新概念型问题

1、abcd两边各加一条竖直线记成概念=ad-bc,上述记号就叫做 2阶行列式.若1-x1-x=8,则 x=思路分析：根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程, X的值.整理后即可求出方程的解，即为2013年中考数学专题讲座二：新概念型问题一、中考专题诠释所谓 新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推 理、迁移的一种题型.新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其

2、问题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新概念例1（2012?永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，女口1 , 3, 9,19, 33,就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差.女口2, 4, 6, 8, 10就是一个等差数列，它的公差为2 .如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列.例如数列1, 3, 9, 19, 33,，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是

3、2, 6, 10, 14,，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1, 3, 9, 19, 33,是一个二阶等差数列.那么，请问二阶等差数列1 , 3,乙13,的第五个数应是思路分析：由于3-1=2 , 7-3=4 , 13-7=6,，由此得出相邻两数之差依次大2,故13的后一个数比13大&解答：解：由数字规律可知，第四个数13,设第五个数为x,则x-13=8，解得x=21，即第五个数为 21 ,故答案为：21.点评：本题考查了数字变化规律类问题.关键是确定二阶等差数列的公差为2.对应训练11. （ 2012?自贡）若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是1 -x1 111、

4、 、=-1 , -1的差倒数为= ，现已知X1=-, X2是X1的差倒数，X3是X2的差1-21-（-1）23倒数，x4是x3的差倒数，依次类推，则x2012=.解：根据题意化简x+1 1-x1-x x+1=8,得：(x+1) 2- (1-x) 2=8,考点二：运算题型中的新概念 例2 （2012?荷泽）将4个数a, b, c, d排成2行、2 列, 整理得：x2+2x+1- (1-2x+x 2) -8=0，即 4x=8 ,解得：x=2 .故答案为：2点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去 括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题

5、的关键.对应训练2. ( 2012?株洲)若(xi, yi) ? (X2, y2)=xix2+yiy2,则(4, 5) ? (6, 8) =.考点三：探索题型中的新概念例3(2012?南京)如图，A、B是GO上的两个定点，P是GO上的动点(P不与A、B重合)、我们称/APB是GO上关于点A、B的滑动角.(1) 已知ZAPB是GO上关于点 A、B的滑动角， 若AB是GO的直径，则/ APB= 若GO的半径是1, AB=，求ZAPB的度数；(2) 已知02是GO1外一点，以 02为圆心作一个圆与G O1相交于A、B两点，/APB是GO1 上关于点A、B的滑动角，直线 PA、PB分别交002于M、N

6、 (点M与点A、点N与点B 均不重合)，连接AN，试探索/APB与JMAN、ZANB之间的数量关系.思路分析：(1)根据直径所对的圆周角等于 90 即可求解；根据勾股定理的逆定理可得/ AOB=90 再分点P在优弧忑上；点P在劣弧豆上两种情况 讨论求解；(2)根据点P在GO1上的位置分为四种情况得到/ APB与/MAN、匕ANB之间的数量关系. 解：(1 )0若AB是GO的直径，则/ APB=90 .!口图，连接AB、OA、OB .在KOB中，qa=OB=1 . AB=匚，2 2 2OA +OB =AB .zAOB=90 当点 P 在劣弧上时，/AP2B= (360 -ZAOB ) =135

7、6-分(2)根据点P在GO1上的位置分为以下四种情况.第一种情况：点 P在GO2夕卜，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图JMAN= zAPB+ /ANB ,zAPB= /MAN -/ANB ；第二种情况：点P在CO2夕卜，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图.JMAN= zAPB+ ZANP= zAPB+ (180-ZANB ),zAPB= JMAN+ ZANB - 180第三种情况：点P在OO2夕卜，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图.2APB+ 厶NB+ JMAN=180 /APB=180 -ZMAN -ZANB ,第四种情况：点P在GO2内，

8、如图，厶PB= JMAN+ ZANB .点评：综合考查了圆周角定理， 意分类思想的运用.对应训练3. ( 2012?陕西)如果一条抛物线勾股定理的逆定理， 点与圆的位置关系， 本题难度较大，注考点四：开放题型中的新概念例4( 2012?北京)在平面直角坐标系 xOy中，对于任意两点 Pi (Xi, yi)与P2 (X2, y2)的非常距离”，给出如下概念：若|x1 -X2| A 1灯2| ,则点Pi与点P2的 非常距离 为|X1_X2|；若|xi-x2|v |yi-y2|, 则点Pi与点P2的非常距离为|yi-y2|.例如：点Pi (i, 2),点P2 (3, 5),因为|i-3|v|2-5|

9、,所以点Pi与点P2的 非常距离”为|2-5|=3, 也就是图i中线段PiQ与线段P2Q长度的较大值(点 Q为垂直于y轴的直线PiQ与垂直于 X轴的直线P2Q交点).1(1) 已知点 A (- , 0), B为y轴上的一个动点，2 若点A与点B的非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标； 直接写出点A与点B的非常距离”的最小值；3(2) 已知C是直线y= x+3上的一个动点，4 如图2，点D的坐标是(0, i),求点C与点D的非常距离”的最小值及相应的点 C的坐 标； 如图3, E是以原点O为圆心，i为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的 非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标.图1图

10、2圏3思路分析：(i)根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为(0, y).由 非常距离”的概 念可以确定|0-y|=2，据此可以求得y的值；1 i设点B的坐标为(0,y).因为|-0| A韧，所以点A与点B的 非常距离”最小值为卜一-0|=2 21 .23(2)设点C的坐标为(X0, X0+3).根据材料 若|Xi-X2| A协2|，则点Pi与点P2的 非常43距离为|Xi-x2|知，C、D两点的 非常距离的最小值为-X0= X0+2，据此可以求得点 C的4坐标；3当点E在过原点且与直线 y= -x+3垂直的直线上时，点C与点E的 非常距离”最小，即43 4E (- 3 ,-).解答思路同上.

11、5 5解：(i ：B为y轴上的一个动点，设点B的坐标为(0, y).11卜-0|=工22 2 |0-y|=2 ,解得，y=2或y=-2 ；点B的坐标是（0, 2）或（0, -2）;1点A与点B的非常距离”的最小值为;23（2 ：C是直线y= x+3上的一个动点，43设点C的坐标为（xo， xo+3），43 - -xo= _ xo+2,48此时，Xo=-,78点C与点D的非常距离”的最小值为： ,715此时 c（- ,15）;77 E （-3 , （2012?台州）请你规定一种适合任意非零实数1 2=2 1=3, （-3）（ -4） = （-4） （ -3） ）.4 5334-xo= xo+3-

12、 一545解得，Xo=- ,59则点c的坐标为（-,）,55最小值为1.点评：本题考查了一次函数综合题.对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件本题中的非常距离”的概念是正确解题的关键.对应训练a, b的新运算炉b”使得下列算式成立:74=-,(-3) 5=5 ( -3)=-,5 15考点五：阅读材料题型中的新概念例5 （2012?常州）平面上有两条直线 AB、CD相交于点0,且/ BOD=150 （如图），现 按如下要求规定此平面上点的距离坐标”：（1 ）点0的距离坐标为（0, 0）;（2）在直线CD上，且到直线 AB的距离为p （ p0）的点的 距离坐标为（p, 0）;在直 线AB上，

13、且到直线 CD的距离为q （q0）的点的距离坐标为（0, q）;（3） 到直线AB、CD的距离分别为p, q （p 0, q 0）的点的 距离坐标为（p, q）.设M为此平面上的点，其 距离坐标为（m, n）,根据上述对点的 距离坐标的规定，解决 下列问题：（1 ）画出图形（保留画图痕迹）： 满足m=1，且n=0的点M的集合； 满足m=n的点M的集合；（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线I上，求m与n所满足的关系式.（说明： 图中OI长为一个单位长）思路分析：（1）以O为圆心，以2为半径作圆，交 CD于两点，则此两点为所求；分 别作/ BOC和/ BOD的角平分线并且反向延长，即可求出答

14、案；（2）过M作MN丄AB于N，根据已知得出 OM=n , MN=m，求出/ NOM=6，根据锐角 三角函数得出sin60 m，求出即可.OM n如图所示:直线MN和直线EF (O除外)为所求;/ M的距离坐标为(m, n), OM=n , MN=m ,/ BOD=150，直线 I 丄 CD,/ MON=150 -90 60 在 Rt MON 中，sin60 MN = m ,OM n即m与n所满足的关系式是：m= n.2点评：本题考查了锐角三角函数值，角平分线性质，含30度角的直角三角形的应用，主要考查学生的动手操作能力和计算能力，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.对应训练5. (201

15、2?钦州)在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点 (x, y),若规定以下两种变换： f (x, y) = (y, x).如 f (2, 3) = (3, 2); g (x, y) = (-x, -y),如 g (2, 3) = (-2, -3).按照以上变换有：f (g ( 2, 3) =f (-2, -3) = (-3, -2),那么 g ( f (-6, 7)等于()A .(乙 6)B . ( 7, -6)C . (-7, 6)D . (-7, -6)四、中考真题演练一、选择题1. ( 2012?六盘水)概念：f ( a, b) = ( b, a), g (m, n) = (-m , -

16、n).例如 f (2, 3) = ( 3,2), g (-1, -4) = (1 , 4).则 gf (-5, 6)等于()A . (-6, 5)B . (-5, -6)C . ( 6, -5)D . (-5, 6)2. （2012?湘潭）文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入，则输出的结果为（）A . 5B . 6C . 7D . 8点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键.3.（ 2012?丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律图1中棋子围城三角形，其棵数3, 6, 9, 12 ,称为三角形数.类似地，图

17、 2中的4, 8, 12, 16,称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（0）OOOOO OO OO o OOO Oo o OO OOO 0)与它的其中一条对称轴Xky= ( k 0 )的对径.Xy=x相交于1(1 )求双曲线y=的对径.x(2)若双曲线y=k (k0)的对径是10、. 2，求k的值.xky= (k v 0 )的对径.x13. (2012?绍兴)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念. 概念：至三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图1，若PA=PB，则点P ABC的准外心.1应用：如图2, CD为等边三角形 ABC的高，准外心P在高CD上

18、，且PD= AB ,求/ APB2的度数.探究：已知 ABC为直角三角形，斜边 BC=5 , AB=3，准外心 P在AC边上，试探究 PA 的长.14. (2012?嘉兴)将厶ABC绕点A按逆时针方向旋转B度，并使各边长变为原来的n倍,得厶AB C；即如图，我们将这种变换记为Q n.;直线BC(1)如图，对 ABC作变换60 丁3得厶AB C,则S AB，C：ABC =与直线B(所夹的锐角为(2) 使点(3) 使点度；如图， ABC 中，/ BAC=30，/ ACB=90，对 ABC作变换,门得厶ABC ,B、C、C在同一直线上，且四边形 ABBC为矩形，求 Q和n的值；如图， ABC 中，A

19、B=AC，/ BAC=36 , BC=l，对 ABC 作变换Q 门得厶 AB C；B、C、B在同一直线上，且四边形 ABBC为平行四边形，求Q和n的值.图15. (2012?台州)概念： 叫做线段a与线段b的距离.已知 O (0, 0) , A (4, 0),(1) 根据上述概念，当P、圏Q分别是两条线段 a和b上任意一点，线段 PQ长度的最小值B (m, n), C ( m+4 , n)是平面直角坐标系中四点. m=2, n=2时，如图1,线段BC与线段OA的距离是当m=5, n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段 AB长)为(2) 如图3,若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线

20、段求d关于m的函数解析式.(3) 当m的值变化时，动线段 BC与线段OA的距离始终为 求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长； 点D的坐标为(0, 2), M、H为顶点的三角形与m0,AODBC与线段OA的距离记为d,2，线段BC的中点为M ,n0作MN丄x轴，垂足为相似？若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由.H，是否存在m的值使以A、专题讲座二：新概念型问题参考答案三、中考典例剖析对应训练31. -41解： xi=-,313111X2= = , X3= =4 , X4=1一(一3)4-(4)4 3差倒数为3个循环的数，/ 2012=670X3+2,3X2012=X2=,43故答案

21、为：3 .42. 64解：T (X1, y1) ? (X2, y2) =x1X2+y1y2, (4, 5) ? (6, 8) =46+5 X8=64,故答案为64.3. 解：(1)如图；即：抛根据抛物线的对称性， 抛物线的顶点 A必在0、B的垂直平分线上， 所以OA=AB物线三角形”必为等腰三角形.”是等腰直角三角形,2 2该抛物线的顶点(b bbb一，一)满足(b 0).2 424 b=2.yj* * dp .碎*/KiC0ExXJifI *(3) 存在.如图，作 OCD与厶OAB关于原点0中心对称，则四边形 ABCD为平行四边形. 当OA=OB时，平行四边形 ABCD是矩形，又 AO=AB

22、 , OAB为等边三角形.作AE丄OB ,垂足为E, AE= .3OE.b = 3?b (b0).4 2 A (运,3), B (2运,0). C (-府,-3), D (-2x/3 , 0).设过点O、C、D的抛物线为y=mx 2+ nx，则12m -2 .3n =03m -、3n = -3fm =1解得“2-3.故所求抛物线的表达式为y=x2+2 . 3x.4解：根据题意可得：2*21 2=2 1=3=,722-二十-3 -4 1 2(-3) ( -4) = (-4)( -3)=-64 22(-3) 5=5 (-3)=-= 15-352 2a 2b亠_ =b ab2a b=a故答案为:2a

23、 2bab5. C解:J f (-6, 7) = ( 7,-6), g (f (-6, 7) =g ( 7, -6) = (-7, 6). 故选C.四、中考真题演练 一、选择题1. A2. B .3. D解：J 3, 6, 9, 12,称为三角形数，三角数都是3的倍数，J4, 8, 12, 16,称为正方形数，正方形数都是4的倍数，既是三角形数又是正方形数的是12的倍数,J 2010- 12=1676 ,2012 - 12=167 82014 - 12=167 102016 勻2=168, 2016既是三角形数又是正方形数.故选D .、填空题4. 4解：T3 V 总一 .JV 4,3+1 Vi

24、+1 V 4+1 ,4VI ,：+12,且小于4,27 C (,)在直线 y=x-1 上,2 2点C (-,)是线段AB的临近点2 2Ta6-1-1 256x2 v yv 4,(2)由(1)知：线段AB的 临近点”的纵坐标的范围是 把 y=2 代入 y=x-1 得：x=3,把 y=4 代入 y=x-1 得：x=, 3 v x v 5,点Q (m, n)是线段AB的 临近点”, m的取值范围是 3v mv 5.12.解：过 A点作AC丄x轴于C,如图,A点坐标为(1, 1), B点坐标为(0C=AC=1 ,f x 1y-1-1, -1 )，0A= , 2 0C= 2 , AB=2OA=2 2 ,

25、双曲线y= 一的对径是2 J2 ;x(2 )双曲线的对径为 10 迈, 即 AB=10 72 , 0A=5 V2 , 0A=2 0C=2 AC ,0C=AC=5 ,点A坐标为(5 , 5),k把 A (5 , 5)代入双曲线 y=( k 0)得 k=5X5=25,x即k的值为25 ；k(3)若双曲线y= (kv 0)与它的其中一条对称轴 y=-x相交于A、B两点,xk则线段AB的长称为双曲线 y=“ ( kv 0)的对径.x13解：若 PB=PC ,连接 PB ,贝U/ PCB= / PBC ,CD为等边三角形的高， AD=BD , / PCB=30 , PD=、3DB=3h，/ PBD= / PBC=30 ,1与已知PD= AB矛盾， PBM PC2若PA=PC，连接PA,同理可得 PA PC,1若 PA=PB，由 PD= _AB，得 PD=BD , A2 Z APD=45 ,故Z APB=90 ;探究：解： BC=5 , AB=3 , AC= 、BC2 - AB2 = ；52 -32 =4,若 PB=PC，设 PA=x，则 x2+32= (4-x) 2, x= 7，即 PA= 7 ,8 8若 PA=PC，则 PA=2,若PA