武汉大学-数学分析研究

1、个人收集整理 仅供参考学习欲索取更多考研资料，请上 北京天问教育 网站官网！武汉大学2005 年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答一、设xn满足: |xn 1 xn| |qn |xn xn 1|,|qn| r 1，证明 xn收敛.证明：(分析：压缩映像原理)1r令：m 1 r ,则显然| qn | m 1 2n|xn 1 xn| |qn |xn xn 1| m|xn xn 1|( 此即压缩映像原理证明 )以下证明压缩映像原理利用 Cauchy收敛准则，对,n p 1p1|xn p xn |xi xi 1 | (1 m . m )|xn 1 xn |in11 mp1mn1m |x2 x1 |n1

2、m |x2 x1 |1m12 / 81mln取N|x2 x1 | +1,对任意的 n Nlnm|xn p xn | 。从而知命题收敛致收敛 .、对任意 0.证明级数1n 在(1,1+)上不n0x证明：(利用反证法， Cauchy收敛准则和定义证明 . ) 如果级数收敛，那么对于 0, x (1,1 ), N, 当 n,M N时1 M N1M 1 1 1 ( x)M N 1 1 n n x 1 n n Nx x 1 1 x x只需令 x (1,min1 , n ) (1,1 ), 代入上式，矛盾从而知非一致收敛、设 f(x) 01|x y|sin ydy,求f (x)解，(本题利用莱布尼兹求导法

3、则：)b(x)F(x， ) a(x) f (x， )dxb( ) f (x， )a( ) f (x)dx f (b( )，a( )0|x y|sin ydy x1 0 (x y)sin ydy x(yFf (x) b( ) f (a( )， ) a( )x)sin ydy,x 0,1f (x)0(x y)sin ydy,x (1, )0(y x)sin ydy,x ( ,0) x1f (x)0 sin ydy x xsin ydy,x 0,1 0 sin ydy,x (1, )sin ydy,x ( ,0)2sin x,x 0,1 f (x) 0,x (1, )0,x ( ,0)四、判断级数l

4、n ln nsin n地绝对收敛性和相对收敛性n 2 ln n解：（1）绝对收敛性：（主要使用放缩法）1 首先，不难证明对于 n N,|sinn| | sin（n 1）| 2sin A 当M 足够大的时候 ,ln ln M 1lnln n ln lnn lnlnn| sinn| |sinn| |sinn| n M lnn n M lnn n M lnnAA 。显然，该级数发散。即不绝对收敛n M ln2n2（2）相对收敛性：（A-D 判别法） an收敛于 0， bn有界 an 有界， an收敛 满足上述任意一个条件anbn收敛1cos 1sinn12 sin n1 ( 积化和差 )n 2 co

5、s1 n 2cos122lim lnln n lim 1 0( L Hospital 法则)n ln n n ln n根据 Dirichlet 判别法，知该级数收敛五、计算 I(y2 z)dx (x 2yz)dy (x y2)dz ，其中为曲线从 z轴地正方向看过去， 是逆时针方向x2 y2 z2 a22 2 ,z 0,0 2b a ， x2 y2 2bx解：(利用奇偶性做)y a2 z2 sin ,代入方程得到 zzx 2b cos2 y 2bcos sin , 22 z a2 4b2 cos2dx 4bcos sin d 2yddy 2b(1 2sin 2 )d 2(x b)d8b2 co

6、s sin4bydz 2 2 2 d d a2 4b2 cos2zI (y2 z)dx (x 2yz)dy (x y2)dz2 xdy,( 利用奇偶性，第一第三个积分为0)2b2 2 (cos2 1)cos 2 d2 b2 cos2 d2d2 b242 1 cos2b1六、设 f(x)在0,1上变号 ，且为连续函数，求证： min f(x)| f (t ) | dt0,1 0证明：(画出函数图像，分两段讨论： ) 利用介值定理，取0，1，inf x| f (x) 0, 不难证明 f( ) 01(1)xmin 0, f (x)minx f (t)dt x | f (t)|dt0| f (t)|d

7、txminxmin0xminxmin1(2)xmin ，1 f (x)min min f (t)dt min| f (t ) | dt0| f (t ) | dt七、证明含参变量反常积分 sinxy dy在 ， 上一致收敛，其中 0，但是 0 x(1 y)在(0, )内不一定一致收敛 .证明：(1)0sin xyx(1 y)dy 1xsin xy M sin ydxy lim dy0 x xy M 0 x y根据定义 , 0, N1Mx| Nsin ydy| 1 M x y x Nsiny2 dy M sin ydy(x y)2 N1 2 1 2 dyx N (x y)21 M N 1 1 。

8、x MN N利用了 Cauchy-Schwarz 不等式)2) sinxy dy在0， 不一致收敛x(1 y)反证法：根据 Cauchy收敛准则， 0, N, M N,当x时M| NM sinxy dxy|Nx xyxMxN x yxM sin ydysin y xN y dy y M xxM MxN 1 M dy M 2 MN1M当M 足够大时，上式显然不成立，矛盾。故原命题成立八、在底面半径为 a，高为 h地正圆锥内作长方体，其一面与圆锥地面重合，对面 四个顶点在锥面上，求长方体地最大体积 .b5E2RGbCAP 解：首先，由于顶点所在的平面和圆锥的交线为一个圆 A，四个顶点组成在圆上 所

9、以，易知长方体的底面中点和圆锥底面的中点重合。另外，顶面的长方形对角线为圆 A的直径 d，即为定值。1S顶 sin1 d 2,当且仅当底面为正方形的时候取到12V S顶hd2h顶2 h h 1d h h 2 ha不妨设，高为 h8a2h271 2 2a dh d d h d d 3V 21d2(2a2ad h) ahd2 d2(2a d) ah(d2 d2 (2a d)3本题还可以用 Lagrange乘子法解决。但是，我觉得用初等方法也可以。 我不用 Lagrange乘子法用意是学习了高等数学不应该把初等数学方法忘记了九、设a (0，1) ， f ( x)在0, a上连续，在 (0,a), 在

10、(0，a)内可导，以及在 (0,a) 内取到最值，且满足 f(0)=0,f(a)=a. 证明：1)(0,a),使得f ( ) a ；2)(0, a),使得 f ( ) a证明： 1)命题有问题，取 a=1/2,f(x)=5x-8x 2 f(0)=0,f(1/2)=1/2 f(x)在5/16取到最值，但是f(x)-ax只在x=0,x=9/16等于0，与命题 1矛盾.2)构造函数 g(x) f (x) ax。由于f ( x)为连续函数，所以 g(x)在0,a上为连续函数，且一致连续 反证法：如果命题不正确，那么 g(x) 0,x (0,a) 根据题设，存在(0,a),使得f ( ) 0 g( )

11、a由于g( ) 0,加上一致连续的条件，存在 ,g( ) g( ) 由于 g(0) 0,利用连续性和介值定理，存在(0, ),g( ) g( )根据Rolle中值定理，得到( , ),g( ) 0 f ( ) a武汉大学 2006 年数学分析试题x2 ax b、已知： lim 3 ，求常数 a,b. x 1 1 x二、已知：1n( x 1 )n2 ，求其收敛域 .n 1 2n (2x 1)2n 2x 1三、f 在 0,1 上可导，且 f(1) 2 f (0) ，求证： (0,1) ，使得 ( 1)f ( ) f ( ).四、已知 f (x)在 0,1 上可导， f(0) 0,0 f (x) 1

12、.求证：11( f (x)dx)2f 3(x)dx.五、已知 f 在 a,b 上单调递增， f(a) a, f(b) b，求证：a,b，使得f( )六、在 过 O( 0 , A0 ) , 地( 曲 线 L: y as i n x (a 中 ， 求 出 使 得(1 y3)dx (2x y)dy 地值最小地 L七、求第二型曲面积分 I xdydz ydzdx z3dxdy ，S为椭圆 x22 y22 z22 1地 S(x2 y2 z2)2a b c外侧sinx八、求证 sinxe xydx 在 0,1 上一致收敛 .0 x y九、已知方程 x2 y cos(xy) 0(1) 研究上述方程并说明它在

13、什么时候可以在点 (0,1) 附近确定函数 y y(x)，且 y(0) 1.(2)研究函数 y y(x) 在点 (0,1)附近地可微性 .(3)研究函数 y y(x)在点 (0,1) 附近地单调性 .(4) 试问上述方程在点 (0,1) 地充分小邻域内可否确定函数 x x(y),x(1) 0 ？并说明理 由版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理 版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.p1E

14、anqFDPw用户可将本文地内容或服务用于个人学习、 研究或欣赏， 以及其 他非商业性或非盈利性用途， 但同时应遵守著作权法及其他相关法律 地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利 . 除此以外，将本 文任何内容或服务用于其他用途时， 须征得本人及相关权利人地书面 许可，并支付报酬 . DXDiTa9E3dUsers may use the contents or services of this articlefor personal study, research or appreciation, and other non-commercial or non-profit purpo

15、ses, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee. RTCrpUDGiT转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为 使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改， 并自负版权等法律责任 . 5PCzVD7HxAReproduction or quotation of the content of this article must