281锐角三角函数精品课件

1、ABC如图：在如图：在Rt ABC中，中，C90，角：角：A+ B 90边：边：AC2 + BC2 = AB2勾股定理勾股定理在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？问题问题1 1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是角的度数是3030，为使出水口的高度为，为使出水口的高度为35m35m，那么需，那么需要准备多长的水管？要准备多长的

2、水管？这个问题可以归结为，在这个问题可以归结为，在RtABC中，中，C90，A30，BC35m，求，求AB的长的长.ABC 思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？情情境境探探究究 根据根据“在直角三角形中，在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜角所对的直角边等于斜边的一半边的一半”，即，即ABC 在在RtABC中，中，C90，A30，BC35m，求，求AB的长的长.21ABBC斜边的对边A可得可得 AB=2BC=70m，即需要准备，即需要准备70m长的长的水管。水管。在上面的问题中，如果使出水口的高度为在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要

3、准备多长的水管？，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于值都等于 。21ABC50m30mB C 即在直角三角形中，当一个锐角等于即在直角三角形中，当一个锐角等于45时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于的对边与斜边的比都等于 。22 如图，任意画一个如图，任意画一个RtABC，使使C90，A45，计，计算算A的对边与斜边的比的对边与斜边的比 ，你能得出

4、什么结论？你能得出什么结论？ABBCABC 综上可知，在一个综上可知，在一个RtABC中，中，C90， 一般地，当一般地，当A 取其他一定度数的锐角时，它的取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？对边与斜边的比是否也是一个固定值？21 当当A30时，时，A的对边与斜边的比都等于的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；是一个固定值；22 当当A45时，时，A的对边与斜边的比都等于的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值也是一个固定值.探究探究ABCABC 任意画任意画RtABC和和RtABC，使得，使得CC90，AA ，那么，那么 与与 有什么关有什么关系你能解释一下吗？系

5、你能解释一下吗？ABBCBACB由于由于CC90， AA 所以所以RtABCRtABC,BAABCBBC.CBABBABC即 这就是说，在直角三角形中，当锐角这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数的度数一定时，不管三角形的大小如何，一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与的对边与斜边的比都是一个固定值斜边的比都是一个固定值探究探究 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，我们把锐角，我们把锐角A的的对边与斜边的比叫做对边与斜边的比叫做A的正弦的正弦（sine），记作），记作sinA， 即即caAA斜边的对边sin例如，当例如，当A30时，我们有时，我们有2130sinsinA当当A45时，

6、我们有时，我们有2245sinsinAABCcab对边对边斜边斜边在图中在图中A的对边记作的对边记作aB的对边记作的对边记作bC的对边记作的对边记作c 正正 弦弦 注意注意 sinA是一个完整的符号，它表示是一个完整的符号，它表示A的正的正弦，记号里习惯省去角的符号弦，记号里习惯省去角的符号“”； sinA没有单位，它表示一个比值，即直角没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中三角形中A的对边与斜边的比；的对边与斜边的比； sinA不表示不表示“sin”乘以乘以“A”。例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，求，求sinA和和sinB的值的值ABC34 例例 题题 示示 范范ABC1

7、35(1)(2).54sin53sin5.34BCACABABCR12222ABACBABBCAt，因此中，），在解：如图（试着完成图（试着完成图（2） 求求sinA就是就是要确定要确定A的对的对边与斜边的比；边与斜边的比；求求sinB就是要确就是要确定定B的对边与的对边与斜边的比斜边的比练习练习2254AC35B2、在平面直角平面坐标系中，已知点、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)和和B(0，-4)，则，则sinOAB等于等于_.3、在、在RtABC中，中，C=90，AD是是BC边边上的中线，上的中线，AC=2，BC=4，则，则sinDAC=_.4、在、在RtABC中中, C=90,

8、 ,则则sinA=_.33ba1、如图，求、如图，求sinA和和sinB的值的值5.在在RtABC中，中，C=90，a=1，c=4，则，则sinA的（的（ ） A151115.15434BCDBAB7.如图：在如图：在RtABC中，中，C=90，AB=10，sinB= ， BC的长是的长是 536.若若sin（65-A)= ,则则A= 22208O8、如图、如图2：P是平面直角坐标系上是平面直角坐标系上的一点，且点的一点，且点P的坐标为（的坐标为（3,4），），则则sin = P( 3 , 4 )54xAy9、如图，在、如图，在ABC中，中， AB=CB=5，sinA= ，求求ABC 的面积。

9、的面积。54BAC551010. .在在RtRtABCABC中，锐角中，锐角A A的对边和斜边同时扩大的对边和斜边同时扩大 100 100倍，倍，sinAsinA的值（的值（ ） A. A.扩大扩大100100倍倍 B. B.缩小缩小 C. C.不变不变 D. D.不能确定不能确定C1100练一练练一练11. ACB37300则则 sinA=_ .121222231.1.正弦的定义正弦的定义: :3.sinA3.sinA是是AA的函数的函数. . ABCA的对边斜边斜边A的对边sinAsinA= =2. Sin30 =sin45=回味回味 无穷无穷sin60=4.sinA4.sinA是线段之间

10、的一个比值是线段之间的一个比值 ，sinAsinA没有单位没有单位28.1锐角三角函数（锐角三角函数（2）余弦余弦 正切正切1 1、sinAsinA是在直角三角形中定义的，是在直角三角形中定义的，A A是锐角是锐角. .2 2、sinAsinA是一个比值（数值）是一个比值（数值）. .3 3、sinAsinA的大小只与的大小只与A A的大小有关，而与直角三角形的边长的大小有关，而与直角三角形的边长无关无关. .如图：在如图：在RtRt ABCABC中，中，C C9090，123sin 30,sin 45,sin 60222 特殊角的正弦函数值特殊角的正弦函数值正弦正弦caAsinA斜边的对边复

11、习与探究：复习与探究： 1.锐角正弦的定义锐角正弦的定义 在在 中，中， Rt ABC C90ABCabcA的正弦：的正弦：c ca aABABBCBC斜边斜边A的对边A的对边sinAsinA2、当锐角、当锐角A确定时，确定时，A的对边与斜边的比就随之的对边与斜边的比就随之确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为什么？什么？新知探索新知探索: :ABCabc1、你能将、你能将“其他边之比其他边之比”用比例的用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？式子表示出来吗？这样的比有多少？cbba2、当锐角、当锐角A确定时，确定时，A的邻边与斜边的比，的邻边

12、与斜边的比， A的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由。说出理由。方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；方法二：根据相似三角形的性质来说明。方法二：根据相似三角形的性质来说明。 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，cbAA斜边的邻边cosABC斜边斜边c对边对边a邻边邻边b我们把锐角我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做的邻边与斜边的比叫做A的的 余弦余弦（cosine），记作），记作cosA， 即即我们把锐角我们把锐角A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做A的的 正切正切（tangen

13、t），记作），记作tanA， 即即baAAA的邻边的对边tanrldmm8989889注意注意 cosA，tanA是一个完整的符号，它表示是一个完整的符号，它表示A的余弦、正切，记号里习惯省去角的的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号符号“”； cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中即直角三角形中A的邻边与斜边的比、的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；对边与邻边的比； cosA不表示不表示“cos”乘以乘以“A”， tanA不表不表示示“tan”乘以乘以“A”rldmm8989889 对于锐角对于锐角A的每一的每一个确定的值，个确定的值，sinA有有唯

14、一确定的值与它对唯一确定的值与它对应，所以应，所以sinA是是A的函的函数数。 同样地，同样地， cosA，tanA也是也是A的函数的函数。cbAA斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tancaAA斜边的对边sin 锐角锐角A的正弦、余弦、的正弦、余弦、正切都叫做正切都叫做A的的锐角三锐角三角函数角函数.rldmm8989889ABC6.34tan54cos, 8610.10356sinsin2222BCACBABACABCABACABCABABBCA，又，解： 例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，BC=6， ，求，求cosA和和tanB的值的值53sinArldmm89898

15、89例例2 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，BC=2，AB=3，求，求A，B的正弦、余弦、正切值的正弦、余弦、正切值.25tan32cos35sin.55252tan35cos32sin,5232222BCACBABBCBABACBACBCAABACAABBCABCABACABCRt，中，解：在ABC23延伸：延伸：由上面的计算，你能猜想由上面的计算，你能猜想A，B的正弦、余弦值的正弦、余弦值有什么规律吗？有什么规律吗？结论结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。余弦等于它余角的正弦。rldmm898988

16、9练习 课本课本P78 练习练习1，2，3. 补充练习补充练习 1、在等腰、在等腰ABC中，中，AB=AC=5，BC=6，求求sinB，cosB，tanB.ABCDrldmm8989889补充练习补充练习2、如图所示，在、如图所示，在ABC中，中，ACB90，AC=12，AB=13，BCM=BAC，求，求sinBAC和和点点B到直线到直线MC的距离的距离MCBA3、如图所示，、如图所示，CD是是RtABC的斜边的斜边AB上的高，上的高，求证：求证：.2BDABBCDCBA1、如图、如图,在在RtABC中中,锐角锐角A的邻边和斜边同时扩大的邻边和斜边同时扩大100倍倍,tanA的值的值（ ）A.

17、扩大扩大100倍倍 B.缩小缩小100倍倍 C.不变不变 D.不能确定不能确定ABCC C2、下图中、下图中ACB=90，CDAB,垂足为垂足为D.指出指出A和和B的对边、邻边的对边、邻边.ABCD CD1 tanA AC( ) ( )CD2 tanBBC( )BCAC BDAD1.（2011湖州中考）如图，已知在湖州中考）如图，已知在RtABC中，中，C=90，BC=1，AC=2，则，则tanA的值为的值为( )A.2 B C D【解析解析】选选B.B.根据正切的函数定义，角根据正切的函数定义，角A A的正切应是它的对边与邻边的的正切应是它的对边与邻边的比，所以比，所以B B是正确，是正确，

18、A A是是B B的正切；的正切；C C和和D D都错都错5555212454334A. B. C. D.3455BBAEDC3 05 3335 3A.()m B.(5 3)m C.m D.4m3223A2.（2010黄冈中考）在黄冈中考）在ABC中，中，C90，sinA则则tanB（ ）3.（2010丹东中考）如图，小颖利用有一丹东中考）如图，小颖利用有一个锐角是个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离已知她与树之间的水平距离BE为为5m，AB为为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（么这棵树高是（

19、 ） 5454. B43. C55. DB B53.A 4 4（20102010怀化中考）在怀化中考）在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，sinAsinA= =则则cosBcosB的值等于（的值等于（ ）5.5.（20102010东阳中考）如图，为了测量河两岸东阳中考）如图，为了测量河两岸A.BA.B两点的两点的距离，在与距离，在与ABAB垂直的方向点垂直的方向点C C处测得处测得ACACa a，ACBACB，那么那么ABAB等于（等于（ ）A.asinA.asin B.atan B.atan C.acosC.acos D. D.tanaACABABCa【解析解析】选选B.B.在在

20、RtRtABCABC中，中，tantan= = 所以所以AB=AB=a atantan【规律方法规律方法】 1.sinA,cosA1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的是在直角三角形中定义的,A,A是锐角是锐角( (注意数形结合注意数形结合, ,构造直角三角形构造直角三角形) )；2.sinA,cosA2.sinA,cosA是一个完整的符号是一个完整的符号, ,表示表示A A的正弦、余弦的正弦、余弦, ,习习惯省去惯省去“”符号；符号；3.sinA,cosA3.sinA,cosA的大小只与的大小只与A A的大小有关的大小有关, ,而与直角三角形而与直角三角形的边长无关的边长无关. .在在

21、RtRtABCABC中中AasinAAc的对边的斜边AbcosAAc的的邻边的的斜边AatanAAb的的对边的的邻边28.1锐角三角函数（锐角三角函数（3）rldmm8989889 AB CAA的的对边对边aAA的的邻边邻边b斜边斜边cc ca aA AB BB BC C斜斜边边A A的的对对边边s si in nA Ac cb bABABACAC斜边斜边A的邻边A的邻边cosAcosAb ba aACACBCBC边边边边A的A的tanAtanA邻对rldmm8989889 请同学们拿出请同学们拿出自己的学习工具自己的学习工具一副三角尺，思一副三角尺，思考并回答下列问题：考并回答下列问题：1、

22、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如果设每块三角尺较短的边长为果设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边，请你说出未知边的长度。的长度。30604512311245新知探索新知探索:30:30角的三角函数值角的三角函数值123 3sin30=2 21 1斜边斜边A的对边A的对边cos30=2 23 3斜边斜边A的邻边A的邻边tan30=3 33 3A的邻边A的邻边A的对边A的对边30.0 CBArldmm898988945.0 CAB112 2cos

23、45=tan45=sin45=2 22 2斜边斜边A的对边A的对边2 22 2斜边斜边A的邻边A的邻边1 1A的邻边A的邻边A的对边A的对边新知探索新知探索:45:45角的三角函数值角的三角函数值60.0 BAC123 3sin60=2 23 3斜边斜边A的对边A的对边cos60=2 21 1斜边斜边A的邻边A的邻边tan60=3 3A的邻边A的邻边A的对边A的对边新知探索新知探索:60:60角的三角函数值角的三角函数值rldmm898988930、45、60角的正弦值、余弦值和正切角的正弦值、余弦值和正切值如下表：值如下表： 锐角锐角a三角函数三角函数304560sin acos atan

24、a1222322212332331rldmm8989889例例1 求下列各式的值：求下列各式的值：（1）cos260sin260（2）45tan45sin45cos).60(sin)60(sin60sin60sin22即，）表示（22)23()21(解：原式112222解：原式0rldmm8989889；）（30cos30sin211；）（60sin245tan30tan32；）（30tan160sin160cos3求下列各式的值：求下列各式的值：.21160cos2145sin2402005）（）（）（rldmm8989889例例2 （1）如图，在）如图，在RtABC中，中，C90， ，求求

25、A的度数的度数3, 6BCABABC36,2263sinABBCA解.45Arldmm8989889（2）如图，已知圆锥的高）如图，已知圆锥的高AO等于圆等于圆锥的底面半径锥的底面半径OB的的 倍，求倍，求 a ABO3, 33tanOBOBOBAO解.60 当当A，B为锐角为锐角时，若时，若AB，则，则sinAsinB,cosAcosB,tanAtanB.rldmm8989889 1、在、在RtABC中，中，C90， ，求求A、B的度数的度数21,7ACBCBAC721rldmm89898892 2、求适合下列各式的锐角、求适合下列各式的锐角3( (1 1) )3 3t ta an n0 0

26、1 1s si in n2 2( (2 2) )1 12 21 12 2c co os s( (3 3) )的值。求为锐角），（、已知tantan0 03 32cos2cos3 3rldmm8989889ABCD4、如图、如图,ABC中中,C=900,BD平分平分ABC,BC=12,BD= ,求求A的度数及的度数及AD的长的长.38rldmm8989889小结小结 : : 我们学习了我们学习了30, 45, 60这这几类特殊角的三角函数值几类特殊角的三角函数值 rldmm8989889作业作业 课本课本P82 第第3题题 同步练习同步练习P51-52（四）（五）（四）（五）28.1锐角三角函数

27、（锐角三角函数（4）rldmm8989889 ,42tantan20EBDCDCACADCm，解：由已知得DABE1.6m20m42C引例引例 升国旗时，小明站在操场上离国旗升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼。处行注目礼。当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42（如（如图所示），若小明双眼离地面图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求，你能帮助小明求出旗杆出旗杆AB的高度吗？的高度吗？,42tanDCAC. 6 . 142tan20CBACAB这里的这里的tan42是多少呢？是多少呢？rldmm8989889 前面我们学习了前

28、面我们学习了特殊角特殊角304560的的三角函数值，一些三角函数值，一些非特殊角非特殊角(如如175689等等)的三角函数值又怎么求呢？的三角函数值又怎么求呢？ 这一节课我们就学习这一节课我们就学习借助计算器借助计算器来完来完成这个任务成这个任务.rldmm89898891、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：（1）我们要用到科学计算器中的）我们要用到科学计算器中的键：键：sincostan（2）按键顺序）按键顺序如果锐角恰是整数度数时，以如果锐角恰是整数度数时，以“求求sin18”为例，按键顺序如下：为例，按键顺序如下：按键顺序按键顺序 显示结果显示结果

29、sin18sin18sin180.309 016 994 sin18= 0.309 016 9940.31rldmm89898891、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：如果锐角的度数是度、分形式时，以如果锐角的度数是度、分形式时，以“求求tan3036”为例，按键顺序如下：为例，按键顺序如下：方法一：方法一：按键顺序按键顺序显示结果显示结果tan3036tan3036tan30360.591 398 351 tan3036 = 0.591 398 3510.59方法二：方法二：先转化，先转化， 3036 =30.6,后仿照后仿照 sin18的求法。的求法。如果锐角的度数是度、分、秒形式时，依照上面的如果锐角的度数是度、分、秒形式时，依照上面的方法一求解。方法一求解。rldmm8989889（3）完成引例中的求解：）完成引例中的求解：tan2042 +1.619.608 080 89 AB = 19.608 080 8919.61m即旗杆的高度是即旗杆的高度是19.61m.6 . 142tan20ABrldmm8989889练习练习:使用计算器求下列锐角的三角函数值使用计算器求下列锐角的三角函数值.（精确到（精确到0.01）（1）sin20，cos70；