=pab2=4.n答案 题型二独立事件的概率【例2】某品牌汽车的4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计， 统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2,且4S店经销一辆该品牌的 汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元; 分4期或5期付款，其利润为2万元用n表示经销一辆汽车的利润付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b(1) 若以频率作为概率，求事件A: “购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有 1位采用分3期付款”的概率P(A);(2) 求n的分布列及其数学期望E( n.解：(1)由题意可知“购买该品牌汽车

6、的3位顾客中有1位采用分3期付款” 的概率为0.2，所以P(A)= 0.83 + C3x 0.2X (1 0.2)2 = 0.896.a(2) 由而=°.2 得 a= 20，-40 + 20+ a+ 10 + b = 100， b= 10.记分期付款的期数为E,依题意得：40202010P(E 1)=而二 0.4, P(E2)=莎二0.2, P( E 3)=硕二0.2, P(E4)=莎 0.1，P(E= 5)=莎=0.1.由题意知n的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元).P( n1) = P( 1) = 0.4,P(n= 1.5) P( 2)+ P( 3) 0.4；P(n 2)

7、P( 4)+ P(E 5) 0.1 + 0.1 0.2.n的分布列为：n11.52P0.40.40.2n的数学期望E(n 1X 0.4+ 1.5X 0.4 + 2X 0.2 1.4(万元)要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解.【变式2】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙 对B,丙对C各一盘.已知甲胜 A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5, 假设各盘比赛结果相互独立.(1) 求红队至少两名队员获胜的概率；用E表示红队队员获胜的总盘数，求E的分布列和数学期望E(3.解 设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,

8、 则D , E , T分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.因为 P(D) = 0.6, P(E) = 0.5, P(F) = 0.5,由对立事件的概率公式知 P(D) = 0.4, P(E)= 0.5, P(F) = 0.5.红队至少两人获胜的事件有：def, def, Def, def.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为 P = P(DE F ) + P(D E F) + P(D EF) + P(DEF) = 0.6X 0.5X 0.5 +0.6X 0.5X 0.5+ 0.4X 0.5X 0.5+ 0.6X 0. 5X 0.5 = 0.55

9、.(2) 由题意知E可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知DEF, DEF, DEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(E= 0)= P(DEF) = 0.4X 0.5X 0.5 = 0.1,P( 1)= P(DEF)+ P(DEF) + P(DEF)=0.4X 0.5X 0.5+ 0.4X 0.5X 0.5+ 0.6X 0.5X 0.5= 0.35,P(E= 3)= P(DEF) = 0.6X 0.5X 0.5 = 0.15.由对立事件的概率公式得P(E= 2)= 1 P(E= 0)- P( = 1) P(E= 3) = 0.4.所以E的分布列为：0123P0.10.350.

10、40.15因此 E( B= 0X 0.1+ 1 X 0.35+ 2X 0.4+ 3X 0.15= 1.6.题型三独立重复试验与二项分布【例3】今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量.例如：家居用电的碳排放量(千克)=耗电度数X 0.785,汽车的碳排放量(千克)=油耗公升数X 0.785 等.某班 同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查.若精品文档生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”， 否则称为“非低碳族”.这二族人数 占各自小区总人数的比例P数据如下：A小区低碳族非低碳族比例P122B小区低碳族非低碳

11、族比例P455(1) 如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低 碳族的概率；(2) A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列如果2周后随机地从A小区中任选25人，记E表示25个人中低碳族人数， 求 E(B.1P(A)= 2X解：(1)记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A， 如»1+ 4X妇如4X1 +妇妇2 5 52 2 5 5 2 2设A小区有a人,2周后非低碳族的概率1 1 2 ax x 1-52_8二 25,2周后低碳族的概率P= 1-8 = 1725二 25,依题意EB(25,17所以 E(B = 25X1725二17.【变式3】

12、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的 再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训, 精品文档已知参加过财会培训的有 60%,参加过计算机培训的有 75%，假设每个人对培 训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求 X的分布列.解(1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件 A， “该人参加过 计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A) = 0.6，P(B) =0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是pC

13、A "b)= p(N)p(b)=(1 0.6)(1 - 0.75)= 0.1.该人参加过培训的概率为1 0.1 = 0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布 XB(3,0.9),P(X= k) = Cs0.9kx 0.13-k，k= 0,1,2,3, X的分布列是X0123P0.0010.0270.2430.729重难点突破【例4】某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第 2位)(1) 5次预报中恰有2次准确的概率；(2) 5次预报中至少有2次准确的概率；(3) 5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率.解析

14、 设“ 5次预报中恰有2次准确”为事件A，“5次预报中至少有2次准确” 为事件B, “ 5次预报恰有2次准确，且其中第3次预报准确”为事件C.(1)P(A) = eg1彳3=心数 0.05. P(B戶 1-浅4。1 5 5-C5X 4l-4 4-0.99.1 4( 4、3 4(3)P(C)= C：X 5 1-亏冬尹 0.02.巩固提高X012345P2x3x7x2x3xx1 若随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于()D.20解析：1由分布列的性质可得 2x+ 3x+ 7x+ 2x+ 3x+x= 1,a x =飞.a E(X) =A鳥0X 2x+ 1X 3x+ 2X 7x + 3X 2x+

15、4X 3x+ 5x=40x= 20.答案：C2 设X为随机变量,XB n, 1，若随机变量X的数学期望E(X) = 2,则P(X= 2)等于(13A石4B.24313C C.24380D.243解析：XB n,3，二 E(X) =茅 2. a n = 6. P2 2)= c6琬卜炭答案：D3已知随机变量 XB(6, "2),则 P( 2<X<5.5) =()7Aw1B863C-6431D习解析：依题意，P( 2< X< 5.5) = P(X = 0,1,2,3,4,5)= 1 P(X = 6) = 1 C678.答案：A4.已知抛物线y= ax2 + bx+ c(a0)的对称轴在y轴的左侧其中a, b, c 3, 2,1,0,1,2,3，在这些抛物线中，若随机变量 X=|a b|的取值，贝U X的数学期望E(X)=()A 8m3A9B521C.5D.3解析：对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有2C$c3c7= 126条，X的 可能取值有0,1,2.6X 718X 744X 728PQ °戶诬二 3, P2 1)二猛二 4, P(