最新15导数的概念及计算资料

1、导数的概念及计算一、知识概述导数的概念及其基本运算是本周学习的重点内容，导数有着丰富的实际背景和广泛应用，通过对平均变化率的分析入手，层层深入，展现了从平均变化率到瞬时变化率的 过程，指明了瞬时变化率就是导数，介绍了导数的一般定义并借助函数图象，运用观 察与直观分析阐明了曲线的切线斜率和导数间的关系导数的计算主要包括两个方面， 首先是几个常见函数的导数，然后是基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，关键在于使用这些公式与法则求简单函数的导数.二、重难点知识归纳1.变化率与导数(1) 平均变化率通常把式子巧称为函数f(x)从Xi到X2的平均变化率.令吗p, A/二他尸他)，M _/(珂+&

2、;)-/(无)则平均变化率可表示为 U(2) 导数的概念般地，函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率是 '''二：则称它为函数y=f(x)在 x=xo 处的导数(derivative)，记作于(闻+心)一/(砒Az当x变化时，一1便是x的一个函数，则称它为f(x)的导函数(derivative funtion)(简称导数)，记作一或.，则，丄.(3) 注意事项：弄清 函数f(x)在点X0处的导数”、导函数”、导数”之间的区别与联系，可以从以 下几个方面来认识. 函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量之比的极限， 它是一个常数，不是变数. 导函数(导

3、数)是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想，对于每一个确定的值X0,都对应着一个确定的导数'I. 1 ,根据函数的定义，在某一区间内就构成了一个新函数，即导数. 函数y=f(x)在点X0处的导数，'：就是导函数r ;；|在x=xo处的函数值，即 f (阳3厲|牌州.这也是求函数在x=xo处的导数的方法之一.(4) 导数的几何意义函数y=f(x)在点xo处的导数 i.就是曲线y=f(x)在点 礙仇) 处的切线的斜率k,即上二伽：=孑(孟J .2 导数的计算(1) 基本初等函数的导数公式 若 f(x)=c，则-； 若J/ ，则 若 f(x)二sinx,则工二； 若 f(

4、X)=COSX，贝y二- :二 ； 若 f(x)一:，则:二-上二(a>0)； 若 f(x)二：，则丁 - ?Zf/jA _ I 若 f(x)二二则":(说(a>0,且 a- 1);若f(x)丄，则(2) 导数运算法则疔(3) 复合函数的求导法则(难点)设函数门在点x处有导数，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数或写作复合函数求导法则：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以 中间变量对自变量的导数，即：二丄'叫 三、典型例题剖析例1 .利用导数的定义，求出函数 y=x +二的导数，并据此求函数在 x=1处的导数.解析例2.求等边双曲线处的切线斜

5、率，并写出切线方程解析例3.设f(x)是定义在R上的函数，且对任何xi, X2二R都有f(x 1+ X2)=f(x i) f(X2)若f(0) =。，(1) 求f(0)的值;(2) 证明：对任何x二R，都有解析例4.求下列函数的导数：j = -rs- + 3x + /2 7 = -an-Q-2cosa) - ；1 1+1 1 +解析例5.求下列函数的导数:'-；x-1一;解析例一解析：利用导数的定义，结合求函数的导数的方法步骤进行计算.A(x+山)+ -(x + -)AxAx ijr-+O-AxAx +=1-= lim一=limP"->oAx血从而总结：求函数y=f(x

6、)的导数可分如下三步:求函数的增量(2)求函数的增量与自变量的增量的比值(3) 求极限，得函数例二解：函数f(x)图象上点P处的切线方程的求解步骤:先求出函数在点的导数 1 (即过点P的切线的斜率)，再用点斜式写出切线方程=lim 二切线的斜率切线方程为y 2= 4(x -)，即4x+ y 4=0.注：求导数也可以直接用公式，这里只是说明公式的推导过程例三 解析：本题主要考查用导数的定义求函数的导数的方法，以及函数极限的运算(1)'： I : ' 对任意匸都成立，令；，得 f(0)=f 2(0).Tf(Q)=0,：f(0)=l.f心片+加)-化讪畑T临=/()-r(o)=/w对

7、任何xiR，都有例四解析：这些函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时,可直接利用四则运算法则和基本初等函数的导数公式求导.y = (- xs jc3 +3x+V2y : :二加-（抄+（对+血=/-4xa+3.解法一：y = (3? -4?y(4? +3?)+(3?4/)(4” +3计=(15x4 -12xa)(4xs +3) +(3? -4/)(20/+9x2)=60/ - 48x7 + 45/- 36/ + 60? - 80/ + 27z7 - 36?= 120x9-56x7-72xj.解法二：门二 12严-7,-12讥：7=120?-56/-72/.:Y二-sin-f-

8、cos-2 21 .=-sm2/.y(-sinxy-21 -cosx21*11 + yx +121_(1-1-X心(仝竺也丄1 -I (1 -K)Z (1- X)2例五解析：应用指数、对数函数的求导公式，结合函数四则运算的求导法则及复合函数 的求导法则进行求导=In cig<lg +cxf_1 sin x+cos jx亡"ig应_i二 J Igx-lnc +sinx + /cosx.则，1丄二巴-i斗二X2bg3Mn2jln3#x+1*x+1*x+l-x+1 21ognJ二打冒Ul)二口呃二育(4) 方法y=血v?+ir=寸订匚®2x?+!'方法二：y = l

9、n +1 = -(x1 +1),心轨(却)弓占心+弘占矿命在线测试、选择题叟二1 若函数f（x）=2x21的图象上一点（1 , 1）及邻近一点丨I - ，则-（）A 4B 4xC. 4 + 2小.厂 D 4 + 2一's= -Z* - 32. 物体运动方程为，则t=5时的瞬时速度为（）A. 5B. 25C. 125D. 6253. 设丿“二，贝V曲线y=f（x）在点处的切线（）A.不存在B.与x轴平行或重合C .与x轴垂直D .与x轴斜交4 .曲线，r "I在点（1 , 1）处的切线方程为（）A . y=3x 4B . y= 3x + 2厂厂C . y= 4x+ 3D . y

10、=4x 55 .与直线2x y + 4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是（）A . 2x y + 3=0B . 2x y 3=02x y + 1=0D . 2x y 1=06.设f(x)=(2x+5)6，在函数；中，x3的系数是(A. 2000C. 240007.J心启，贝y ；匚等于()C.8.函数y=cos(cosx)的导数为()A.=sin(cosx)sinxC. =cos(sinx)sinx9.设 f(x)=且-: ，则a的值为(C.二10.则等于()A. - i)B. 12000D.非以上答案1B. 1_5D.=si n(cosx)si nx=cos(s inx)B. 2D . 0

11、B .':一一D .:'亍:匚、填空题11.若曲线f(x)二,x在点P处的切线平行于直线3x y=0，则P点的坐标是 12设几)=宀3宀9x + 1,则不等式f(x) <0的解集为13.7T设卄*，d :b=14.若曲线y+ m与直线y=3x + 1相切，则常数a的值为答案三、解答题15.求曲线y=cosx在点A处的切线方程.答案16已知曲线 L一：,直线二，且直线I与曲线C相切于点 丨(州H °)，求直线I的方程及切点方程.答案mHy 二 1(” -工+2)17直线I与m都是抛物线-的切线，I过点P(3,2)且斜率小于1, 求I, m的直线方程.答案18.求下

12、列函数的导数:匚二.-；二丨；答案.：£：.第1题答案错误！正确答案为Ci-第2题答案错误！正确答案为Ci-第3题答案错误！正确答案为B|：-£：|第4题答案错误！正确答案为Bi-第5题答案错误！正确答案为Di："：i第6题答案错误！正确答案为C第7题答案错误！正确答案为Ci："：i第8题答案错误！正确答案为A：-£：第9题答案错误！正确答案为B：'£：第10题答案错误！正确答案为D提示:1.解析：毎 _ /(1+M- /0) _ 2A? +4Ax 血十彳AiI + Aj-1Ax.2.解析：g -p -1253解析：* f J

13、丿二°，即切线的斜率为0.4解析：本题主要考查导数的几何意义.由题意可知 *,当x=1时,则过点(1, - 1)的切线方程为y +仁一3(x 1)，即为y= 3x+ 2.5.解析：由题意可知- -_'上的点为(1 , 1),则所求的切线方程为y 1=2(x 1),即为2x y仁0.6解析- ，根据二项式定理，则含有 x3项为12-(2x)3-52 =24000?7.解析:2ss 2 5?35/V) = (x7-Cy=-/- :F- 32,3 2 6.8解析：cosmosx)f = - sin(cosx)(cos对=-sin(cos R(- sinx).9解析：1.丄f (x)

14、 = -(a?-l) J 2朋又广二 2-(a-V)'2a = 2可得，解得a=2.IMJ|IMg IMIHUpw10 解析：y - (s ) cosx+ >(cosx) -e cosi-e sinx答案:ii.(1, 0).12.(-1, 3).13.a=0, b=1.14.,. Ayl 严-sin兰二 115.解:* yf- Uosx/= 'sinx , 務6.在点A处的切线方程为1 二 一.卜丛亦0) I*16解：，直线I过原点，贝V-,由点丨在曲线c上，得 . J 7；亠八八-3州+ 2 占二3_6x+2,：k二3计-6+2.上二血八3以-6% +冶/二讦-斑+

15、2 又.'整理得 2 昇* 0.33玄皿*=刁此时y严亍、口、尸丄一、C)因此直线I的方程为，切点坐标为二 匚.17解：1' ，设I与抛物线相切于点 Q- '.',则二 i '因Q在抛物线上，故.又点P( 3, 2) 一，1 . 12-护-屮2)=尹H),即彳禺+5二0,于是丁广fl 当丄1 I时，一;(舍去)j - 2 - - (x - 3)则I的方程为.1，即x 2y+仁0.由于 . _.,故m的斜率k= 2,从而-,i(2x-l) = -2, x=-即二_，所以切点为223y- = -2(l + -)故m的方程为，即16x+ 8y+ 1=0.18.

16、解:-./I'-：. 1-:.-.：.=cos0n x)*一- coszln x+(sin x)*sin j+cos(ln x)+ cosxln x.J = ? = COSV>V=A设则# =(才 y a* =-In 如(-sin i)-(- g)X X高考解析1. （2009年全国卷）已知直线 y=x + 1与曲线y=ln （x + a）相切，则a的值为（）A . 1B . 2C. 1D 2答案：B解析：对 y=ln （x+ a）求导得,1设切点为（m, n）,则切线斜率为-二=1, m + a=1,n=ln (m+ a) =ln 1=0 ,再由（m, n）在直线y=x +1上

17、得m= 1,从而得a=2.故选B.用-2. (2009年湖北卷)已知函数 f (x) =4 cosx+ sinx,则f ( 4 )的值为答案：1解析： COS x+sin xsin x +cos 扎打7T律）号.7T71sin+cos ,44J少心从而有与=（Q）开 .7T cos-+sin- =443. （湖北省高考试题）某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日 12时30分时两船之间的 距离对时间的变化率是 km/h .解析：本题主要考查导数的几何意义，设时刻t时，甲到C处，乙到D处，此时两船的距为y,则护二18-24（卜：12） F 十16（4 f'-5两边同时求导可得二- . 'I - 4 ' -” f 24（t-12）-18x24 + 16（t-12）x16. fT二卩口二记花y答案：1.64. (全国高考试卷III试题)已知直线为曲线：?在点(1 , 0)处的切线，1为该曲线的另一条切线，且- 1 < .(1)求直线1的方程;(2)求由直