复合函数的定义域函数表达式的求法

1、个 性 化 教 学 辅 导 教 案教案课题函数的单调性教师姓名学生姓名XXXX上课日期2018.8.3学科数学适用年级高一教材版本人教版 A学习目标1. 掌握用定义法求函数的单调性2. 掌握函数最值的求法重难点重点：函数的单调性及其几何意义，函数的最大(小)值及其几何意义难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大(小)值课前检查作业完成情况：优良中差建议：第5_讲复合函数的定义域函数表达式的求法c 知识讲解例题讲解一.复合函数的定义域1.1. 复合函数的定义：一般地：若y f(u)，又u g(x)，则函数y fg(x)叫x的复合函数，其中y f(u)叫外层函

2、 数，u g(x)叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. .例如：f (x) 3x 5,g(x) x21；复合函数f (g(x)即把f (x)里面的x换成g(x)，2 2f (g(x)3g(x) 53(x21) 5 3x282.2. 复合函数的定义域函数f(g(x)的定义域还是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. .1已知f (x)的定义域，求复合函数f g x 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f (x)的定义域为x a,b，求岀fg(x)中a g(x) b

3、的解x的范围，即为f g(x)的定义域。2已知复合函数f g x 的定义域，求f (x)的定义域例 1 1:设f (x)是一次函数，且f f (x) 4x 3，求f (x)方法是：若fgx的定义域为x a,b，则由a x b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域 已知复合函数f g(x)的定义域，求fh(x)的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由fg x 定义域求得f x的定义域，再由f x的定义域求得fh x 的定义域。 已知f (x)的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求岀各

4、个函数的定义域，再求交集。例 1 1：已知f (x)的定义域为3,5，求函数f(3x 2)的定义域解：由题意得f (x)的定义域为3,5所以函数f (3x2)的定义域为1 73,3巩固练习：已知f (x)的定义域为(0,3，求f(x22x)定义域。解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即即3 x 2或0 x1故f(x2 2x)的定义域为3, 20,1例 2 2 :若函数f 3 2x的定义域为1,2，求函数f x的定义域解: :由题意得函数3 2x的定义域为1,2所以函数f (x)的定义域为：1,5巩固练习：已知f(x21)的定义域为V3/3，求f (x)的定义域. .例 3

5、 3 :已知f (x 1)的定义域为2,3)，求f x 2的定义域. .解由f(x 1)的定义域为2,3)得2x3，故1x14即得f x定义域为1,4)，从而得到1x24，所以1 x 6巩固练习：已知f(x 2)的定义域为1,2，求f(2x 1)的定义域.求函数的解析式(1)(1)待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法求函数的解析式的常用方法有:解：设f (x) ax b (a 0)，则巩固练习：已知f (x)是二次函数，且满足f (0)1, f (x 1) f (x) 2x，求f (x). .配凑法：已知复合函数fg(x)的表达式，求f (x)的解析式，fg(x)的表达式容易配

6、成g(x)的 运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f (x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域. .例 2 2：已知f (x12-)xx12(xx0)，求f (x)的解析式解：Jf(x-)(x -)221x 2xxx巩固练习：1.1.已知f (x1)x31x3x1，求f (x)的解析式. .1 x2.2.已知f()-2，求f (x)的解析式. .x 1 x换元法：已知复合函数fg(x)的表达式时，还可以用换元法求f (x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3 3 已知f ( X 1) x 2 X，求f(X 1)解：令t x 1，则t 1，x (t 1)

7、2 f ( . x 1) x 2、x巩固练习：已知f(x 1) 2x25x 2，求f (x)的解析式. .(4)构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例 4 4 设f (x)满足f (x)2 f () x,求f (x)x1解： f(x) 2f() xx1显然x 0,将x换成一，得：x11f ( )2f(x)xx解联立的方程组，得：巩固练习：已知3 f (x)2 f ( x) x 3，求f (x). .(5)赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行 赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 5 5 已知：f(0) 1，对于任意实数 x,yx,y，等式f(x y) f(x) y(2x y 1)恒成立，求f(x). .解对于任意实数 x x、y y，等式f(x y) f (x) y(2x y 1)恒成立，不妨令x 0，则有f( y) f(0) y( y 1)1 y( y 1)y2y 1再令y x得函数解析式为：f(x) x2x 1课