数值分析第五版答案

1、数值分析第五版答案第一章绪论1设x 0 ,x的相对误差为，求In X的误差。解：近似值x*的相对误差为e*x* xx*x*而In x的误差为e In x*In x* Inx1x*e*进而有(In x*)2设x的相对误差为2%求xn的相对误差。解：设f(x)xn，则函数的条件数为Cp1沽1又：f'(x) nxn1, 又;r(x*) n) CpCpn 1x nx1In1 1 nr(x*)且 er (x*)为 2r(x*)n)0.02 n385.63 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：x； 1.1021 , X； 0.031

2、,X；x4 56.430, x*7 1.0.解：x*1.1021是五位有效数字；x20.031是二位有效数字；x；385.6是四位有效数字；x 56.430是五位有效数字；X；7 1.0.是二位有效数字。x?/心4利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： x* x2 x；,(2)x；x2x3,(3)其中x*,x2,x3,x；均为第3题所给的数。解：*14（X1）210*1,亠3（X2）210*11（X3）210*1,亠3210*11（X5）210* *(1) (X1X2X4)*(X1 )（X2）1 41 “-10-10221.051033(X4)1 1032X2X3* * *X1X3(X2)

3、(2)(X1X2X3)* * *X1X2 (X3)1.1021 0.03110 1 *10.031 385.6 -10411.1021 385.6 ? 10 30.215(3) (X2/X4)(X4) X4*(X2)2103R2C3则何种函数的条件数为R3 R3* 2X41 30.03110 56.4302r(V*)Cp(R*)3 r(R*)又（V*）11故度量半径R时允许的相对误差限为r（R*）-36设丫0 28，按递推公式 Yn 丫 7831001 0.33(n=1,2,)计算到丫00。若取.78327.982 （ 5位有效数字），试问计算Yoo将有多大误差?解："Y, Yn 1

4、1.7831001 论0 丫99 “亦1001 丫987831001 ,丫97V 783100丫99丫981丫0 100茨依次代入后，有¥00绻100即丫。Y）砲，若取,78327.982，丫100（丫0。）（丫0）(27.982)14 3Y00的误差限为一10 。丫1Yo 27.9827 求方程X211031 78310056x 10的两个根,使它至少具有4位有效数字（78327.982 ）。故方程的根应为X1,228、783故 X128783 2827.98255.982x1具有5位有效数字x228、78328、78328 27.9820.01786355.982X2具有5位有效

5、数字、 1&当N充分大时，怎样求2 dx ?N 1 x2pdx arctan(N 1) arctanN xarcta n(N 1),arctan N。则 tan N 1,tanN.1 11 x2dxarcta n(ta n( )丄 tantanarctan1 tan tan丄 N 1 N arctan1 (N 1)N9.正方形的边长大约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2 ?解：正方形的面积函数为 A(x) x2(Agt2| (t*)1 * 2g(t)(t*) )2A*| (x*).当 x* 100时，若(A*)1,1 2则(x*)1022故测量中边长误差限不超过0

6、.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm210.设S 1gt2，假定g是准确的，而对t的测量有 0.1秒的误差，证明当t增加时S的 绝对误差增加，而相对误差却减少。1 2解: , S 尹,t 0(S*) gt2| (t*)当t *增加时，S*的绝对误差增加r(S*)(S*) S*当t*增加时，(t*)保持不变，则 S*的相对误差减少。11序列 y 满足递推关系yn I0yn 1 1 (n=1,2,)，若y0,2 1.41 (三位有效数字)，计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗?解：:y0迈 1.411 2(y。*) 2 102又；yn 10yn1 1y1 10 y0 1S) 10

7、(y。*)又：y2 10y1 1(y2*) 10 (y1*)(y2*)102 (y°*)10(Y10*)10 (y°*)1010 1 10221 10821计算到ye时误差为? 108，这个计算过程不稳定。12计算f C-.2 1)6，取 .2，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好?1(/2 1)6(32)3,1,99 70、2 。(3 2*2)3解：设 y (x 1)6, *I若 x .2 , x 1.4，贝Ux102若通过(,，21)6计算y值，则*(X*(X若通过(32.2)3计算y值，则y(3 2X ) | x6 y x3 2x* *y x若通过计算y值，则(3

8、2.2)3通过 3计算后得到的结果最好。(3 2、2)31(3 2X*)1 *7 y x (3 2x 厂* *y x13. f (x) In(x . x2 1),求f (30)的值。若开平方用 6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。ln(xx2 1) ln(x . x2 1)计算，求对数时误差有多大？解:f(x) ln(x Jx2 1), f (30) In(30 7899)设 u .899, y f (30)则u*(xXj(xX2)(X。X1)(X°X2)(xX0)(XX2)(X1X0)(XX2)(xX°)(XX1)(X2X°)(X2X1)l&#

9、176;(x)h(x)l2(x)则二次拉格朗日插值多项式为2L2(x)yk(x)k 0X2X/V1 - 22)(X4 - 3*y uu1 *u0.0167'3若改用等价公式ln(x 、x 1) ln(x -X 1)则 f (30)In(30. 899)此时，* *y uu1 *u59.98337第二章插值法1当x 1, 1,2时，f(x) 0, 3,4 ,求f (x)的二次插值多项式。解：x0 x1h x2尹 1)(x 1)f(x。) 0,f(X1)3,f(X2) 4;1(x 1)(x 2)21(x 1)(x 2)62.给出f(x) lnx的数值表X0.40.50.60.70.8lnx

10、-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算 In0.54的近似值。 解：由表格知，x00.4, x10.5, x20.6, x3 0.7, x4f(x。)0.916291, f (x1)0.693147f(X2)0.510826, f (x3)0.356675f(X4)0.223144若采用线性插值法计算In0.54即f (0.54),则 0.5 0.54 0.6h(x)XXIX2X210(x0.6)J(x)XX2X1X110(x0.5)Li(x)f(xjli(x) f(X2)2(x)6.93147(x 0.6) 5.10

11、826( x 0.5)L1 (0.54)0.62021860.620219l°(x)(xX1)(xX2)(X。X1)(X°X2)h(x)(XX0)(XX2)(X1X0)(X1X2)若采用二次插值法计算In0.54时,50( x 0.5)(x 0.6)100(x 0.4)( x 0.6)l2(x) (x x0)(x x1)50(x 0.4)(x 0.5)(X2 X0)(X2 X1)L2(x)f(x°)l°(x) f(X1)h(X) f(X2)2(X)50 0.916291(x 0.5)(x0.6) 69.3147( x 0.4)(x 0.6) 0.5108

12、26 50(x 0.4)(x0.5)L2(0.54)0.615319840.615320(1/60)，若函数表具有5位有效数字，研3.给全cosx,0； x 90'的函数表，步长h 1究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。解：求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有 5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当 0： x 901 时,令 f (x) cosx>Xo0，h(60>60 180 10

13、800令 xx0 ih,i 0,1,.,5400则滋290当x Xk,xki时，线性插值多项式为Li(x) f(Xk)x xk1f(xki) x xkxk xk 1xk 1 xk插值余项为R(x) cosx L1(x)12 f ( )(x xk)(x xk1)又；在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosx 0,1 ，故计算中有误差传播过程。*15(f (xk)2 105R2(x)(f(f*g)(Xk)(XkxXkXk 1Xk 1Xk 1xk 1(f*(Xk1)X Xk 1Xk 1Xkx Xk 1Xk 1XkR R(x)甩(x)I*2( cos )(xxk)(x Xk1) (f(xk)

14、1 *(x Xk)(Xki x) (f (Xk)2(2"22108 i1.06 10 -250.50106 104.设为互异节点，求证:n(1)x：lj(x) xk (k 0,1,川,n);j 01'n(2)(Xjx)k| j (x)0 (k 0，1，|，n)；j 0证明(1 )令 f (x) xk若插值节点为xj, j0,1川，n，则函数f (x)的n次插值多项式为 Ln(x)x：lj(x)j 0插值余项为R,(x)f(x) Ln(x)(n1)()(n 1)!n 1(X)I I又k n,f(n1)( )0Rn(x)0nkl /kXjlj(x) Xj 0(k 0,1,川,n)

15、;n k(Xj X) lj(x)j 0n n(Cxj( x)k i)lj(x)j 0 i 0nnik iiCk( X) ( Xjlj(x)i 0j 0又0 i n 由上题结论可知nj O原式iCk(okX)i iX(X X)kO得证。5 设 f (x)C2 a,b 且 f (a)f(b)O,求证：maxf(x)i(ba)2maxa x bf (x).解：令xoa, Xib,以此为插值节点，则线性插值多项式为Li(x)f(Xo) XXf (Xi)X XoXoXiX Xof(b)x aX b= f (a)- a b,11又、f(a) f(b) OJ(x) O插值余项为R(x) f(x) J(x)1

16、-f (x)(X Xo)(X Xi)f(x)i»又，(X8(x8 (Xi8(b12 f (x)(x xo)(x Xi)xo)(x Xi)X。)Xo)2a)2maxa x bf(x)8(b6 在 4 x截断误差不超过2X)a)2 maxf(X)4上给出f(x) ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使10 6，问使用函数表的步长 h应取多少?解：若插值节点为 x i,xi和xi i，则分段二次插值多项式的插值余项为R(x)石 f ( )(x Xi 1)(x x)(x Xi 1) 3!1 (x Xi 1)(X6R2(x)x)(x x j maxf (x)设步长为h,即 xi

17、 1xih,Xi 1XihR2(X)6 3y324h3.27若截断误差不超过10 6 ,R2(x)10 6e4h310 627h 0.0065.7若 yn 2n,求 4yn及4yn.，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。nyn24yn(E1)4yn4(j 04(j 04(j 0(21)j1)j1)j4j4j4jE4 jyny4 n j24j Yn1)4ynyn2n1E 2)4yn4yn11(E 2)4(E 1)4yn24Eyn yn 22“ 28 如果f (x)是 m次多 项式，记f(x) f(x h) f (x)，证明f (x)的k阶差分f(x)(Ok m)是m k次多项式，并

18、且m 1f (x)0 (l为正整数)。解：函数f (x)的Taylor展式为f(x h) f (x)f (x)h jf(x)h2 卅1m!(m)(x)hm1(m 1)!(m 1)()h其中 (x,x h)又:f (x)是次数为m的多项式f(m1)()of(x) f(x h) f(x)f (x)h 1f (x)h2却叭x)hmf (x)为m 1阶多项式f (x)(f(x)f (x)为 m2阶多项式依此过程递推，得 k f (x)是m k次多项式mf (x)是常数当I为正整数时,m1f(x)09证明(fkgk)fk gkgk 1 fk证明(fkgk)fk 1gk 1fkgkfk 1gk 1fkgk

19、 1fkgk 1fkgkgk 1( fk1fk )fk(gk 1gk)gk 1 fkfk gkfk gkgk 1 fk得证n 1n110.证明fk gkfngnf0g0gk 1 fkk 0k0证明：由上题结论可知fk gk (fkgk) gk 1 fkn 1fk gkk 0n 1gk1 fk)gk1k 0(fkgk)k 0n 1(fkgk)k 0(fkgk) fk 1gk1 fkgkn 1(fkgk)k 0n 1fk gkk 0fngnf0g0n 1gk 1k 0得证。n 111 .证明2yjyny°j 0n 1n 1证明2yj(yj 1yj)j 0j 0(y1y0)(y2yny0(

20、f1g1 fog。)(f2g2 仏1)卅(fngn fn 1gn 1) fngn fog。ydl|l ( y % 1)得证。12.若 f (x) a° ajx 川 an 1xn 1anXn有n个不同实根X1,X2，川，Xn,证明：nX：0,0 kn 2；j 1 f (Xj)n01,kn 1证明：-f (x)有个不同实根X1.X2.IIXna0 a1X 卅an 1Xn1且 f (x)nanXf(X) an(X Xj(X X2) |(x Xn) 令 n(x) (X Xj(X X2)|(X Xn)XjXj而 n(X) (X X2)(X X3)川(X Xn) (X XJ(X X3)|(X X

21、n)n(Xj)川(X Xi)(X X2)川(xXn l)(XjXi)(Xj X2) (Xj Xj i)(Xj Xj i) (Xj Xn)令 g(x)kXj1 n(Xj)则 g x1,x2,|,XnkXj1 n(Xj)nkn X,又L-j 1 f (Xj)1g Xi,X2 an，|几nknXjj i f (Xj)0,0 k n 2;1no ,k n 1得证。13.证明n阶均差有下列性质:(J )若 F(x) Cf(x)，则 F Xg,XiJ|,Xncf X0,XiJ|,Xn ；(2)若 F(x) f(x) g(x)，则 F Xo,Xi,卅,Xnf 心,川,人 g Xo,Xi,|”，Xn 证明:)

22、1 f Xi,X2?",Xnn f(xj)j o(Xj Xo)|(Xj Xj J(Xj XjJ 卅(XjXn)F Xi,X2,川,Xnj 0F(Xj)(Xj Xo 川 |(Xj XjJ(Xj Xji)|(Xj X)ncf(XjjO(Xj X。) (Xj Xji)(Xj XjJ (Xj Xn)c( nf(xj)j 0 (Xj Xo)(XjXj i)(XjXj i)| (Xj Xn)Cf X),Xi, |,XnF(xj)j 0(XjX0)|(Xj Xj J(Xj Xj1)M(Xj XjXj 1 f(xj) g(xj) j 0 (j X0)卅(Xj Xj 1)(Xj xj 1 川 l(Xj

23、 Xn) f(xj)j 0(Xj X。川 |(Xj Xj1)(Xj Xj1)川(Xj Xn)得证。j 0 (Xj X0川 |(Xjg(xj)Xj 1)(Xj Xj 1)川(XjXn)f X0,|,XngX0 J|,Xn14. f(x)X7X4 3x 1,求 F20,21J|,27 及 F 202,卅,28。解：一 f(x) X7 X4 3x 1若 X 2i,i0,1，川,8-H-则 f Xo,X1，川,Xn(n)()n!f Xo,X1, |,X7(7)()7!7!7!f X0,X1,|,X8A 08!15证明两点三次埃尔米特插值余项是(Xk,Xk 1)R3(x) f ()(x Xk)2(x X

24、k1)2/4!,解: 若X xk, xk 1，且插值多项式满足条件H3(Xk)f(Xk),H3(Xk)f (Xk)H3(Xk1) f (Xk 1), H3(Xk 1) f (Xk 1)插值余项为R(x) f (x) H3(x)且 R(xJ R(XkJ 022R(x)可写成 R(x) g(x)(x Xk) (x Xk i)其中g(x)是关于x的待定函数，现把x看成Xk,Xk1上的一个固定点，作函数2 2(t) f(t) H3(t) g(x)(t Xk) (t Xki)根据余项性质，有(Xk) 0, (Xki) 0(X) f (X) H3(x) g(x)(x Xk) (X Xk i)f(x) H3

25、(x) R(X)02 2(t) f (t) H3(t) g(x)2 (t Xk)(t Xki)2(t Xk 1 )(t Xk)(Xk)0(Xk i)0由罗尔定理可知，存在(xk,x)和(x,xk 1)，使(i)0，( 2)0即(x)在xk,i上有四个互异零点。根据罗尔定理，(t)在(t)的两个零点间至少有一个零点，故 (t)在(xk,xki)内至少有三个互异零点，依此类推，(t)在(xk,xk J内至少有一个零点。记为(Xk,Xk i)使(4)( ) f(4)( ) H3(4)( ) 4!g(x)0又1 H3(4)(t)0f(4)()g(x),(Xk,Xk i)4!其中依赖于xR(x) (x

26、x$(x xki)24!分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk（k0,1，川，n），设步长为h，即XkX。kh,k0,1，川，n在小区间兀入上R(x)"()(x4!R(x)Xk)2(x Xki)2)(x Xk)2(x Xki)2(X Xk )2 (Xk 1 4!1 x Xk Xk i 4!(Tx)2 max f (x)'a x bv '-)22max f(4)(x)a x b16 .P(0)丄4!h4-h4 max f(4) (x)24a x bv 'max f (x)384 a x b')求一个次数不高于 4 次的多项式P(0) 0,P(1) P(1)

27、 0,P(2) 0P ( x ),使它满足解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式X 0,X11y。0,y1 1m00,mi 1(x)1yjj 00（X）(1 2(12x)( x1(x)(1 2(32x)x20（X）x(xj(x)1)21)2XX-!X X0)(X X1 )2X X1 X0X1)2X1 X0 X1 X0mj j(x)j 01(x) (X 1)x22232H3(x)(3 2x)x (x 1)x x 2x2 2设 P(x) H3(x) A(x Xo) (x Xi)其中，A为待定常数11(P(2) 1P(x)x3 2x2 Ax2(x 1)2a*从而P(x)1 2 24X(X 3

28、)17-设 f (x)1/(1 x2)，在 5 x 5上取n 10，按等距节点求分段线性插值函数lh(x),计算各节点间中点处的| h(x)与f (x)值，并估计误差。解：右 X05, X10 5则步长h 1,XiXo ih,i 0,1，川,10f(x)11 x2在小区间xi,x 1上，分段线性插值函数为lh(x)f(Xi)Xi Xi 1x xiX 1 Xf (Xi 1 )(X 1X)1 x2(xX)11各节点间中点处的lh(x)与f (x)的值为当x4.5 时，f (x)0.0471, | h(x)0.0486当x3.5 时，f (x)0.0755, lh(x)0.0794当x2.5 时，f

29、 (x)0.1379, h(x)0.1500当x1.5 时，f (x)0.3077, Ih(x)0.3500当x0.5 时，f (x)0.8000, Ih(x)0.75002 Xi 14早圭 误差maxx X Xj 1f(x)Ih(x)h2max f ()85x5又、f(x)f (x)f (x)f (x)11 x22x(1丁6x2 23(1 X )24x 24x3(1 x2)4令 f (x)0得f (x)的驻点为Xi,21 和 x301f (Xl,2)2, f (X3)max5x5f(x) Ih(x)18求f(x) x2在a, b上分段线性插值函数lh(x)，并估计误差解：在区间ab上，Xo

30、a, Xn b,hXj 1 Xj,i 0,1，川,n 1,h max h0 i n 1 j2t f(x) X函数f (x)在小区间X ,Xj上分段线性插值函数为lh(x)f(Xi)Xi Xi 1X xiX 1 Xf (Xi 1)122Xi (Xi 1 X)Xi 1 (XXi )hi误差为maxX x Xi 1f (X)lh(x)i 12.f(x) xf (X)2x, f (x)max f (x)a x blh(x)1max f8 a b2£4()|hi219求f(x) x4在a,b上分段埃尔米特插值，并估计误差。解：在a,b区间上，Xo a, Xn b,hiXi,i 0,1|,n 1

31、,令 h max hi0 i n 1f (x) x4, f (x) 4x3函数f (x)在区间xi, xi 1上的分段埃尔米特插值函数为lh(x) ()2(1 24 f(x)x x 1x 1 人(42(12)f(XiJN 1 Nx xi 1(2)2(x xi)f (x)X x 1(X Xi )2 (x Xi1)f(X1)x 1 X4討x x 1)2(h 2X 2xi)4X 1 /r(xh3xj2(h4x3帚(XXi 1)2(xx 3¥(XG2(X2x 2xi 1)Xi)Xi 1)误差为f(4) ( ) (x X)2(x X 1)2f(x) lh(x) 1 4!一max f(4)()1

32、24 a x b又：f(x) X4f (x)4! 24max f (x) lh (x' a x b44h h max 0 i n 1 1616X0.250.300.390.450.53Y0.50000.54770.62450.67080.728020.给定数据表如下:试求三次样条插值，并满足条件:(1) S (0.25)(2) S (0.25)1.0000, S (0.53)0.6868;S (0.53)0.h°xX00.05h1xX10.09h2X3x0.06h3x4x30.08i *hj1jhj 1hj '解:Jhj 1hj hj5114,914,225, 3f(

33、xj47, 0f(X°)x°, X1X1X0X1, X0.8533X2,X30.771723110.9540Jx3, x40.7150S(Xo) 1.0000,S(X4) 0.6868d。6(f x1,x2f0)5.5200hofX1,X2fX0,X1h°h1fX2,X3fX1,X2h1hzfX3,X4fX2,X3h2h364.315763.264062.4300d1d2d3d42.11506(f4 f X3,X4 )h3由此得矩阵形式的方程组为M15M14141475.52004.31573.26402.43002.1150求解此方程组得M02.0278,M11

34、.4643M21.0313,M30.8070,M40.6539(xj 1 x)3S(x) Mj3j 6hj(y Mjhj2)Xj1 (yj 丁)三次样条表达式为(X Xj)36hjMj1hj2 x Xj（比1j-)j(j 0,1, ,n 1)6 hj将 MoMjMzMs, M4 代入得6.7593(0.30x)34.8810(x0.25)3x 0.25,0.302.7117(0.39x)31.9098(x0.30)3x 0.30,0.392.8647(0.45x)32.2422(x0.39)3x 0.39,0.451.6817(0.53x)31.3623(x0.45)3x 0.45,0.53S

35、(x) S(xo)0,S(x4)0do 2f°0,d14.3157, d23.2640d32.4300,d4 2f4 0040由此得矩阵开工的方程组为10.0169(0.30 x) 10.9662(x 0.25)6.1075(0.39 x) 6.9544(x 0.30)10.4186(0.45 x) 10.9662(x 0.39)8.3958(0.53 x) 9.1087(x 0.45)M。M4014M1M2M34.31573.26402.4300求解此方程组，得M00,M11.8809M20.8616,M31.0304,M4 0又；三次样条表达式为S(x)(x 1 x)36hj(x

36、 %)36hjM jhj2 Xj 1 x6)hj(yj 1Mj 1hj2 x xj6) hj将 Mo,M1,M2,M3,M4 代入得10(0.3 x) 10.9697(x 0.25)6.2697(x 0.25)3x 0.25,0.303.4831(0.39x 0.30,0.39 S(x)x)31.5956(x 0.3)3 6.1138(0.39 x) 6.9518(x 0.30)21.若2.3933(0.45x 0.39,0.452.1467(0.53x 0.45,0.53f(x)x)3x)32.8622(x 0.39)3 10.4186(0.45 x) 11.1903(x 0.39)8.39

37、87(0.53 x)9.1(x0.45)C2 a,b ,S(x)是三次样条函数，证明:b(1)a f (x)ba f (x)2dx2b2dx S (x) dxa2 bS (x) dx 2 S (x) f (x) S (x)a(2)若 f(xjS(xJ(i0,1，川,n)，式中Xi为插值节点，且axqx-i川Xnb，则baS(x) f (x) S (x)S (b) f (b) S (b)dxS(a) f (a) S(a)证明：b2(1)a f (x)S (x) dxb2b2bf (x)adxS(x)adx 2f (x)S (x)dxab2b2ba f (x)dxa S(X)dx 2aSf (x)

38、 S (x)从而有b2b2a f (X)(dxaS (x) dxb2bf (x)aS(x)dx 2S(x)af (x)S (x) dx第三章函数逼近与曲线拟合1 - f(x)sinx,给出0,1上的伯恩斯坦多项式B(f,x)及B3(f ,x)。解:,f(x) sin 2 x 0,1伯恩斯坦多项式为Bn(f,X)kf ()Pk(x)k 0 n其中Pk(x)kn kx (1 x)当n 1时,1P0(x) 0(1 x)P(x) xB(f,x)10f (O)R(x)f(1)P(x)xsin 2当n3时,R(x)10(13x)P(x)1x(120x) 3x(1F2(x)32 / ,21x (1x) 3x

39、 (1B(x)33 x3 xxx)3x)2(1 叫 0)B3(f,x)kf()Pk(x)n0 3x(132-x(1 x)225 3乜3x21.5xx)2lsi n3x2(16!3 3x (1 x) 23、3 6 23x x 2 20.402x2 0.098x3x)|sin3f(x) x 时，求证 Bn( f ,x) x证明:若 f(x)x，则Bn(f,x)n kf T)Pk(x)k o n3x sin2nk n k 一 、n k x (1 x) k 0 n kkn(n 1)|(k 1)!1k、n kx (1 x)3证明函数xx(1n 1x)1,x,lllxn线性无关n k 1) k n k x

40、 (1 x) k!(n 1)卅(n 1) (k 1) 1xk(1 x)nkxk1(1 X)(n1)(k1)证明:若a°a1X2a2xlbnanX0, x R分别取xk(k0,1,2,|, n),对上式两端在0,1上作带权 (x)1的内积，得IIIa1h1n此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异, 只有零解a=0。函数1,xJ|,xn线性无关。III12n 1an4。计算下列函数f (x)关于C0,1的f , f1与f 2 :(1)f(x) (x 1)3,x 0,11 f(x) x 2，(3)f(x) xm(1 x)n,m与 n 为正整数, f(x) (x 1)10ex解：f

41、 (x)3(x 1)若 f(x) x -,x 0,1 ,则 2( n m) 1!0f(x) (x 1)3在(0,1)内单调递增 f| maxlf(x)max f (0), f(1)max 0,11f| maxlf(x)max f (0), f(1)max 0,11f 2( 0(1 x)6dx)217 1 17(1 x) 02G7max f (x)0 x 110f (x) dx112 1(x )dx22141 1 f 2(0f2(x)dx)21 1 2 1 °(x ?2dx2J6若f(x) xm(1 x)n, m与n为正整数m 1n mn 1f (x) mx (1 x) x n(1 x

42、) ( 1)m i n 1 n mx (1 x) m(1x)m当 x (0,-)时,f (x)0n mf (x)在(0,)内单调递减n m当 x (,1)时,f (x)0n mf (x)在(m ,1)内单调递减。n mx ( m ,1)f (x) 0n mIIf I maxlf(x)max f (0),f(nm nm n (m n)mf(x) dx1xm(1 x)ndx0；(si n2t)m(1 si n2t)ndsi n2t2 2m 丄 2n厶( 丄jV 一 一 一0n!m!(n m 1)!sin2m t cos2 nt costas in tdt1x)2ndx21jsin4mtcontd(

43、sin2t)2J2sin4m Hcos" 1tdt2(2n) !(2m)!f (x) 10(x 1)9e x (x 1)10( e x)(x 1)9ex(9 x)0f (x)在0,1内单调递减。ii f I max f(x)max f (0), f(1)22e1f 10 f(x)dx1110 x .0(x 1) e dx1 1(x 1)10e x 10(x 1)9e xdx 0 0105 e1 1|f|20(x 1)20e2xdx25。证明 fg| | f g证明:(f g) gf ggf gfg16。对 f (x), g(x) C a,b，定义b(1)(f,g) a f (x)g

44、(x)dxb(f,g)f (x)g (x)dx f(a)g(a)a问它们是否构成内积。解：(1)令f(x)C( C为常数，且C 0)b而(f, f) f (x) f (x)dxa这与当且仅当f 0时，(f,f)0矛盾不能构成C1a,b上的内积。b(2)若(f ,g) a f (x)g (x)dx f (a)g(a)，则b(g，f) a g (x) f (x)dx g(a)f (a) (f ,g), Kb(f,g) a f (x) g (x)dx af (a)g(a)ba f (x)g (x)dx f (a)g(a)(f ,g)h C1a,b,则(f g,h)f(x)g(x) h (x)dx f(a)g(a)