1995考研数二真题及解析

1、1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)、一0_01.(1)设y=cos(x)sin，贝Uy=.微分方程y+y=-2x的通解为.Ix=1t2(C) -ox(x-1)(2-x)dxx(x-1)(2-x)dx(D) ：x(x-1)(2-x)dx设f(x)在(-，kc)内可导，且对任意x1，x2，当x1Ax2时，都有f(x1)Af(x2)，则()(A)对任意x，f(x)A0(B)对任意x，f(x)壬0(C)函数f(x)单调增加(D)函数f(-x)单调增加(4)设函数f(x)在0,1上f”(x)A0,则f(1卜f(0)、f

2、(1)f(0)或f(0)f(1)的大小.曲线在t=2处的切线万程为.(4) y=tllm(+L+)=.(5) n-Jn2n1n2n2n2nn2曲线y=x2e的渐近线方程为.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设f(x)和9(x)在(_8，E)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)#0*(x)有间断点则()(A)%f(x)必有间断点(B)%x)2必有间断点(C)f%x)必有间断点：(x)(D)必有间断点f(x)曲线y=x(x1)(2x)与x轴所围图形的面积可表示为()-.：x(x-1)(2x)

3、dx12(A) ox(x-1)(2-x)dx-x(x-1)(2-x)dx顺序是(A)f(1).f(0).f(1)_f(0)(B)f(1)f(1)f(0)f(0)(C)f(1)-f(0).f(1).f(0)(D)f(1).f(0)一f(1).f(0)(5)设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|),若使F(x)在x=0处可导，则必有()(A)f(0)=0(B)f(0)=0(C)f(0)f(0)=0(D)f(0)f(0)=0三、(本题共6小题，每小题5分，满分30分.)1-、cosx(1)求叽-.x)0x(1-cos.,x)设函数y=y(x)由方程xef(y)=ey确定，其中f具有二阶

4、导数，且f写1,求g.dx2设f(x21)=ln8，且f仰(x)=lnx，求俨(x)dx.(4) xarctan1x=0设f(x)=xarCtanx2，x0，试讨论f(x)在x=0处的连续性.0，x=0，(5) ,x=1-cost求摆线S一拱(0tx2时，一一乂2，则函数f(一x1)-f(-x?),故-f(-x)是单调增加的.应选择(D).对于(A)(B)(C)可令f(x)=x3,则对任意x，x2,当xax2时，都有f(x)f(x2),但f(0)=3x2xT=0,x0-2f(-x)=3(-x)-0,f(-x)=x,在其定义域内单调减少故排除(A)(B)(C).(4) 【答案】(B)【解析】由f

5、(x)0可知f(x)在区间0,1上为严格的单调递增函数，故f(1)f(x)f(0),(0：x：1)由微分中值定理，f(1)f(0)=f(勺,(01).所以f(1)f(1)-f(0)=f()f(0),(0：:1)应选择(B).(5) 【答案】(A)【解析】函数f(x)在x=x0处可导的充分必要条件是fA)与f#x)存在且相等由于F(x)=f(x)+f(x)|sinx|,而f(x)可导，所以F(x)在x=0处可导等价于f(x)|sinx|在x=0可导.令华(x)=f(x)|sinx|,则(0)=lim冬虹x0x-(0)=limf(x)|sinx|_x虹x.f(x)sinx=lim=f(0),J0x

6、.f(x)sinx-lim=-f(0),xj0一x于是要使F(x)在x=0处可导，当且仅当f(0)=f(0),即f(0)=0.故选择(A).三、(本题共6小题，每小题5分，满分30分.)(1)【解析】利用等价无穷小计算，即当xt0时，sinxLx.2x,112sin2原式=lim=lim_x0x1-cosx1.cosx2x)02x2xsin-21-cosx2R=-lim225也、22x【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数方法一：将方程两边对x求导，得_f(y)f(y)yexef(y)y=ey,ef(y)ey-xf(y)ef(y)，将xef(y)=ey代入并化简，得y，=(？).两边再

7、对x求导，得0_|_x(1_f(y)一|_(1_f(y)x(-f(y)y)ly=2=2k(1-f(y)f1x(1-f(y)I2_1+yf(y)x2(1-f(y)xl(Vf(y)f将y=1x(1-f(y)代入并化简得y=一1f(y).x2(1-f(y)x2(1-f(y)3方法二：方程两边先取对数再对x求导.方程两边取对数得lnxf(y)=y,，、1求导得一f(y)y=y,x一，1因为#1,所以y=(1,().以下同方法一.【相关知识点】复合函数求导法则：y=%f(x)的导数为yJ。(x)f(x).【解析】首先应求出华(x)的表达式.由22x?-1-1f(x2_1)=|n、=|nx一11x-2令x

8、1=t,得f(t)=In-.又t-1:(x)1f(x)=In=Inx,(x)-1则k!=x.解得x)=Ul.因此(x)-1x-1x+12仰(x)dx=Jdx=(1+)dx=x+2lnx1+C.,x1x1(4)【解析】函数f(x)在x=xo处的导函数连续的充分必要条件是C(xg)与f】(x)存在且必与f(x。)相等.一，.12x2.一当x#0时，f(x)=arctan二-4,由于一.一.一.12x2IIimf(x)=li+f(x)=四f(x)=四arctan二_4=五-0=e,f(x)-f(0)f(x).1二f(0)=1吗=Iim=limarctan2=三，所以Iimf(x)=Jimf(x)=f

9、(0).故f(x)在x=0处连续.(5)【解析】由弧微分公式得ds=,x(t)Ily(t)fdt=.sin21(1cost)2dt=一2(1cost)dt,所以2-2s=0、,2(1-cost)dt=0-4cos-202:=一4(-1-1)=8.2t祝t.一、22sindt=2sin-dt=2sindt2扣2，02【解析】设质点的运动速度为v(t),由题设，阻力为v(t),按牛顿第二定律有dv(t),、mv(t),dt其中质量m=1,即dv(0=v(t).dt这是简单变量可分离的微分方程，解之得v(t)=Ce.另有初始条件v(0)=v0，得v(t)=v0e.=v0e上，得t=ln3.ln3、=v0当此质点的速度为v0时，有三到此时刻该质点所经过的路程为ln3_ttlns=0vedt=-v|e0四、(本题满分8分)，一，Xf(一2)=.：(2-t)edt=-(2-t)e40工【解析】对函数f(xo(2t)edt两边求导并令f(x)=0,得22f(x)=2x(2-x2)e=0,解得驻点x=0,x=：2.由于f如0,f(x)0,f(x)0x证法一：用函数单调性证明不等式.令(x)=f(x)x,则(x)=f(x)一1=f(x)f(0).由于f“(x)0,所以函数f(x)单调增加，(x)=f(x)-f(0)0,x0,(x)=f(x)-f(0)：0,x：0,Wx)在x=