18-19第1章111正弦定理

1、1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理学习目标：1.掌握正弦定理及基本应用.(重点)2.会判断三角形的形状.傩点)3.能根据正弦定理确定三角形解的个数.(难点、易混点)自主预习探新知1. 正弦定理2. 解三角形(1) 一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素.(2) 已知三角形的几个元素求其他元玄的过程叫做解三角形.思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？提示需要两角及一边或两边及其一边的对角.基础自测1. 判断(正确的打“/”，错误的打“X”)(1) 正弦定理不适用丁钝角三角形.()(2) 在/ABC中，等式bsinA=asinB总能成立.()(3) ftAABC中，若s

2、inA=sinB,则三角形是等腰三角形.()解析(1)X.正弦定理适用丁任意三角形.(2) V.由正弦定理知-;=云%,即bsinA=asinB.sinasinb(3) V.由正弦定理可知食=岂，即a=b,所以三角形为等腰三角形.sinasinb答案XVV2. 在zABC中，若ZA=60°,ZB=45°,BC=3姬，WJAC=.【导学号：12232019】.一、32AC2也由正弦正理侍：sM=昴75，。0。=2瞻32sin45所以AC='sin60在ABC中，若a=3,b=y/3,/A=£则/C=31所以sinB=2,2由正弦定理得:乂a>b,所以Z

3、A>ZB,所以ZB=6商、i/c项*项i以/Ctt3+6J2，2abc4.在/ABC中、-a->-八=sinAsinBsinC【导学号：12232019】由于r=,所以sinAsinBsinC'2abc(ab'、sinAsinBsinCvsinAsinB)+acsinA-sinC尸0,已知ABC,(1)a=20,ZA=30合作探究玫重难类型1已知两角及一边解三角形根据下列条件，解三角形：,/C=45°(2)a=8,ZB=60°,ZC=75°.解(1)vZA=30°,/C=45°.B=180°(ZA+ZC)=

4、105°,由正弦定理得b=2吁?5。=40sin(45+60)=10/6+寸2);sinAsin30'''asinC20sin450厂c=和=2蛎.ZB=105°,b=10(6+艘),c=20展.(2)ZA=180-(ZB+ZC)=180-(60°+75°)=45°,一、一ba由正弦正理茹百=snA，/口asinB8Xsin600厂碍b=茄A=顽矿=46，由正弦定理湍只=栽，也+扼。8乂/曰asinC8Xsin754侍c=sinA=sin450=2一2=43+1).ZA=45°,b=4/6,c=4(3+1).规

5、律方法已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1) 若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角.(2) 若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边.跟踪训练1. 在zABC中，a=5,ZB=45°,/C=105°，求边c.【导学号：12232019】解由三角形内角和定理知/A+ZB+ZC=180°,所以ZA=180-(ZB+ZC)=180-(45°+105)=30°.由正弦定理念=矗，sin30/曰sinCsin1050sin(60+45)侍c=a第=

6、5n2，sin60cOs45+cos60sin45'sin3005=神+屈.唆购卜例已知两边及一边的对角解三角形在ABC中，分别根据下列条件解三角形：(1) a=1,b=V3,/A=30;(2) a=V3,b=1,ZB=120°.解根据正弦定理,sinB=警=p°=尊.b>a,.ZB>ZA=30°,.ZB=60°或120°.当ZB=600时，ZC=180-(ZA+ZB)=180-(30°+60°)=90°,bsinC-3,-C=.dmf2；sinBsin60'当ZB=120°时

7、，ZC=180-(ZA+ZB)=180-(30°+120°)=30°=ZA,.c=a=1.吟鼻忡AasinB43sin12003(2)根据正弦正理，sinA=1=2>1.因为sinA<1.所以A不存在，即无解.规律方法已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1) 首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一(2) 如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.跟踪训练2. 已知ABC

8、,根据下列条件，解三角形:【导学号:12232019f7t(1) a=2,c=求,ZC=3；一、-仁,“兀(2) a=2,c=J6,ZA=4.解VsinA=SinCsinA=半=乎.c2一，一，一7t.c>a,.ZC>ZA.ZA=二.5tt7tsin34/d_5.csinBSinzB=彷b=n=g+1.ac(2)R=.:,sinAsinC'2jt3.5兀,/B=12,b=asinB;a=V3+1.SinAasinBB=夜，b=布=0T类里可利用正弦定理判断三角形的形状探究问题已知ABC的外接圆。的直径长为2R,试借助ABC的外接圆推导出正弦定理.提示如图，连接BO并延长交圆

9、。丁点D,连接CD,则ZBCD=90°,第5页ZBAC=ZBDC,在RtABCD中，BC=BDsinZBDC,所以a=2RsinA,一QD向珅b一QDC一OD即sinA2R，问理sinB-2RsinC-2Rabc所以ro=77=2R.sinAsinBsinC根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？提示利用正弦定理，可以解决：（1）已知两边和其中一边的对角解三角形;sinA:sinB:sinC,那么由正已知两角和其中一角的对边解三角形.3由急=snB=京可以得到a：b：c=弦定理还可以得到哪些主要变形?提示_b工=二sinAsinB，sinBsin。sinA

10、sinC.asinAasinAbsinB(2)bsinB'csinC'csinC.(3)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB.例El在zABC中，若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断ABC的形状.【导学号:12232019】思路探究ZA=兀(/B+ZC),边角转化，sinA=岩,sinB=*>,sinC=焉.2R2R2R解法一：在ABC中，根据正弦定理：=岂=2R(RABCsinasinbsinc外接圆的半径).sin2A=sin2B+sin2C,.旦2Q2,_c2ErjOR+Er号即a2=b2+c

11、2,.ZA=90°,.ZB+ZC=90°,由sinA=2sinBcosC,得sin90=2sinBcos(90-B),.sin2B=；.ZB是锐角，-sinB=2, .ZB=45°,ZC=45°,ABC是等腰直角三角形.法二：在ABC中，根据正弦定理，得sinA=,sinB=,sinC=(R为ABC外接圆的半径).2R2R2R.sin2A=sin2B+sin2C,-a2=b2+c2,ABC是直角三角形且/A=90°.ZA=180°(ZB+ZC),sinA=2sinBcosC,.sin(B+C)=2sinBcosC.sinBcosCco

12、sBsinC=0,即sin(B-C)=0.ZB-ZC=0,即ZB=ZC. ABC是等腰直角三角形.规律方法依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数包等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用/A+/B+ZC=兀这个结论.在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.跟踪训练1. 在ABC中，已知a2tanB=b2tanA,试判断ABC的形状.【导学号：12

13、232019】乂a2tanB=b2tanA,a2tanA,b2-tanB'解ab在AABC中，由正弦定理得甫口a=sinB，.asinAa2sin2Ab=sinB'sin2B.tanAsin：AtanBsin2B，.sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.2ZA=2ZB或2ZA+2ZB=呜即ZA=ZB或ZA+ZB=2AABC为等腰三角形或直角三角形.当堂达标固双基在zABC中，若sinA>sinB,则/A与/B的大小关系为()【导学号:12232019A. ZA>ZBB. ZA<ZBC. ZA>ZBD. ZA,ZB的大小关系不能确定

14、ab因为sinA=SFB所以a=sinAsinB因为在ABC中，sinA>0,sinB>0,sinA>sinB,a_=b1>ABnnss所以a>b,由a>b知ZA>ZB.1. 在zABC中，若c=2acosB,则ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.不等边三角形B由正弦定理知c=2RsinC,a=2RsinA,故sinC=2sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAcosB=cosAsinB,即sin(AB)=0,所以ZA=ZB.故ABC为等腰三角形.2. 在zABC中,AB=点,ZA=45°,ZB=60°,WJBC=.【导学号：12232019】BCAB33利用正弦正理sinA=sinC'而ZC=180-(ZA+/B)=75°,皿ABsinAd3sin450厂故BC=sinC=sin75=3一仙4.已知方程x2(bcosA)x+acosB=0的两根之积等丁两根之和，且a、b为zABC的两边