最新中考数学专题-三角形全等与角平分线,垂直平分线

1、2017-201学年中考数学专题- 三角形全等与角平分线，垂直平分线A 4 个B 3 个C 4 个D 1 个第 2 页（共 38 页） 三角形全等与角平分线，垂直平分线专题3 份，共计36 分）1下列说法不正确的是（）A如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关C全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形D全等三角形的对应边相等，对应角相等2不能使两个直角三角形全等的条件是（）A斜边、直角边对应相等B两直角边对应相等C一锐角和斜边对应相等D两锐角对应相等3如图为6 个边长相等的正方形的组合图形，则1+ 2+ 3=（）A 90°

2、;B 135°C 150°D 180°4如图，在ABC中， AD 平分BAC，过B 作BEAD 于E，过E 作EFAC交AB于F，则D AF< BF5如图，ABC中，B= C= EDF=， BD=CF， BE=CD，则下列结论正确的是（）A2+A=180°B+A=90°C2+A=90°D+A=180°6如图，把一个等腰直角三角形放在间距是1 的横格纸上，三个顶点都在横格上，则此三角形的斜边长是（）A 3BC 2D 27如图，在Rt ABC中，C=90°，BAC=30°，C的平分线与ABC的外角的平分

3、线交于点，则AEB是（）8如图，在ABC中，AC=10， BC=8，AB 垂直平分线交AB 于点第 8 题图M ，交AC 于点D，则BDCA 14B 16C 18D 209已知AD 和 BE 是ABC的高，H 是 AD 与 BE或是它们的延长线的交点，BH=AC，则ABCA 45°B 135°C 60°或 120°D 45°或 135°10如图，将矩形ABCD沿 EF折叠，使点B， D重合，已知AB=3， AD=4，则 DE=DF；DF=EF；DCFDGE；EF= 上面结论正确的有（）A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个11如图，

4、在ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PRAB，PSAC，垂足分别为R、 S，若AQ=PQ， PR=PS，则这四个结论中正确的有（） PA平分BAC； AS=AR； QP AR；BRPCSPA 4 个B 3 个C 2 个D 1 个第 10 题图第 11 题图第 12 题图12如图，已知ABC中，AB=AC，BAC=90°，直角EPF的顶点P是 BC中点，两边PE、 PF分别交AB、AC于点E、F，当EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B 重合） ，给出以下四个结论： AE=CF； EPF是等腰直角三角形； 2S四边形AEPF=S ABC； BE+CF=EF 上述结论中始

5、终正确的有（）2017-201学年中考数学专题- 三角形全等与角平分线，垂直平分线题号123456789101112答案6 小题）13如图：DAE= ADE=15°， DE AB， DF AB，若AE=8，则DF等于14如图，Rt ABC中，C=90°，B=22.5 °， AB的垂直平分线交AB于 D，交BC于 E，第 19 页（共 38 页） 三角形全等与角平分线，垂直平分线专题15如图，已知点O 为 CAB 与 ACD 的平分线的交点，OE AC 于 E，若OE=2，则点O 到AB 的距离与点O 到 CD 的距离之和是16如图，ABC的两边AB和 AC的垂直平

6、分线分别交BC于 D、 E，若边BC长为5cm，则ADE的周长为cm17如图，直线l1l2l3，且l1 与l2的距离为1，l2与l3的距离为3把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A， B， C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线l2交于点D，则线段 BD 的长度为第 16 题图第 17 题图第 18 题图18 如图所示，将等腰直角三角形ABC放置到平面直角坐标系中，直角顶点C在 x轴上， 点 B在 y 轴上，反比例函数y= 图象过点A，若点B 与点 C 坐标分别为（0， 1 ）与（2， 0） ，则 k= 三解答题（19-21 每小题 8 分， 22-25每小题 9 分，

7、共计60 分）19如图，C=F，ACEF，AE=BD，求证：ABCEDF；BCDF20如图，AD 是 ABC的角平分线，DE、 DF分别是ABD和ACD的高求证： （ 1）DEF= DFE； （ 2） AD 垂直平分EF21如图：ABC中，DE是 BC边的垂直平分线，垂足为E， AD 平分 BAC且 MD AB，DN AC延长线于N求证：BM=CN22如图，已知四边形ABCD中，D= C=90°， AE平分BAD，点E是 DC的中点，且 E在 DC上 （ 1）求证：BE平分ABC； （ 2）求AEB； （ 3）求证：AD+BC=AB23如图，在ABC中，ACB=45°， A

8、D 是ABC的高，在AD 上取点E，使得DE=DB，连接 CE并延长，交边AB 于点F，连接DF （ 1 ）求证：AB=CE； （ 2）求证：BF+EF= FDBE的同侧作等边三角形ABC， DCE，24如图1，线段 BE上有一点C，以BC， CE为边分别在连接AE， BD，分别交CD， CA于 Q， P（ 1）证明：AE=BD（ 2）如图2，取 AE的中点M、 BD的中点N，连接MN，试判断三角形CMN 的形状，并说明理由25 情景阅读：如图 1， M 是正方形ABCD的 AB边上的中点，的外角CBE的平分线BH 于点H在AD 上取中点G，连接MG，易证得：MBH DGM，则可得：MD=MH

9、 建模迁移：如图2，在等边ABC中，点 M 是 BC边上的点，连接AM，过点 M 在 AM 右侧作 AMH=6° 0 ，与ACB的邻补角ACN的平分线交于点H（ 1）猜想验证：MA=MH；（ 2）初步应用：点M 在直线 BC上运动时，上述（1）中结论还成立吗？说明理由；（ 3）延伸拓展：在（2）的条件下，过H 作 HN BC，试说明CB， CM， CN之间的数量关系，直接写出结论AC于26如图，BC CA， BC=CA， DC CE， DC=CE，直线BD与 AE交于点 F，交点 G，连接CF（ 1）求证：ACEBCD；（ 2）求证：BF AE；3）请判断CFE与CAB的大小关系并说

10、明理由27如图，在ABC中，BE、 CF分别是AC、 AB 两边上的高，在BE上截取BD=AC，在 CF的延长线上截取CG=AB，连结AD AG1）求证：AD=AG；2） AD 与 AG的位置关系如何28如图，在ABC中，BD是ABC的平分线，EF垂直平分BD求证：ABD= BDF29如图，已知四边形ABCD是O 的内接四边形，连接AC、 BD，若AB=AC且ABD=60° 求证：AB=BD+CD30如图，等腰ABC中，AC=BC，BDC和ACE分别为等边三角形，AE 与 BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G求证：G为 AB的中点31 如图， 四边形 ABCD中， ABC=9

11、0°， 点 E是 AB上的点，ECD=45°， 连接ED，过 D 作 DF BC于 F， DF=BC求证：ED FC=BE2017-2018学年中考数学专题垂直平分线参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1 下列说法不正确的是（）A如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关C全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形D全等三角形的对应边相等，对应角相等【解答】 解：A如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；B图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；C全等图形的面积

12、相等，但是面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项错误，符合题意；D全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意；故选：C2不能使两个直角三角形全等的条件是（）A斜边、直角边对应相等B两直角边对应相等C一锐角和斜边对应相等D两锐角对应相等【解答】解： A、符合AAS，正确；B、符合HL，正确；C、符合ASA，正确；D、因为判定三角形全等必须有边的参与，错误故选D3如图为6 个边长相等的正方形的组合图形，则1+ 2+ 3=（【解答】 解：如图，在ABC和DEA中，ABCDEA（ SAS） ，1=4，3+4=90°，1+3=90°，又2=45°，1+2+ 3

13、=90° +45° =135° 故选B4如图，在ABC中，AD 平分BAC，过B 作BEAD 于E，过E作EFAC交 AB于 F，则（）A AF=2BF B AF=BF C AF> BF D AF< BF【解答】解： AD 平分BAC， EF AC，FAE= CAE= AEF， AF=EF， BE AD，FAE+ ABE=90°，AEF+ BEF=90°，ABE= BEF， BF=EF， AF=BF故选B5 如图， ABC中， B= C= EDF=， BD=CF， BE=CD， 则下列结论正确的是(A2+A=180°B+A

14、=90°C2+A=90°D+A=180°【解答】 解：A、正确A+ B+ C=180°，B= C=，2+ A=180° B、错误不妨设，+ A=90°，2+ A=180°， =90，这个显然与已知矛盾，°故结论不成立C、错误2+ A=180°，2+ A=90°不成立D、错误2+ A=180°，+ A=180°不成立故选A6 如图， 把一个等腰直角三角形放在间距是1 的横格纸上，三个顶点都在横格上， 则此三角形的斜边长是（A 3 BC 2 D 2【解答】 解：如图所示：作BD

15、a 于 D， CE a 于 E，则BDA=AEC=9°0，ABD+BAD=9°0，BAC=9°0，CAE+BAD=9°0，ABD=CAE，在 ABD和CAE中，ABDCAE（ AAS） ， AE=BD=1， CE=2，由勾股定理得：AB=AC=，= ， BC=故选： B7如图，在Rt ABC中，C=90°，BAC=30°，C的平分线与ABC的外角的平分线交于E点，则AEB是（）A 50° B 45° C 40° D 35°【解答】 解：E 在C的平分线上，E点到CB的距离等于E到AC的距离， E

16、 在B 的外角的平分线上，E点到CB的距离等于E到AB的距离，E点到AC的距离等于E到AB的距离， AE 是BAC的外角的平分线在RtABC中，C=90°，BAC=3°0，ABC=6°0， EB是ABC的外角的平分线，ABE=60° ，AEB=180° 60° 75° =45° 故选B8如图，在ABC中，AC=10， BC=8， AB垂直平分线交AB于点 M， 交 AC于点D，则BDC的周长为（）A 14 B 16 C 18 D 20【解答】 解：边AB的垂直平分线交AC于点D， AC=6， BC=4， AD=BD

17、， BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=10+8=18故选C9 已知AD 和 BE是ABC的高， H 是 AD与 BE或是它们的延长线的交点，BH=AC，则ABC的度数为（）A 45° B 135° C 60°或 120° D 45°或 135°第 13 页（共38 页） 三角形全等与角平分线，垂直平分线专题【解答】解：有2种情况，如图（1）, （2）, v BH=AQ Z BECADC, ZAHE=ZBHD, Z HA&ZC=90,ZHA&ZAHE=90, a Z C=ZAHE,Z C=Z

18、BHD,.HBDACAD,AD=BD.如图（1）时/ABC=45;如图（2）时/ABC=135.VHEXAC,ZC+ZEBC=90®,ZHDC=90,ZH+ZHBD=90,.ZHBD=ZEB（®,.由可得，Z C=ZH,v BH=AQ Z ADC= BDH,ZC=Z H,.HBDACAD,.AD=BD,ZABD=45,ZABC=135.故选D.10如图，将矩形ABCD沿 EF折叠，使点B， D 重合，已知AB=3， AD=4，则 DE=DF；DF=EF；DCFDGE；EF= 上面结论正确的有（）A 1 个 B 2 个C 3 个 D 4 个解；如图作EM BC于 M四边形AB

19、CD是矩形，四边形EFDG是由四边形ABEF翻折，ADC= GDF= C= G=90°， DC=DG=AB=，3 AD=BC=4EDG= CDF，在DEG和DFC中，DEGDFC故正确，DE=DF，故正确，设 DF=FB=，则xCF=4 x，在 RT DCF中，DF2=CD2+CF2， x2=（ 4 x） 2+32， x= ， DE=DF= ，四边形AEMB是矩形， AE=BM= ， ME=AB=3， MF=BC BM CF=4 （4） = ，在 RT EFM中， EF= 故正确，错误假设DF=EF，DE=DF，EF=DE=D，FDEF是等边三角形，DFE=60°，BFE=

20、 DFE= DFC=6°0，这显然不可能，假设不成立，故错误故正确的有3 个，选 C11如图，在ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PRAB，PSAC，垂足分别为R、 S，若AQ=PQ， PR=PS，则这四个结论中正确的有（） PA平分BAC；AS=AR；QP AR；BRPCSPA 4 个 B 3 个C 2 个 D1个解： （ 1） PA平分BACPR AB， PS AC， PR=PS， AP=AP，APRAPS，PAR= PAS，PA平分BAC；2）由（1）中的全等也可得AS=AR；（ 3）AQ=PR，1= APQ，PQS= 1+APQ=21，又PA平分BAC，BAC=2 1

21、，PQS= BAC， PQ AR；（ 4）PR AB， PS AC，BRP= CSP， PR=PS，BRP不一定全等与CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）故选B12如图，已知ABC中，AB=AC，BAC=90°，直角EPF的顶点P是 BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点不与A、 B 重合） ，给出以下四个结论：AE=CF；EPF是等腰直角三角形；2S四边形 AEPF=S ABC；BE+CF=EF上述结论中始终正确的有（）A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个【解答】 解：APE、CPF都是APF的余角，APE= CP

22、F， AB=AC，BAC=9°0， P是 BC中点， AP=CP，在APE和CPF中，APECPF（ ASA） ，同理可证APFBPE， AE=CF，EPF是等腰直角三角形，S四边形 AEPF= S ABC，正确；故 AE=FC， BE=AF， AF+AE> EF， BE+CF> EF，故不成立始终正确的是故选B6 小题）13如图：DAE= ADE=15°， DE AB， DF AB，若AE=8，则DF等于 4解：作DG AC，垂足为GDE AB，BAD= ADE，DAE= ADE=1°5，DAE= ADE= BAD=1°5，DEG=1

23、76;5× 2=30°，ED=AE=8，Rt DEG中， DG= DE=4，DF=DG=414如图，Rt ABC中，C=90°，B=22.5，° AB的垂直平分线交AB于 D，交 BC于 E，若CE=3，则BE= 3【解答】解：C=90°，B=22.5°， DE垂直平分AB故B= EAB=22.5°，所以AEC=4°5又C=90°，ACE为等腰三角形所以CE=AC=，3故可得AE=3 故答案为：3 15如图，已知点O 为CAB与ACD的平分线的交点，OE AC于 E，若OE=2，则点 O到 AB的距离与点

24、O到 CD的距离之和是4 解：作OG AB于 G， OH CD于 H，O 为CAB与ACD的平分线的交点，OE AC， OG AB， OH CD，OG=OE=2， OH=OE=2，OG+OH=4，O 到 AB的距离与点O 到 CD的距离之和是4，16如图，ABC的两边AB 和 AC的垂直平分线分别交BC于 D、 E，若边BC长为解： ABC的两边 AB和 AC的垂直平分线分别交BC于 D、 E， AD=BD， AE=EC，边BC长为5cm， BD+DE+EC=5cm， AD+ED+AE=5cm，故答案为：517如图，直线l1l2l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3把一块含有45&

25、#176;角的直角三角板如图所示放置，顶点A， B， C 恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为【解答】解：别过点A、B、D 作AFl3，BEl3，DGl3，ABC是等腰直角三角形， AC=BC，EBC+ BCE=9°0，BCE+ ACF=90°，ACF+ CAF=90°，EBC= ACF，BCE= CAF，在BCE与ACF中，BCEACF（ASA）CF=BE，CE=AF，l1 与 l2的距离为1，l2与l3的距离为3， CF=BE=，3 CE=AF=3+1=4，在 Rt ACF中， AF=4， CF=3， AC=5， AF l3， D

26、G l3，CDGCAF，在 Rt BCD中， CD= ， BC=5，所以 BD= 故答案为：18如图所示，将等腰直角三角形ABC放置到平面直角坐标系中，直角顶点C在x 轴上， 点 B 在 y 轴上， 反比例函数y= 图象过点A， 若点B 与点C坐标分别为（ 0，1）与（2， 0） ，则k= 6 【解答】 解：过 A点作AD x轴，作AE y轴，三角形ABC是等腰直角三角形， AC=CB，ACD+ CAD= ACD+ BCO，CAD= BCO，在ADC与COB中， ADCCOB， AD=CO=2， CD=BO=1， OD=DC+CO=3，矩形ADOE的面积是3× 2=6， k= 6三解

27、答题（共13 小题）19如图，C=F，ACEF，AE=BD，求证：ABCEDF；BCDF【解答】 证明：AE=BD， AE+EB=BD+EB，即AB=ED， AC EF，A= FED，在ABC和EDF中，ABC EDF；ABC EDF，ABC= D， BC DF20如图，AD是ABC的角平分线，DE、 DF分别是ABD和ACD的高求证： （ 1）DEF= DFE； （ 2） AD垂直平分EF【解答】 证明： （ 1）AD是 ABC的角平分线，DE AB， DF AC， DE=DF，DEF= DFE；（ 2）在Rt AED和 Rt AFD中， Rt AED Rt AFD， AE=AF，而 DE=

28、DF， AD 垂直平分EF21如图：ABC中，DE是 BC边的垂直平分线，垂足为E， AD平分BAC且 MD AB， DN AC延长线于N求证：BM=CN证明：连接BD， DC，如图： DE所在直线是BC的垂直平分线， BD=CD， AD 平分BAC，过点D 作 DM AB于点 M， DN AC交 AC的延长线于点N， DM=DN，在 Rt BMD 与 Rt CDN中， Rt BMD Rt CDN（ HL） ， BM=CN；22如图，已知四边形ABCD中，D= C=90°， AE平分BAD，点E是 DC的中点，且E在 DC上（ 1）求证：BE平分ABC；（ 2）求AEB；（ 3）求证

29、：AD+BC=AB第 37 页（共 38 页） 三角形全等与角平分线，垂直平分线专题1）证明：过E作 EF AB于 F，D=90° ， AE平分BAD，EF=DE，E 为 DC中点，DE=EC，EF=EC，EF AB，C=90°，BE平分ABC；2）解：延长AE、 BC交于点M，AD BCDAE=CME， AE 平分BAD，DAE=BAM，BAM=CME， AB=BM，在ADE和MCE中ADEMCE，AE=EM，DAE= MAE平分BAD，DAE= BAE，M= BAE，AB=BM，AE=EM，BE AM，AEB=90° ；3）证明：ADEMCE，AD=CM，AB

30、=BM， BM=BC+CM，AD+BC=AB23 如图，在ABC中， ACB=45°， AD是ABC的高，在 AD上取点E， 使得DE=DB，连接CE并延长，交边AB于点F，连接DF1）求证：AB=CE；2）求证：BF+EF= FD证明： （ 1） AD是 ABC的高，ACB=4°5，ADB= CDE=9°0，ACD是等腰直角三角形， AD=CD，在ABD和CED中，ABDCED（ SAS） ， AB=CE；（ 2）如图，在EC上截取EG=BF，ABDCED，B= CED，在BDF和EDG中，BDFEDG（ SAS） ， DF=DG，BDF= EDG，FDG= F

31、DE+ EDG= FDE+ BDF= ADB=9°0，DFG是等腰直角三角形， BF+EF=EG+EF=FG= FD，故 BF+EF= FD24如图1，线段 BE上有一点C，以BC， CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC， DCE，连接AE， BD，分别交CD， CA于 Q， P（ 1）找出图中的所有全等三角形（ 2）找出一组相等的线段，并说明理由（ 3）如图2，取AE的中点M、 BD的中点N，连接MN，试判断三角形CMN的形状，并说明理由【解答】解： （ 1） BCD ACE； BPC AQC； DPC EQC（ 2） BD=AE理由：等边三角形ABC、 DCE中，ACB=

32、ACD= DCE=6°0，BCD= ACE，在BCD和ACE中，BCDACE（ SAS） ，BD=AE（ 3）等边三角形理由：由BCDACE，1= 2， BD=AE M 是 AE的中点、N 是 BD的中点，DN=EM，又DC=CE在DCN和ECM中，DCNECM（ SAS） ，CN=CM，NCD= MCE，MCE+ DCM=6° 0 NCD+ DCM=6°0，即NCM=6° 0，又CM=CN， CMN为等边三角形25情景阅读：如图1， M 是正方形ABCD的 AB边上的中点，MD MH，且MH交正方形ABCD的外角CBE的平分线BH 于点H在AD 上取中

33、点G，连接MG，第 29 页（共38 页） 三角形全等与角平分线，垂直平分线专题易证得：MBHDGM，则可得：MD=MH建模迁移：如图2，在等边ABC中，点M 是 BC边上的点，连接AM，过点 M 在AM 右侧作AMH=60° ，与ACB的邻补角ACN的平分线交于点H（ 1）猜想验证：MA=MH；（ 2）初步应用：点M 在直线 BC上运动时，上述（1）中结论还成立吗？说明理由；（ 3）延伸拓展：在（2）的条件下，过H 作 HN BC，试说明CB， CM， CN之间的数量关系，直接写出结论【解答】 证明： （ 1）如图2，过M 点作MD AC交 AB于 D，则 BM=BD，ADM=12

34、° 0 AB=BC， AD=MC， CH是ACB外角平分线，所以ACH=6°0，MCH= ACB+ ACH=12°0，又DMC=12°0，AMH=6° 0，HMC+ AMD=6° 0又DAM+ AMD= BDM=6° 0，HMC= MAD，在ADM 和MCH中，AMDMHC（ ASA） ， MA=MH；（ 2）成立，如图3，过M 点作MD AB交 AC延长线于D， MD AB，D= BAC=6°0，ACB=6°0，DCM=6° 0，DMC=18° 0 60° 60°

35、=60°，CDM 是等边三角形， CM=MD，AMH=6° 0 ，CMD=6°0，AMH+1= CMD+1，即AMD=CMH，在AMD 和HMC中，AMDHMC， MA=MH；（ 3）由（2）证得AMNHMC， AN=CH，HDC=9°0，HCD=6°0，CHD=3°0， CH=2CD， AC=BC， CN=CM AN=AC+CN=BC+CN=CB+CM， AN=CH，2CD=CB+CM，即：CB=2CD CM26如图，BCCA，BC=CA，DCCE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点 G，连接CF（ 1）求证：ACEBC

36、D；（ 2）求证：BF AE；（ 3）请判断CFE与CAB的大小关系并说明理由【解答】证明： （ 1）BC CA， DC CE，ACB=DCE=9°0，BCD=ACE，在BCD与ACE中，ACEBCD；2）BCDACE，CBD= CAE，BGC= AGE，AFB= ACB=9°0，BF AE；（ 3）CFE= CAB，过 C 作 CH AE 于 H， CI BF于 I，BCDACE， AE=BD， S ACE=S BCD， CH=C，I CF平分BFH， BF AE，BFH=90°，CFE=45°， BC CA， BC=CA，ABC是等腰直角三角形，CAB=4°5，CFE= CAB27如图，在ABC中，BE、 CF分别是AC、 AB 两边上的高，在BE上截取BD=AC，在 CF的延长线上截