人教B版高中数学必修4-1.2《单位圆与三角函数线》教学课件

1、1.2.2 单位圆与三角函数线单位圆与三角函数线 前面我们研究了前面我们研究了三角函数在各象限内的三角函数在各象限内的符号符号，学习了将任意角的三角函数，学习了将任意角的三角函数化成化成0到到360角角的三角函数的一组公式，的三角函数的一组公式， 由三角函数的定义我们知道，对于角由三角函数的定义我们知道，对于角的各种三角函数我们都是用的各种三角函数我们都是用比值比值来表示的，来表示的，或者说是用或者说是用数数来表示的，今天我们再来学习来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数正弦、余弦、正切函数的另一种的另一种表示方法表示方法几何表示法几何表示法 我们首先建立下面的坐标系：我们首先建立下面

2、的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车内，以观览车转轮中心为原点转轮中心为原点，以水平线为以水平线为x轴，以轴，以转轮半径为转轮半径为单位长单位长建立直角坐标系。建立直角坐标系。sinMPxOP设设P 点为转轮边缘上的一点点为转轮边缘上的一点,它它表示座椅的位置，记表示座椅的位置，记则由正弦函数的定义可知，则由正弦函数的定义可知，1.单位圆的概念单位圆的概念 一般地，我们把一般地，我们把半径为半径为1的圆的圆叫做叫做单位圆单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为轴的交点分别为A(1，0)，A(1

3、，0).而与而与y轴的交点分别为轴的交点分别为B(0，1)，B(0，1).2. 有向线段的概念：有向线段的概念：带有方向的线段叫有向线段带有方向的线段叫有向线段 ；有向线段的有向线段的数值数值由其长度由其长度大小大小和和方向方向来决定。来决定。 如在数轴上，如在数轴上，|OA|=3，|OB|=33OA 3OB 设任意角设任意角的顶点的顶点在原点，始边与在原点，始边与x轴的轴的正半轴重合，终边与正半轴重合，终边与单位圆相交于点单位圆相交于点P(x，y），过），过P作作x轴的垂线，轴的垂线，垂足为垂足为M； 做做PN垂直垂直y轴于点轴于点N， 则点则点M、N分别是点分别是点P在在x轴、轴、y轴上的

4、正射影轴上的正射影.3. 三角函数线三角函数线根据三角函数的定义有点根据三角函数的定义有点P的坐标为的坐标为(cos,sin)其中其中cos=OM，sin=ON. 这就是说，这就是说，角角的余弦和正弦的余弦和正弦分别等于角分别等于角的终边与单位圆的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标交点的横坐标与纵坐标. 以以A为原点建立为原点建立y轴与轴与y轴轴同向，同向，y轴与轴与角的终边角的终边(或或其反向延长线其反向延长线)相交于点相交于点T(或或T )，则，则tan=AT(或或AT ) 我们把轴上的向量我们把轴上的向量分别叫做分别叫做的的余弦线、正弦线和正切线余弦线、正弦线和正切线.,()OM ONAT

5、AT 和或例例1.分别作出分别作出 、 的正弦线、余弦线、的正弦线、余弦线、正切线。正切线。3243例例2.比较大小：比较大小：(1) sin1和和sin1.5; (2) cos1和和cos1.5; (3) tan2和和tan3.解：由三角函数线得解：由三角函数线得sin1cos1.5tan2tan3例例3. 已知已知sinx=0.5，求角，求角x的大小的大小.(0 x360)解：由在解：由在y轴上找轴上找到到y=0.5的点，做的点，做x轴的平行线，轴的平行线，交单位圆于点交单位圆于点P和和P两点，由三两点，由三角函数线知角函数线知x1=30, x2=150.例例4. 利用三角函数线证明利用三

6、角函数线证明|sin|+|cos|1.证明：在证明：在OMP中，中，OP=1，OM=|cos|, MP=ON=|sin|，因为三角形两边之和因为三角形两边之和大于第三边，所以大于第三边，所以|sin|+|cos|1。例例5. 已知已知(0， )，试证明，试证明sintan .2证明：证明：sin=|ON|=|MP|, =APtan=|AT|.又又OATOAPSS扇形所以所以1122OAOA AT即即sintan .小结：小结：1. 给定任意一个角给定任意一个角，都能在单位圆中作出它，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。的正弦线、余弦线、正切线。 2. 三角函数线的位置三角函数线的位置 ： 正弦线正弦线为从原点到为从原点到的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点在在y轴上的射影的轴上的射影的有向线段有向线段； 余弦线余弦线为从原点到为从原点到的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点在在x轴上的射影的轴上的射影的有向线段有向线段； 正切线正切线在过单位圆与在过单位圆与x轴正方向的交点的切轴正方向的交点的切线上，为有向线段线上，为有向线段AT 3. 特殊情况：特殊情况： 当角的终边在当角的终边在x轴上时，点轴上时，点P与点与点M重合，重合，点点T与点与点A重合，这时正弦线与正切线都变成重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，