恒成立问题----不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用(例题+练习+答案)

1、不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：(1)若不等式f (x) > A在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上f (x)min A A,即f( x)的下界大于A(2)若不等式f( x) <B在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上f (x )max < B，即f (x)的上界小于B例1.设f (x) = x2 -2ax +2,当x w Ll,z )时，都有f (x)之a恒成立，求a的取值范围.例2.已知f (x ) = x +2 x*a对任意xw 1,y)，f (x )之0恒成立，试求实数a的取值范围. x3T例3. R上的

2、函数f (x)既是奇函数，又是减函数，且当日亡(0,)时，有2f (cos2 9+2msin日)+ f (-2m -2)>0恒成立，求实数 m的取值范围.例4.已知函数f (x) =ax 41n x + bx4 -c( x > 0)在x = 1处取得极值一3 c,其中a、b为常数.(1)试确定a、b的值；(2)讨论函数f (x)的单调区间；(3)若对任意x >0,不等式f (x) >-2c2恒成立，求c的取值范围.2、主参换位法例5.若不等式ax -1 <0对xw1,2 恒成立，求实数 a的取值范围.例6.若对于任意a <1,不等式x2+(a -4) x +

3、4-2a> 0恒成立，求实数 x的取值范围.其中a为实数.若不等式例 7.已知函数 f (x) = x3 -3 x2 +(a +1) x +1 , 322f'( x) > x x-a+1对任意a w (0,)都成立，求实数 x的取值范围.3、分离参数法(1)将参数与变量分离，即化为g(X) > f (x)(或g(2J < f (x)恒成立的形式;(2)求f (x)在xw D上的最大(或最小)值；(3)解不等式g(九)之f ( x)max(或g(九)4 f (x)min),得九的取值范围.适用题型：(1)参数与变量能分离；(2)函数的最值易求出。例8.当xw(1,

4、2)时，不等式x2 + mx + 4 < 0恒成立，求m的取值范围.132例9.已知函数f (x )= ax +bx +x +3,其中a o 0 . 3(1)当a、b满足什么条件时，f( x)取得极值？(2)已知a a 0 ,且f (x)在区间(0,1 上单调递增,试用a表示出b的取值范围4、数形结合例10.若对任意xwR ,不等式x岂ax恒成立，则实数a的取值范围是 .例11.当x w (1,2)时，不等式(x 1)2 <logax恒成立，求a的取值范围.二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D上存在实数x使不等式f (x) aA成立，则等价于在区间 D上f (x )max aA

5、；若在区间D上存在实数x使不等式f (x) < B成立，则等价于在区间 D上的f (x)min < B .例12.已知不等式 x -4 + x -3 <a在实数集R上的解集不是空集，求实数 a的取值范围.例13.若关于x的不等式x2 -ax-a < -3的解集不是空集，求实数 a的取值范围.12例14.已知函数f( x)=ln x - ax -2 x (a # 0 )存在单倜递减区间，求 a的取值范围. 2三、不等式恰好成立问题的处理方法一2.1 c1111.例15.不等式ax + bx +1 > 0的解集为1x -1 <x< tjab =I3Jx 2

6、 x a .例16.已知f(x)=当xw 1,收)，f (x)的值域是0,+x),试求实数a的值.x232._例17.已知两函数 f (x)=8x +16x k, g(x) = 2x+5x +4x ,其中k为实数.(1)对任意xw 3,3，都有f (x) < g( x)成立，求k的取值范围；(2)存在xw13,3，使f (x) < g( x)成立，求k的取值范围；(3)对任意x1,x2 w 13,3，都有f (x1) < g(x2),求k的取值范围.不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习1.若不等式(m +1) x2 (m 1)x +3(m -1) <0对任意实数x恒

7、成立，求实数 m取值范围.,2kx - kx 一 62.已知不等式kx2一kx6 >2对任意的xwR恒成立，求实数 k的取值范围.x x 23 .设函数f (x) = x3 -9 x2 + 6x -a .对于任意实数 x, f '(x)之m恒成立，求 m的最大 2值.4 .对于满足a £2的所有实数a，求使不等式x2 +ax +1 > a +2x恒成立的x的取值范围.5 .已知不等式x2 -2x+a >0对任意实数xw 2,31亘成立，求实数a的取值范围.6 .对任意的aw 12,2，函数f(x) = x2 +(a 4)x + 4 2a的值总是正数，求 x的

8、取值范围.217 .右不等式x -logm x <0在(0,一)内恒成立，则实数 m的取值范围28 .不等式ax £ Jx(4 - x)在xw 0,3】内恒成立，求实数 a的取值范围.29 .不等式kx +k 2 <0有解，求k的取值范围.10 .对于不等式 x -2 +|x +1| <a,存在实数x,使此不等式成立的实数a的集合是M ；对于任意xw 0,5 ,使此不等式恒成立的实数a的集合为N ,求集合M , N .11 .对一切实数 x,不等式x-3 -x +2 a a恒成立，求实数a的范围.若不等式 x-3 - x +2 >a有解，求实数a的范围.若方程

9、x-3 - x +2 =a有解，求实数a的范围.2212 .右x,y满足万程x +(y-1) =1,不等式x + y + c之0恒成立，求实数 c的范围.若x, y满足方程x2+(y -1)2=1, x + y + c = 0 ,求实数c的范围.13 .设函数 f(X)= X4 +ax3 +2x2 +b, ( x W R ),其中 a,bw R .若对于任意的 aw L2,2】,不等式f (x) <1在xw Ll,1上恒成立，求b的取值范围.1 ，14.设函数 f (x) = - x3 -(1 +a)x2 +4ax +24a，其中常数 a >1 ,若当 x 占0 时，f (x) &

10、gt; 0 3恒成立，求a的取值范围.15-已知向量a =(x2, x +1), b = (1 - x,t)。若函数f (x) = a b在区间(一1,1)上是增函数,求t的取值范围.不等式恒成立、能成立、恰成立问题参考答案例1、解：a的取值范围为-3 , 1例2、解：等价于（x Ax? +2x +a >0对任意x三1,+“ ）恒成立，又等价于X之1时，平a）的最小值之0成立.由于巴x)=(x+1 2 +a1 在 1，收）上为增函数，则平min (x )=巴 1 )= a +3,所以 a +3 之 0， a >-3例 3、解：由"cos2 十2msinH " f

11、 (2m 2 )>0得到:睦0s2 8+2msir82m-2)因为 f(x )为奇函数,故有 f (cos2 9 +2msin8 卜 f (2m+2)恒成立,又因为f（x）为R减函数，从而有cos28+2msin9<2m+2对4g(t)'（0,5恒成立设sin 8 =t ,贝u t2 2mt +2m +1 >0对于 t 三(0，1)恒成立, 2在设函数g（t）=t -2mt+2m+1,对称轴为1一.当 t = m <0 时 g(0 )=2m + 1 之011cm -一-_m：0即 2 ,又m<0，2(如图1)当t =m三0,1 ,即0 Wm W1时， =4

12、m2 4m(2m + 1)<0,即 m2 -2m-1 <0,. 1 -亚 <m<1+8,又 M 0,1 1,.O 4m «1(如图 2)当 t =m >1 时，g(1)=1 -2m + 2m+1 = 2 a0恒成立. m >1(如图 3)m-1故由可知：2例4、解：（1） （2）略（3）由（2）知，f（x）在x = 1处取得极小值f=-3一 c ,此极小2人、oo值也是最小值.要彳fl f(x) - -2c (x > 0)恒成立，只需_3 _c之2c.即2c - c -3 > 0 ?33c -(_：:_ 1 - ：-)从而(2c-3)(

13、c+1)至0.解得 2或CM.二c的取值范围为(2.1a 二：例 5、解： 2 例 6、解：”(-oO,1)<J(3,+/)22例7、解析：由题设知“ax -3x (a +1)>x -x-a 1对V ”(0，切都成立，即,2222a(x +2)x -2x>0对 va = (0,十a)都成立。设 g(a) = (x +2)a x 2x(aR), 则g(a)是一个以a为自变量的一次函数。:x2+2a0恒成立，则对V xWR, 9(3为上 的单调递增函数。 所以V a三(0, g(a) >0恒成立的充分必要条件是g(0) -0 ,-x2-2x>0,-2<x<

14、0,于是 x 的取值范围是x|一2MxM0。22x 4x 442m : f (x)=二 x 一例8、解析：当x-(1，2)时，由x +mx+4<0得x .令x x ,x2 4(一) mn -5则易知f(x)在(1,2)上是减函数，所以x = 1,2时f (x)max= f(1) = 5,则 xm - -52例9、解析：(1)abf(x)在区间(0,1上单调递增u f (x) = ax2bx 1>0在(o,1x (0,1上恒成立仁b"ax_2x,xw(0,1恒成立仁(一拳一击)21 a(x -)/、 ax 1a 1ag(x)二- g (x)二一一 一r 二 O3-设2 2x

15、,2 2x22x2,11x= x= 令g(x)-0得4a或0a (舍去)，0：二1 x (0,)g(x) = -ax -当a>1时， a ，当va时g(x)A0,2 2x单调增函数;当"(5,1时g(x)<。，g(x)=ax2b单调减函数，g( x) maxg喘)=-"- b >-Ja rVO1 _1当0 <a W1时，Ja,此时，-g(x)二 -0g (x) -0在区间(0，1恒成立，所以2 2x在区间(0,1上单调递增,g(x)maxa 1g(1)=-2 ,例12、解：a >113、第二个填空是不等式能成立的问题.设f(x)=x ax a.

16、则关于x的不等式-ax -a W 3的解集不是空集仁 f(x)«3在(f")上能成立 U fmin(x)«-3工4a a2 , cf min x = 一 - 一 -3，4解得a<6或a2b = 2时,h(x) = ln x - 1 ax14、解：21-2x h(x)=ax-2 ,则x2_.ax 2x-1因为函数 h(x)存在单调递减区间，所以h'(x) <0有解.由题设可知，h(x)的定义域是0,二而h'(x)<0在(Qf ”有解 ,就等价于1a -r h(x)<0在区间(°，“)能成立，即 xXi0，"

17、)成立进而等价于a > umin (x)成立，其中12u x 2xx.乙、221 J /=_1 I _ 1x<x 得，Umin(X)= 一1.于是，a A T，由题设a # 0，所以a的取值范围是(一1，0(0户)例15、解：6例16、解：是一个恰成立问题，这相当于2x 2x af x = 0x的解集是x 1，二f x 二当a20时，由于x之1时，2x 2x ax - 2 _ 3x ,与其值域是°，+go W 盾，2-£ x 2x af x 二当a < 0时，xa2是1，收)上的增函数，所以，f(x)的最小值为f(1),令 f(1) = 0，即 1+a+2

18、=0,a = 3.例 17、解析：(1)设 h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k,问题转化为 x 三-3,3时,h(x) >0恒成立，故 h min (x) >0.令 h' (x)=6x2 -6x-12=0，得 x= -1 或 2。由 h(-1)=7+k , h(2)=-20+k , h(-3)=k-45,h(3)=k-9 ,故 hmin (x)=-45+k ,由 k- 45>0,得 245.(2)据题意：存在 xW-3 , 3,使f(x)Wg(x)成立，即为：h(x)=g(x)- f(x) >0 在 xe -3 ,3有解，故 hmax (x

19、) >0,由(1)知h max(x) =k+7,于是得 k>-7 o(3)它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意都有f (x1)Wg(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同, 具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：x1 , x2的取值在-3 , 3上fmax(x) E gmin (x)?&匚-3?由 g，(x)=6x2+10x+4=02得x=- 3或-1 ,易得gmin (x) =g(-3) =-21 ,又 f(x)=8(x+1)2-8-k, xW-3?Bfmax(x)= f (3)=120 k.令120-k<-21 , 专项练

20、习：得 2141。(一二1、解：13112、解：2，10)'2'23、解析：f (x) =3x 9x+6，:对 v x = R, f (x) > m,即 3x -9x + (6-m)>0 在xWR上恒成立，二=8172(6-m)E0，得ms-34 ,即m的最大值为 4 。4、解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0, 设 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1, 故有：则f(p)在-2,2上恒大于0,'f (-2) A0J (2) > 即2 2x2x一 4x 3 0-1>0解得:5、解：a 0解：X -(-二，0) 一.8、解：画出两

21、个曲数y=ax和y = Jx(4 - x)在xe 0,33a = 丁上的图象如图知当x=3时y = 寸3,3a, 3当 3x三0，3时总有ax三V x(4 -刈所以a3二 39 、 解：2-不等式kx +k -2 <0有解=,22 . d 。 ：一 k ：.2.k(x + 14吊解x +1有解2。:二 k :二2= 2<x +1/m a x ,所以 k 弋(-°0 ,2) o-2x 1(x ：二1),f(x) = x2 +x+1 =«3(1< x< 2), I10、解：由2x-1(x>2).又aAf(x)有解 u a> f (x)min = 3所以 M = a>a3令 g(x) =x 2 I ”1+ x,尸 5a 福源 rU a >g(x)max =g(5) = 9 所以 N =a a>911、解： a<5 a <5 aw 5,5 12、解： c 2 42 1 c T *21+行 13、解：f (x) =4x3 +3ax2 + 4x =X(4X2 +3ax +4)由条件 a 三一22 可知 =9a2 64 <0 ,从而 4x2 +3ax+4 A。恒成立.当 x<0 时，f'(x)<0；当 x>0 时，