03第三节偏导数

1、第三节偏导数分布图示偏导数的定义例2有关偏导数的几点说明偏导数的几何意义例6高阶偏导数例7例10混合偏导数相等的条件内容小结习题6-3例1例3例4例5偏导数的经济意义例8例9例11例12课堂练习内容提要：一、偏导数的定义及其计算法定义1设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义当y固定在y°而x在Xo处有增量Ax时，相应地函数有增量f(X0x,yo)-f(X0,yo),如果limf(x0+'x,y0)-f(x0,y0)存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处0Lx对X的偏导数，记为zx%y-y°x0y=y°zxxj或y=y

2、°fx(x°,y°).例如，有fx(x0,y。)=lim。f(x°x,y°)-f(xo,y°)类似地，函数z=f(x,y)在点(x°,y°)处对y的偏导数为limf(x0,y0y)一f(x0,y0)y)0记为cz奇fy(x°,y。).，了，zyxn。<yxn°cyx=xqy=y°y=y°y=y°上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时，只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之二、关于多元函数的偏导数，补充以下几

3、点说明：对一元函数而言，导数孚可看作函数的微分dy与自变量的微分dx的商.但偏导数的记号U是一个整体.；x(1) 与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求(2) 在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续.但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续例如，二元函数队，(x,y)=(0,0)f(x,y)=x+y0,(x,y)=(0,0)在点(0,0)的偏导数为fx(0,0)=limf(0奶一冲匚肺巴叩.J0xLJ0'xfy(0,0)=limf(0,0Mf(0,0)=lim&=0.y.y0.；y.&qu

4、ot;x,;y但从上节例5已经知道这函数在点(0,0)处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为z=f(x,y),M°(x0,y。，f(x。，y。)是该曲面上一点，过点M。作平面y=y。，截此曲面得一条曲线，其方程为,z=f(x,y°)J=Y0则偏导数fx(x0,y0)表示上述曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴正向的斜率(图6-3-1).同理，偏导数fy(x°,y0)就是曲面被平面x=x°所截得的曲线在点M°处的切线M°Ty对y轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量Q=Q(p,y),其中p为该产品的价格，y为消费者收入.

5、记需求量Q对于价格p、消费者收入y的偏改变量分别为:pQ=Q(pp,y)Q(p,y),和：yQ=Q(p,yy)Q(p,y).表示当价格为p、消费者收入为y时，Q对于p的变化率.称pq/qQpEp=lim=-p少.,:p/p；:pQ为需求Q对价格p的偏弹性.易见，兰笠表示Q对价格p由p变到Pp+Ap的平均变化率.而:Q:plim"Q上yQ一同理，表示Q对收入y由y变到y+Ay的平均变化率.而y表示当价格p、消费者收入为y时,Q对于y的变化率.称yQ/Q：:QyEy=lim=-yI。.：y/y:yQ为需求Q对收入y的偏弹性.五、高阶偏导数设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数=fx(

6、x,y),=fy(x,y),:x:y则在D内fx(x,y)和fy(x,y)都是x、y的函数.如果这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数：右宓右Z、Cczcz、；=fxx(x,y),了丁=7T7T=fxy(x,y),cxcx/以cycxJcxcy-Z.ZZ=fyx(x,y),叭机板y-2:Z2=fyy(x,y),其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数类似地，可以定义三阶、四阶、以及n阶偏导数.我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.：2：2定理1如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数£2及£

7、;2在区域D内连续，则yxxy_2_2在该区域内有二土=.:y.x；x.:y例题选讲：偏导数的定义及其计算法例1(E01)求z=f(x,y)=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数解把y看作常数，对x求导得到fx(x,y)=2x3y,把x看作常数，对y求导得到fy(x,y)=3x2y,故所求偏导数fx(1,2)=2132=8,fy(1,2)=3122=7.例2(E02)求z=xy的偏导数.解上=yxy，旦=xylnx.；:x:y例3求三元函数u=sin(x+y2-ez)的偏导数.解把y和x看作常数，对x求导得=cos(xy2-ez);x把x和z看作常数，对y求导得邑2z、=2ycos(xy

8、-e);；y把x和y看作常数，对z求导得=-ezcos(xy2-ez).:z例4(E03)求r=Jx2+y2+z2的偏导数.解把y和z看作常数,对x求导得立=x_Xxx2y2z2r利用函数关于自变量的对称性，可得:ry丈三,.:yr：-zr例5函数f(x,y)=k+y2，(X，"*(0'0)的偏导数fx(0,0),fy(0,0)存在，但.0,(x,y)=(0,0)f(x,y)在(0,0)点不连续.证fx(0,0)=lim,.J0.xfy(0,0)=lim(0,0少一门0,0)f(0：x,0)-f(00)=|im厦=1廿Q,x,00c=lim=0.y0.:y即偏导数fx(0,0

9、),fy(0,0)存在.但由上节的例8知道极限limo2xy2不存在，故f(x,y)在(0,0)点不连续.例6(E04)某体育用品公司的某种产品有下列的生产函数0.40.6p(x,y)=240xy,其中p是由x个人力单位和y个资本单位生产出的产品数量。(1) 求由32个人力单位和1024个资本单位生产出的产品数量；(2) 求边际生产力；(3) 计算在x=32和y=1024时的边际生产力。解(1)p(32,1024)=240320.410240.61440.-P0.60.6cc-0.60.6=2400.4xy96xy,/c、x(2) _-p0.4-0.40.4-0.4=2400.6xy=144x

10、y.-:y-p0.60.6r-c1(32,1024)=96321024=768,/c、x(3) :鬼1(321024)=144320.41024.36.y如何理解这些边际生产力？假设所花费的资本总数固定为1024,则如果人力的总数由32改变了一个单位，那么，产量将会改变768个单位。假设人力的总数固定为32,则如果花费的资本总数由1024改变一个单位，那么，产量将会改变36个单位。高阶偏导数-2:z_2_2_2,2._：y_：x_：x_：y:y(E05)设z=4x3十3x2y3xy2x+y,求乌，-z-zx=12x26xy-3y2-1,汰:Z2=3x-6xy1;.:y-2z弓=24x6y,-=

11、6x,.x:y2z弓=6x6y,=6x6y.x.y；y；x例8设u=eaxcosby,求二阶偏导数解=aeaxcoby,史=-beaxsiby;:x:y-2-22=a2eaxcosby,2=-b2eaxcosby;:x:y=-abeaxsinby,U=-abeaxsinby.-X.y:y:x例9(E06)求z=xln(x+y)的二阶偏导数解号5y)六弋=土尝2z1*x+yxx+2y.2xy(xy)2(xy)2-2:z-x寸(xy)2cz1工ty=r=-22.x.yxy(xy)2(xy)2cz(x+y)-xy-V/x(xy)2(xy)2例10验证函数u(x,y)=lnJx2+y2满足方程-2-2

12、:u：u-2-2:x:y=0.Inx21,z22、=2ln(xy),y2，11cuX2-2Cu2.y-2U-2.x(x2y2)x2x222(x2y2)222y-x(x2y2)2,22、.(xy)-y2y(x222y)22yx.2U_:y2(x2y2)2证明函数1u=-洒足r22xy(x2y2)2.+,222(xy)Laplace方程_2：x32u十莎u-2y+=0,其中r=Jx2十y2十z2.2一之.u:x.：2u.2一x13x-一+一一34rr由函数关于自变量的对称性fr；:x，得x,r冬r-2:U一2y-2；U一2.'Z-2:U2一x-2-2:-Uuf2.f2:V:z33(xy1«3r例12设f(x,y)=<xy2x-y22,xy0,"Wl0,0'试求fxyW)及fyx(0,0).(x,y)=(0,0)解因fx(0,0)=f(x,0)(0,0)=im0=0.当y#0时，,22、f(x,y)-f(0,y)y(x一y)fx(Qy)=iimTim2=-yX)0xx10xy.uy2.yx所以fxy(0,0)加些严0刊m°专=一1同理有fy(0,0)=眺f(0,y)-f(0,0)=0,当x#0时，fy(x,