04第四节幂级数

1、第四节籍级数分布图示函数项级数的一般概念例1藉级数的概念收敛半径的求法例4藉级数的代数运算藉级数和分析运算性质例9例2例3藉级数的收敛域求收敛域的基本步骤例5例6例8例7内容小结习题12-4例10课堂练习返回例11例12内容要点一、函数项级数的基本概念；函数项级数在某区域的收敛性问题，是指函数项级数在该区域内任意一点的收敛性问题，而函数项级数在某点X的收敛问题，实质上是常数项级数的收敛问题.这样，我们仍可利用常数项级数的收敛性判别法来判断函数项级数的收敛性.二、藉级数及其收敛性；阿贝尔定理；三、收敛半径P及其求法：根据藉级数的系数的形式，当藉级数的各项是依藉次n连续的时候，可用对其系数应用比值

2、判别法或根值判别法直接求出收敛半径，即有lim|an1aIan=P或linm；|an|=P;如果藉级数有缺项，如缺少奇数次藉的项等，则应将藉级数视为函数项级数并利用比值判别法或根值判别法其收敛域;四、求藉级数Zanxn收敛域的基本步骤:n=0(1)求出收敛半径R.;(2)判别常数项级数£anRn,£an(R)n的收敛性;n=0n=0(3)写出藉级数的收敛域.五、藉级数的算术运算：加、减、乘、除；六、藉级数的分析运算：和函数的连续性；逐项求导公式；逐项积分公式;几何级数的和函数11xx2xn,(T：X:1)是藉级数求和中的一个基本的结果.我们所讨论的许多级数求和的问题都可以利

3、用藉级数的运算性质转化为几何级数的求和问题来解决.例题选讲函数项级数的收敛域，°°(1)n例1(E01)求级数£(1（1V的收敛域.Mn解由比值判别法|Un+(x)|n1(ng.、1|Un(x)|一"1|1+x|1+x|1当一<1|1x|1当>1|1x|A|1+x|>1,即x>0或x<2时，原级数绝对收敛.>|1+x|<1,即2<x<0时，原级数发散.od(3)当|1+x|=1>x=0或x=_2,x=0时，级数为Z'nn上过收敛；x=q时，级数为£-nAn发散，故级数的收敛域为

4、（-：,-2）0,）.例2确定级数0yn11x(1x2)1xnx#-1）的收敛域.解当x=1时,，二1级数为£一,此级数收敛.2nn=12xn当|x|#1时M己心=（"x）（"x2）（1顼），有Plimy)1：Un(x)=limn广1x0,Jx|,|x|1由比值判别法知，此时级数绝对收敛，故级数收敛.因此，级数的收敛域为（-O0,_1）U（_1,+*）.例3（E02）求级数Z（n：；）的收敛域.nmn（nx）n（1x/n）n.解因un，nJ=，当x=0时，Un=1（n=1,2,3），级数发散.nn当x#0时，级数去掉前面的有限项（最多去掉前|x|项，它不影响级数的

5、收敛性）后为正级数，UnIxxn布，-Un。土xT而lim=lim>1'1/nxnF：nxx=e,LM1且p数z,当x1时收敛，x<1时发散.由比较判别法的极限形式知nmn题设级数当x>1时收敛，即收敛域为（1,+凶）.求藉级数的收敛域例4（E03）求下列藉级数的收敛域：(-1).n4nnx；5n(2)；(nx)n;n皂n_x(旷.n4n!an1an1/(n1)n=1,所以收敛半径R=1.当x=1时，级数成为£n4侦土,该级数收敛；当x=1时，级数成为£,该级数发散.nn4n从而所求收敛域为（-1,1.因为P=舛|an|=|%n=E，故收敛半径R=

6、0,即题设级数只在x=0处收敛.因为P=nan所求收敛域为（-：）.例5（E04）求藉级数1.(n1)!=lim-n)二1n!1一，.一=lim=0,所以收敛半径P=心,n）：n1Q0'(-1)n42nxn.21"八的收敛域1解令t=x-，题设级数化为2二n2nn£(7)n云tn，因为P=既aan12n1=limn)二.n1.n况=2,1所以收敛半径R=,收敛区间为|t|C,即0X1.2当x=0时，级数成为£），该级数发散；当x=1时，级数成为Z上碧，该级数收敛.nT："：nnTn从而所求收敛域为（0,1.:-2nx例6(E05)求器级数Z一的收

7、敛域.nd2n解题设级数缺少偶数次藉，此时可直接利用比值判别法Un1(X)lim1：Un(x)2n1x=liTn)二2n12n2n4x12=-|x|.<1即|x|<J2时，级数收敛；乌1:1 x2当1|x|5>1即|x|A克时，级数发散，所以收敛半径R=J2.2当X=q时，级数成为£,该级数发散；当x=r/2时，级数成为3二!,该级数发散.n4-2n.2故所求收敛域为（_、.2,.2）.一，十，二1例7求函数项级数£-n4n解令t=2，原级数变为z-tn,容易求得级数xn4n二1n-,X-t0的收敛域为1<t<1,即nn_1苴=2<1,解

8、此不等式得xA,所以原级数的收敛域为x1，二）.藉级数的运算.（一1）“1C例8（E06）求藉级数z卜结+j?xn的收敛域.解从例4的知，级数£-£=Lxn的收敛域为（1,1.对级数X-Lxn,有n4nnT4n141=limn1-nT.：4n1141所以，其收敛半径为4.易见当x=±4时，该级数发散.因此级数Zxn的收敛域为（4,4）.nW由藉级数的代数运算性质，题设级数的收敛域为（-1,1.求藉级数的和函数，分析运算性质的应用例9(E07)求藉级数X(1)4的和函数.解由例4(1)的结果知，题设级数的收敛域为(-1,1,设其和函数为s(x),即234ns(x)=

9、x.(_1)n4-234n显然s(0)=0,且s(x)=1x+x2+(1)nxnn+(1<x<1),1xx由积分公式s(x)dx=s(x)-s(0),得0s(x)=s(0)-is(x)dx=dx=ln(1x),001xcO因题设级数在x=1时收敛，所以Z（T）nndnx=ln(1x)(-1：x£1).nQ0例10(E08)求藉级数Z(n十1)2xn的和函数.n30解因为|如1|=(n+2)2T1，故题设级数的收敛半径R=1，易见当x=±1时，题设Ian(n1)2级数发散，所以题设级数的收敛域为(1,1),设s(x)=£(n+1)2xn(|x|<1

10、),则n=0FoOoO/oOjxs(x)dx=£(n+1)xn41=x£(xn*)'=x£xn+=xnQn=0'nj在上式两端求导，得所求和函数,、1xs(x)=3(|x"：1).(1-x)3例11求级数上玲写+L+的和.1.32.323.334.34n.33xn.1二xn解所求级数的和是器级数Z当x=1时的和设s(x)=£x可-1,1),逐项求导，nn3nn得s'(x)=£xn=xW(1,1),两边积分，得n=11-Xxx1一i0s'(x)dx="dx=ln(1x),即s(x)s(0)=ln

11、(1x).1-x又因s(0)=0,所以s(x)=-ln(1-x),故所求原级数的和为I413=-In1一一=in.320(2n-1)的和.例12求藉级数Zn=1oO设S(x)二'、n=1(-1)"广n(2n-1)(|x|<1),则S(x)峪上匚x2n5(2nT)oO=xn日2(-1广孩品2n-1f00c/一.00.一一一.一CS"(x)=£-_-xn=£2(T)nxn=22x+2x2x+=2(|x|<1).搭2n一1)n1+x将上式两端对x积分，得S(x)-S(0)=S(x)dx=322dx=2arctanx.01x20'-由

12、S'(0)=0，得S(x)=2arctanx,两端积分得S(x)-S(0)xxx=23雨弗。一.0由S(0)=0,得dx=2xarctanx-ln(1x2)(|x|：1),=S(x)dx=2arctanxdx002、S(x)=2xarctanx-ln(1x):(_1)nJ'、'-()x2n=2xarctanx-ln(1x2).n4n(2n-1)课堂练习藉级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变:on1求所给藉级数的收敛域:'、(x1)n;n4一n1:n1. 求藉级数Z的和函数.阿贝尔(Abel,NiclsHenrik,1802-1829)阿贝尔挪威

13、数学家，1802年8月5日生于挪威芬岛；1829年4月6日卒于挪威弗鲁兰。阿贝尔出身贫困，未能受到系统教育，启蒙教育得自于他的父亲。1813年，年仅13岁的阿贝尔进入奥斯陆的一所教会学校学习。起初，学校里缺乏生机的教育方法没有引起他对数学的兴趣。15岁时，他幸运地遇到一位优秀数学教师，使他对数学产生了兴趣。阿贝尔迅速学完了初等数学课程。然后，他在老师的指导下攻读高等数学，同时还自学了许多数学大师的著作。1821年秋，阿贝尔在一些教授资助下进入了奥斯陆大学学习。1825年大学毕业后，他决定申请经费出国，继续深造和谋求职位。在德国他结识了一位很有影响的工程师A.L.克雷尔，在阿贝尔及朋友的赞助下，

14、克雷尔于1826年创办了著名的数学刊物纯粹与应用数学杂志，后被称为克雷尔杂志。它的第一卷刊登了7篇阿贝尔的文章，克雷尔杂志头三篇共发表了他的22篇包括方程、无穷级数、椭圆函数等方面的开创性论文。从此，欧洲大陆数学家才开始注意他的工作。1826年7月，阿贝尔从柏林来到巴黎，遇见了勒让德和柯西等著名数学家，他写了一篇题为“关于一类广泛的超越函数的一个一般性质”的文章，于1826年10月30日提交给法国科学院，不幸未得到重视，当时科学院的秘书傅里叶读了论文的引言，然后委托勒让德和柯西对论文作出评价，柯西是主要负责人，这篇论文很长而且难懂，因为它饱含了许多新概念。柯西把它放在一边，醉心自己的工作。勒让德也把它忘记了。事实上，这篇论文直到阿贝尔去世后的1841年才发表。1826年底，阿贝尔回到柏林。不久，他染上了肺结核，克雷尔帮助了他，请他担任克雷尔杂志的编辑，同时为他谋求教授职位，但未获得成功。1827年5月20日，阿贝尔回到奥斯陆。回国后更失望，仍然没有找到职位的期望，他不得不靠作家庭教师维生。在贫病交迫、茹苦含辛的逆境中，他并滑倒下去，仍然坚持研究，取得了许多重大成果。他定下了一系列关于椭圆函数的文章，发现了椭圆函数的定理、双周期性，并引