2018届高三应用题专项训练突破(41~60)(含答案)

1、2018届高考应用题专项突破（4144）41如图，现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为 1215x2m 的圆形草地，为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m（ 1）求x 的取值范围；（运算中2取1 4）（ 2）若中间草地的造价为a 元 /m2，四个花坛的造价为4 ax 元 /m2，其余区域的造价33为 12a元 /m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？1142如图，一块弓形薄铁片EMF，点 M 为 EF的中点，其所在圆O 的

2、半径为4 dm（圆心O 在弓形 EMF 内 ），EOF 2 将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD（不计损耗）， AD3EF，且点A、 D 在 EF上，设AOD 2（ 1）求矩形铁片ABCD 的面积 S关于 的函数关系式；（ 2）当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cos 的值第 7 页 共 21 页43甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的1倍，固定成本为a 元4（ 1）将全程运输成本y（元 ）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（

3、2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？44如图所示，把一些长度均为4 m（ PA PB 4 m）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐篷根据人们的生活体验知道：人在帐篷里的“舒适感”k 与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB 为 x， AB 边上的高PH 为 y，则kx2 y 2若 k 越大，则“舒适x y感”越好（ 1）求“舒适感”k 的取值范围；（ 2）已知 M 是线段 AB 的中点，H 在线段 AB 上，设 MH t，当人在帐篷里的“舒适感”k 达到最大值时，求y 关于自变量t 的函数解析式，并求出y 的最大值 （请说明详细理由）2018届高考应用题专项突破（4548）4

4、5几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34 元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本， 第二部分是其他固定支出20 000 元 假设该产品的月销售量t（x）（件 ）与销售价格x（元 /件 ）（x N*）之间满足如下关系： 当 34x60 时，t（x）a（x5）210 050； 当60x 70时，t（x）100x7 600设该店月利润为M（元 ），月利润月销售总额月总成本（ 1）求 M 关于销售价格x 的函数关系式；（ 2）求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格46过去的2013 年

5、，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销某品牌口罩原来每只成本为6 元，售价为 8 元，月销售5 万只（ 1）据市场调查，若售价每提高0 5 元，月销售量将相应减少0 2 万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？（ 2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x（x 9）元，并投入256（x 9）万元02作为营销策略改革费用据市场调查，每只售价每提高0 5 元，月销售量将相应减少（ x 0.28） 2万只则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润47某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是 AB

6、 BD l，B的固定装置，AB 上可滑动的点C 使3CD 垂直于底面（C 不与A、 B 重合）， 且 CD 可伸缩 （当 CD 伸缩时，装置 ABD 随之绕 D在同一平面内旋转）， 利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿DCA运送至A处，货物从 D 处至 C 处运行速度为v，从C 处至 A 处运行速度为3v为了使运送货物的时间 t 最短，需在运送前调整运输装置中DCB 的大小（ 1）当 变化时，试将货物运行的时间t 表示成 的函数（用含有v 和 l 的式子）；（ 2）当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？48从旅游景点A 到 B 有一条 100 公里的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项

7、目已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3 240 元，游轮最大时速为50 km/h，当游轮速度为10 km/h 时，燃料费用为每小时60 元，若单程票价定为150元 /人（ 1）一艘游轮单程以40 km/h 航行，所载游客为180 人，轮船公司获得的利润是多少？（ 2）如果轮船公司要获取最大利润，游轮的航速为多少？2018届高考应用题专项突破（4952）49某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O 为圆心的的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为30 m，其中大圆弧所在圆的半径为10 m设小圆弧所在圆的半径为x

8、 m，圆心角为（弧度）（ 1）求 关于 x 的函数关系式；（ 2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4 元 /米，弧线部分的装饰费用为9 元 /米设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y 关于 x的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？50如图，把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁（ 1）当高h 和宽 b 取多少时，才能使梁的截面面积取最大值？（ 2）当高h 和宽 b 取多少时，才能使梁的抗弯截面模量取最大值？并求出这个最大值 （注：矩形梁的抗弯截面模量为W 61bh2）51如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB、 AC，根据规划拟在两条

9、公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、 N（异于村庄A），要求PM PN MN 2（单位：km）如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）52一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，C、 D 在半圆上），设BOC ，木梁的体积为V（m3），表面积为S（m2）（ 1）求V 关于 的函数表达式；（ 2）求体积V 的最大值；（ 3） 当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由2018届高考应

10、用题专项突破(5356)53为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒161 个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(mg/m3)随着时间x(天 )变化的函数关系式近似为y8 x1， 0 x 4，若多次喷洒，则某一时刻15 2x， 4< x 10.空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验可知，当空气中净化剂的浓度不低于4(mg/m3)时，它才能起到净化空气的作用( 1)若一次喷洒4 个单位的净化剂，则净化空气的时间可达几天？( 2)若第一次喷洒2 个单位的净化剂，6 天后再喷洒a(1 a 4)个单位的净化剂，要使接下来的4 天中能够持续有效净化空气

11、，试求a 的最小值(精确到0 1 ，参考数据：2取 1 4)54某种树苗栽种时高度为 9A n，其中t 2 2，a bt3倍a、A(A为常数 )米，栽种n 年后的高度记为f(n)经研究发现f(n)近似地满足f(n)b 为常数，n N，f(0) A已知栽种3 年后该树木的高度为栽种时高度的31)栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的2)该树木在栽种后哪一年的增长高度最大8 倍；55如图，O 为总信号源点，A、 B、 C 是三个居民区，已知A、 B 都在 O 的正东方向上，OA 10 km， OB 20 km， C 在 O 的北偏西45°方向上，CO 5 2 km（ 1）求居民区A 与

12、 C 的距离；A、 B、 C 分别铺设三条最短分光（ 2）现要经过点O 铺设一条总光缆直线EF （E 在直线 OA 的上方），并从缆连接到总光缆EF 假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m 为常数）设AOE （0 < ），铺设三条分光缆的总费用为w（元 ）1 求 w 关于 的函数表达式；2 求 w 的最小值及此时tan 的值56某风景区在一个直径AB 为 100 m 的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）在点 A与圆弧上的一点 C 之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C 到点 B 设计为沿弧 BC 的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带（注：小路

13、及绿化带的宽度忽略不计 ）（ 1）设BAC （弧度），将绿化带总长度表示为的函数s（）；（ 2）试确定 的值，使得绿化带总长度最大2018届高考应用题专项突破（5760）57 图 1 是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2 所示的模型，其中桥塔AB、CD 与桥面 AC 垂直，通过测量得知AB 50 m， AC 50 m，当P 为 AC 中点时，BPD 45°（ 1）求 CD 的长；（ 2）试问P 在线段 AC 的何处时，BPD 达到最大每日产品废品率p 与日产量x（件 ）之间近似地58 根据统计资料，某工艺品厂的日产

14、量最多不超过20 件，满足关系式152 x，2 x2 60540 ，1 x 9， x N *，（日产品废品率10 x 20， x N*日废品量日产量100%） 已知每生产一件正品可赢利 2 千元，而生产一件废品则亏损1 千元 （该车间的日利润y日正品赢利额日废品亏损额）1）将该车间日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？59某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10 cm 的圆形包装纸包装要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示设正三棱锥的底面边长为x

15、cm，体积为V cm3在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值60如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆且古桥两端O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点A位于点 O 正北方向60 m 处， 点 C 位于点 O 正东方向170 m 处 （OC 为河岸）， tan BCO 43（ 1）求新桥BC 的长；（ 2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？第 15 页 共 21 页2018届高考应用题专项突破（416

16、0）答案41如图，现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为1215x2m 的圆形草地，为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于 10 m（ 1）求x 的取值范围；（运算中2取1 4）（ 2）若中间草地的造价为a 元 /m2，四个花坛的造价为4 ax 元 /m2，其余区域的造价33为 12a元 /m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？11x 9，解： （ 1）由题意，得100 2x 60，（4 分 ）100 2 2x 2× 15

17、x2 2× 10，x 9，解得x 20，即 9 x 15所以x的取值范围是9， 15 （7 分 ） 20 x 15，（ 2）记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得ya× × x2 4ax× x2 12a× 10 4×x2 x25331151a1 215x434x3 12x2 12× 104， （10分）令f（x）1x44x312x2，则f（x）4 x34x224x4x 1x2x6 2532525由f（x）0，解得x0（舍去 ）或x10 或x15，（12 分 ）列表如下：x9（9， 10）10（10， 15）15f（x）00

18、f（x）极小值所以当x10， y取最小值答：当x10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低 （14 分 ）42如图，一块弓形薄铁片EMF，点 M 为 EF的中点，其所在圆O 的半径为4 dm（圆心O 在弓形 EMF 内 ），2EOF 2 将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD（不计损耗）， AD3EF，且点A、 D 在 EF上，设AOD 2（ 1）求矩形铁片ABCD 的面积S关于 的函数关系式；（ 2）当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cos 的值解： （ 1）设矩形铁片的面积为S，AOM 2）（2× 4sin ） 16sin （2cos0<< 3时（如图），A

19、B4cos2，AD2×4sin，SAB× AD（4cos 1） （3分 ）AB 2× 4cos ， AD 2× 4sin ， <（如图），32故 S AB × AD 64sin cos 32sin2 综上得，矩形铁片的面积S 关于 的函数关系式为16sin （ 2cos 1），0< < 3，S（7 分 ）32sin2 ， 3 <2 .2）当0< <时，求导，得S16cos（2cos 1） sin （ 2sin）16（4cos2 cos 2）3令 S 0，得cos 33 1 （10 分 ）8记区间0， 3 内余

20、弦值等于338 1的角为 0（唯一存在）列表：（0， 0）00，3S0S增函数极大值减函数又当 3 <2时，S 32sin2 在 3 ， 2 上为单调减函数，所以当 0即cos 33 1时，矩形的面积最大（16 分 ）843甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的1倍，固定成本为a 元41）将全程运输成本y（元 ）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？1 000v解： （ 1）可变成本为14v

21、2，固定成本为a 元，所用时间为y10v0014v2a ，即y1 00041vva （4 分 ）定义域为（0， 80 （5 分 ）1 av2 4a（ 2） y 1 000 4 v2 250 · v2 ，令y0，得 v2 a（7 分 ）v（0，80， 当2a 80，即a 1 600 时， y0，y为v的减函数， 在 v 80 时， y 最小 （9 分 ）2 a<80，即 0<a<1 600 时，v（0， 2 a）2a（2 a， 80）y0y极小值a 1 600（元 ）2xy1 x2 y2，（2 分 ）在 v 2 a时，y 最小 （13 分 ）以上说明，当0<a&

22、lt;1 600（元 ）时，货车以2 a km/h 的速度行驶，全程运输成本最小；当时，货车以80 km/h 的速度行驶，全程运输成本最小（14 分 ）44如图所示，把一些长度均为4 m（ PA PB 4 m）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐篷根据人们的生活体验知道：人在帐篷里的“舒适感”k 与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB 为 x， AB 边上的高PH 为 y，则kx2 y 2若k 越大，则“舒适x2 y2感”越好（ 1）求“舒适感”k 的取值范围；（ 2）已知 M 是线段 AB 的中点，H 在线段 AB 上，设 MH t，当人在帐篷里的“舒适感”k 达到最大值时，求y 关于自

23、变量t 的函数解析式，并求出y 的最大值 （请说明详细理由）x yx2 2xy y2解： （ 1） kx2 y2x2 y2x2 y22xy，22xy 21（当且仅当xy 时，取“”号），k2（4 分 ）x yx22 xyy2>0，k>1 ， k 的取值范围是（1 ，2 （6 分 ）2）由PA PB 4及 （1）的结论，得12y t y221y t y2 412y t y2t y2 4，（8 分 ）（10 分 ）两边平方、化简得y 4240 tt22，H 与 M 重合时，t 0，当H 与 A 重合时，有PA AB y，y2y2（4y）2，y4 24，即t222， （12 分 ）y41

24、201 6 t2（0 t22 2） （13分）1641610t2 2 2，201 6t25， 2 2 2，1 201 6 t232 2，5 ， （15分 ）ymax 455，此时t 0 （16分 ）说明：若没有过程，直接求出y 的最大值得2 分45几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34 元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本， 第二部分是其他固定支出20 000 元 假设该产品的月销售量t（x）（件 ）与销售价格x（元 /件 ）（x N*）之间满足如下关系： 当34x60 时，t（x）a

25、（x5）210 050； 当60x70时，t（x）100x7 600设该店月利润为M（元 ），月利润月销售总额月总成本（ 1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（ 2）求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格解： （ 1）当x60 时，t（60）1 600，代入t（x）a（x5）210 050，解得a2（2 分 ）（2x2 20x 10 000）（x 34）20 000，*34 x<60， x N ，M（x） （100x 7 600）（x 34）20 000，60 x 76， x N* . 2x3 48x2 10 680x 360 000，*34 x<60， x N ，即

26、 M （x） 100x2 1 100x 278 400，60 x 76， x N *.（4）（注：写到上一步，不扣分）2）设g（u）（2u220u10 000）（u34）20 000，34u<60，uR，则g （u）6（u216u 1 780）令g（u）0，解得 u182 461（舍去），u282 461 （50，51）（7 分 ）当 34<u<50 时，g （u）>0， g（u）单调递增；当51<u<60 时，g （u）<0， g（u）单调递减（10 分 ）xN*，M（50） 44 000， M（51）44 226， M（x）的最大值为44 226（

27、12 分 ）当60x76 时，M（x） 100（ x2110x 2584） 20000 单调递减，故此时M（x）的最大值为M（60） 21 600 （14 分 ）综上所述，当x 51 时，月利润M（x）有最大值44 226 元 （15 分 ）答：该打印店月利润最大为44 226 元，此时产品的销售价格为51 元 /件（16 分 ）46过去的2013 年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销某品牌口罩原来每只成本为6 元，售价为 8 元，月销售5 万只（ 1）据市场调查，若售价每提高0 5 元，月销售量将相应减少0 2 万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该

28、口罩每只售价最多为多少元？（ 2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x（x 9）元，并投入256（x 9）万元作为营销策略改革费用据市场调查，每只售价每提高0 5 元，月销售量将相应减少0.2 2万只则（x8）x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润解： （ 1）设每只售价为x 元，则月销售量为（5 x0 .58× 0 2）万只，5 x0 .58× 0.2 （x 6） （8 6） × 5， （3 分 ）52x2 553x 2956 0，即2x2 53x 296 0， （4 分 ）第 17 页 共 21 页解得8 x 327，

29、（5 分 ）即每只售价最多为18 5元 （6 分 ）2.4 0.4x1234 1500.4（ x8）0.8 1844x 85x5x 8 5x 5 5（ x 8）（ 2）下月的月总利润y5x0.58×（x0.28）2（x6）256（x9）（9分 ）x 9，4 x 8 24 4， （12 分 ）5（ x 8）525 5x 8574754， （10分 ）4x 8当且仅当 ，即x 10， ymax 14， （13 分 ）5（ x 8）5答：当x 10 时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元 （14分 ）47某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是 AB BD l，B 的固定装置，AB

30、上可滑动的点C 使3CD 垂直于底面（C 不与A、 B 重合）， 且 CD 可伸缩（当 CD 伸缩时，装置 ABD 随之绕 D在同一平面内旋转）， 利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿DCA运送至A处，货物从 D 处至 C 处运行速度为v，从C 处至 A 处运行速度为3v为了使运送货物的时间 t 最短，需在运送前调整运输装置中DCB 的大小（ 1）当 变化时，试将货物运行的时间t 表示成 的函数（用含有v 和 l 的式子）；（ 2）当 t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？解： （1）在BCD 中， BCD ，B ，BDl，BClsin（120°） ， CD 3l ， （4

31、分 ）3sin2sinlsin（ 120°）AC CDAC AB BC l，则 tsin3v vl3vlsin（ 120°）3vsin2vsin（3 < <23 ） （8分）（ 2） tl 13cos 3l l 3l· 3 cos ， （10分 ）6vsin2vsin6v 6vsin3 cos1 3cos令m（），则m（）2 （12 分 ）sinsin 令m（） 0 得cos 1 ，设cos 0 1 ， 033则 3 ， 0 时， m （）<0； （0， 23 ）时，m （）>0，cos 1 时m（）有最小值22，此时BC64l（14 分

32、）38答：当BC6 4l 时货物运行时间最短（15 分 ）848从旅游景点A 到 B 有一条 100 公里的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3 240 元，游轮最大时速为50 km/h，当游轮速度为10 km/h 时，燃料费用为每小时60 元，若单程票价定为150元 /人（ 1）一艘游轮单程以40 km/h 航行，所载游客为180 人，轮船公司获得的利润是多少？（ 2）如果轮船公司要获取最大利润，游轮的航速为多少？解： 设游轮以v km/h 的速度航行，游轮单程航行的总费用为f（v）元，游轮的燃料费用每小时k·v3

33、元，依题意k· 103 60，则k 3 ， （2 分 ）50 f（v） 3v3·100 3 240·1006v2 324 000 （5分 ）50 vvv（ 1）当 v40 km/h时， f（v） 6× 402 32440000 17 700（元 ），轮船公司获得的利润是150×18017 700 9 300 元 （7 分 ）324 000 12（ v3 27 000）（ 2） f （v）12vv2v2，令f（v）0，得v30, （9 分 ）当 0<v<30 时，f（v）<0，此时f（v）单调递减；当30<v50 时，f（

34、v）>0，此时f（v）单调递增（12 分 ）第 14页 共 21 页弧线部分的装饰费用为的函数关系式，并求出4 元 /米，y，求y 关于 x10 2x解： （ 1）设扇环的圆心角为，则30 （10 x） 2（10 x），所以 x （4 分 ）10 x1（ 2）花坛的面积为2 （102 x2） （5 x）（10 x）x2 5x 50（0<x<10） （7 分 ）装饰总费用为9（10 x） 8（10 x） 170 10x， （9 分 ）所以花坛的面积与装饰总费用的比yx2 5x 50x2 5x 50170 10x10（ 17 x）（11 分 ）391令 t 17 x，则y 10

35、1032t4 130，当且仅当t 18 时取等号，此时x 1，12 11答：当x 1 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大（注：对y也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分（14 分 ）50如图，把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁（ 1）当高h 和宽 b 取多少时，才能使梁的截面面积取最大值？（ 2）当高h 和宽 b 取多少时，才能使梁的抗弯截面模量取最大值？并求出这个最大值（注：矩形梁的抗弯截面模量为W 1bh2）6解： （ 1） d2 h2 b2 2bh， （4 分 ）122 bh 2d ，当b h2 d 时，截面面积取最大值（6 分 ）（ 2）h2 b2 d2h2 d2 b2， （

36、8 分 ）1W 6b（d221232 b2） 6（d2b b3）（0<b<d）， WdW >0，当 <b<d 时，W16（d2 3b2） 16（d3b）（d3b）， （10 分 ）0<b<时，51如图，经过村庄A 有两条夹角为P，分别在两条公路边上建两个仓库W 取最大值，<0，Wmax 16× d3× 32d2 273d3 （14分 ）60°的公路AB 、 AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂M、 N（异于村庄A），要求PM PN MN 2（单位：km）如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与

37、村庄的距离最远）解： （解法 1）设 AMN ，在 AMN 中，MNAMsin60°sin（ 120°）因为MN 2，所以 AM 433sin（120°在 APM 中，cos AMP cos（60°AP2 AM2 MP2 2AM ·MP · cos AMP）（2 分 ） （6 分 ）16sin2（120° ） 4 2× 2× 4 3sin（120°3316sin2（ 60° ） 16 3sin（ 60° ）cos（ 60°3383 3sin（2 120°

38、） cos（2 120° ） 230） cos（ 60° ）（8 分 ）883）41 cos（2 120°）sin（2 120°）43320 16sin（2 150° ）， （0°，120° ） （12 分 ）33故当v 30 时，f（v）有极小值，也是最小值，f（30） 16 200， 轮船公司要获取最大利润，游轮的航速应为30 km/h （15 分 ）49某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O 为圆心的的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为30 m，其中大圆弧所在

39、圆的半径为10 m设小圆弧所在圆的半径为x m，圆心角为（弧度）1）求 关于 x 的函数关系式；2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为9 元 /米设花坛的面积与装饰总费用的比为x 为何值时，y 取得最大值？第 31 页 共 21 页2 150°270°，即 60°时，AP2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3（14 分 ）答：设计AMN 为 60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小（解法2）设 AM x， AN y， AMN 在 AMN 中，因为MN 2， MAN 60°，所以MN2AM2AN22AM·A

40、N·cosMAN，即x2y22xycos60°x2y2xy4（2 分 ）MN AN ，即 2 ysin60°sinsin60°sin所以 sin2x y4 （6 分 ）3x2 4 y2 x2（x2 xy）4 y， cos 2× 2× x 4x1cos AMP cos（ 60° ） 2cos312x y 33x 2y2 sin 2 ·4 2 · 4 y4 （8 分 ）在 AMP 中，AP2 AM2 PM2 2AM ·PM · cos AMP，即AP2x242×2× x

41、×x2yx24x（x2y）42xy（12 分 ）4因为x2y2xy4，4xyx2y22xy，即xy4所以AP212，即AP 23当且仅当x y 2 时， AP 取得最大值2 3答：设计AM AN 2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小（14 分 ）52一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O 为圆心，C、 D 在半圆上），设BOC ，木梁的体积为V（m3），表面积为S（m2）（ 1）求V 关于 的函数表达式；（ 2）求体积V 的最大值；（ 3）

42、当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由解： （ 1）梯形 ABCD 的面积SABCD2cos2 2· sin sin cossin， （0，2 ）（2 分 ）体积V（）10（sincossin）， （0，2 ）（3 分 ）（2） V（）10（2cos2cos1）10（2cos1）（cos1）令V（）0，得cos1，或cos1 （0，），cos 1 ， （5 分 ）22231当 （0，3）时，12<cos< 1，V（）>0，V（）为增函数；当 （， ）时，0<cos <， V（ ）<0，V（）为减函数（7 分 ）322 当 时，体

43、积V最大 （8 分 ）3（ 3）木梁的侧面积S侧 （AB 2BC CD） ·10 20（cos 2sin2 1）， （0， 2 ）S2SABCDS侧 2（sincos sin ）20（cos2sin21）， （0，2）（10 分 ）设g（） cos 2sin2 1， （0，2 ） 1g（）2sin222sin22，当sin22，即 3 时，g（）最大（12 分 ）又由（2）知 时， sin cos sin 取得最大值，3 时，木梁的表面积S 最大 （13 分 ）3综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大（14 分 ）53为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷

44、洒1 个单位的净化剂，空气中释放的16 1， 0 x 4，8 x浓度y（mg/m3）随着时间x（天 ）变化的函数关系式近似为y若多次喷洒，则某一时刻15 2x， 4< x 10.空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验可知，当空气中净化剂的浓度不低于4（mg/m3）时，它才能起到净化空气的作用（ 1）若一次喷洒4 个单位的净化剂，则净化空气的时间可达几天？（ 2）若第一次喷洒2 个单位的净化剂，6 天后再喷洒a（1 a 4）个单位的净化剂，要使接下来的4 天中能够持续有效净化空气，试求a 的最小值（精确到0 1 ，参考数据：2取1 4）64 4， 0 x 4，

45、解： （ 1）因为一次喷洒4 个单位的净化剂，所以浓度f（x） 4y8 x20 2x， 4< x 10.64则当0x4 时，由86 4x44，解得x0，所以此时0x4（3 分 ）当4<x10 时，由202x4 解得x8，所以此时4<x8综合得 0 x 8，若一次投放4 个单位的制剂，则有效净化时间可达8 天 （7 分 ）（ 2）设从第一次喷洒起，经x（6 x 10）天，11616a16a浓度g（x）252x a8（x6） 110x14xa （14x）14xa4（10分 ）因为 14x4， 8，而1 a 4，所以 4 a 4， 8，故当且仅当14 x 4 a时， y有最小值为8

46、 a a 4令8 aa4 4，解得24 16 2a4，所以a 的最小值为2416 21 6（14分 ）54某种树苗栽种时高度为A（A为常数）米，栽种n 年后的高度记为f（n）经研究发现f（n）近似地满足f（n） 9An，其中t272A（1t）72A（1 t）9A（1 t） 64tn× tn1 1 8（ t 1）8（ 1t） 21 t当且仅当64tntn1 1，即22（2n31）614时取等号，此时n5所以该树木栽种后第5 年的增长高度最大（14 分 ）55如图，O 为总信号源点，A、 B、 C 是三个居民区，已知A、 B 都在 O 的正东方向上，OA 10 km， 20 km， C

47、在 O 的北偏西45°方向上，CO 5 2 km（ 1）求居民区A 与 C 的距离；（ 2）现要经过点O 铺设一条总光缆直线EF （E 在直线 OA 的上方），并从缆连接到总光缆EF 假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m 为常数）设AOE （0 < ），铺设三条分光缆的总费用为w（元 ） 求 w 关于 的函数表达式； 求 w 的最小值及此时tan 的值，a、b 为常数，nN，f（0）A已知栽种3 年后该树木的高度为栽种时高度的3a bt3倍（ 1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8 倍；（ 2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大9A A，a b

48、解： （ 1）由题意知f（0） A， f（ 3）3A所以9A1 3A， a 4b解得a 1 ，b 8（4 分 ）9A29A1所以f（n）1 8×tn，其中t23令 f（n）8A，得1 8×tn8A，解得t 64，即2 2n1 ，所以n 9所以栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8 倍 （6 分 ）3649A9A9A2）由（1）知f（n）198A×tn.第n年的增长高度为 f（n）f（n1）198A×tn189×Atn1（9分 ）（12 分 ）72Atn 1（ 1 t）72Atn 1（ 1 t）72A（ 1 t）OBA、 B、 C 分别铺设三条最短分光18tn）（18tn1） 18tn1（t1）64t2n1tn1164tn8（t1）解： （ 1）以点 O 为坐标原点，OA 为 x轴