导数——切线方程与单调性

1、导数一一切线与单调性姓名：学号：得分:1 .若直线y =kx +b是曲线y =ln x + 2的切线,也是曲线y =ln(x +1)的切线,则b 二()A. -1 -ln 2 B.-1 +ln 2C. 1+ln 2 D. 1 -ln 22 .已知直线丫=2*1与曲线丫 =m(乂 + 2)相切，贝12的值为3 .已知曲线y =x2,(1)求曲线在点P(1,1 )处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5 )的切线方程.4 .已知函数f(x)=x3+mx, g(x) = X2 + n.若曲线y= f(x)与曲线y = g(x)在它们 的交点处的公共切线为y=2x+c,求m,n, C勺值ex15 .已

2、知函数 f (x)=二ax(a w R ).2ex一 3 (1)当a =a时，求函数f(x )的单调区间；(2)若函数f(x )在-1,1上为单调函数，求实数a的取值范围.6 .已知函数 f (x)=exsinxax(1)当a =0时，求曲线y = f(x)在(0, f(0)处的切线方程; 当a W0时，判断f(x)在0,包上的单调性，并说明理由；47 .已知函数 f(x)=lnx+ax, awR.讨论函数f(x)的单调性;8 .已知函数f(x) = lnx-ax2 -2x.若函数f(x)在xw J,21内单调递减，求实数a_4的取值范围；9 .已知函数f (x)=xex.讨论函数g(x) =

3、 af (x )+ex的单调性1.D2.11n 2解析:3 f- -,r2 + 1 （；e li） , Q 二”答案：1.当=1 时，/-2 J 3 = 3e - 3.r ,尸二6.所以曲线y =在点2）处的切线方程为V 一胃= 一 :）即1., _ £2.解：/'（工）=-3t = 3富（g 1）.令（工）=O,解得工=o或'=£. 以下分两种情况讨论：11解不等式组得n 0若Q. > 2,则 若。<以42则口 一 2,当牙变化时，/（£）J（工）的变化情况如下表：-极大值J / （-1） > 0 J zf>0 时/>

4、;口等价于1京）>。，即1 V >°. 5 < 小 < 5 .因此 o <d <2.J r 1仃 2 .当工变化时，/（）,/（I）的变化情况如下表:d0, 1+-+f (1) / 极大 极小 /,值值丁-"I 审彳。当 2 2J时，/a 0等价于I /匕)>。即I 1 一邛)。 72.1/2解不等式组得2或 2 .因此2<fF；L综合和,可知1的取值范围为“< 小 <"4.答案：1.设它们的公共交点的横坐标为 小,则x03 +mx0 = x02 + n =2x0 +c (*) , f (x) = x3

5、+ mx贝J f '(x) = 3x2 + m, 2 = 3x02 +m;g(x) = x2 +n ,贝U g '(x) = -2x , 2 = 2x0.由得 x0 = T ,由得 m = -1.将x0 = -1, m = T 代入(*)得 n -1 = -2 + c = 0 , n =1 , c = 23221,2.由 f (x) <g (x)，得 x 十 mx c x +1 ,即 m a x x 十一对 xw (-,0)恒成立,令 x21 ,、h(x) - -x -x (x (-二，0), x则 h'(x);-1-2x -4: -2-1 . .一1)=(x f

6、 x - 1), xxxx其中-2x2 +x-1<0对xw(-co,0)恒成立，. h(x)在(,-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减 h(x)max = h(-1) = -1, . . m>-1. h(x)故m的取值范围是(-1,y)解析：225.答案：1.设切点为(比，y(), < y1x = x0:她)"0一222xo2x0 x x -xo= lim = 2x0x)0x y'M=2. .曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1 = 2(x-1),即y =2x-1.2.点P(3,5/在曲线y=x2上，设切点为(x0,y。)由 1知，y'|x

7、 =x0 =2x°, .切线方程为 y-y0 =2x°(x-% ),由P(3,5除所求直线上得5-y0 =2x0(3-x0 )再由A(x0,y0 )在曲线y =x2上得y0 =x02联立,得，x0 =1或x0 =5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2,此时切线方程为y -1=2(x-1),即y = 2x-1,当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2=2x0=10,止匕时切线方程为y 25=10(x5)，即y = 10x25.综上所述，过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为y = 2x-1或 y =10x -

8、25.解析：6.12f' x = 27 ex -3ex 2x2eex-1 e令即令令f 'x=0x = 0f 'x 0f ' x ：二 0x :二 0则或x = ln 2或ex =20 :二 x < In 2f (x)的增区间是 S0 1in2,+泗区间是(0,ln2)2.一 ex 1f x 二万 / -aex =t由,1t ,eex 1-1 1h(t+；上加严，t2 -22t2当 tw F，V2时，.eh' t :二 0,函数h(t)为单调时，h' t 0 ,函数h(t )为单1-e,ee 111h ehe2 ee2e丁.1. 2 - h

9、 t -e y-1,1】上 为1-1 ,上1 单t _e，e函 数t 1a -2 t在 1-1,11t iea-e 2e综上可得a的取值范围是e 2e, ：7.答案：1.当 a=0时，f(x)=exsinx,f'(x) =3(sinx cosx) x R.行f '(0)=1.又f(0) =e0 sin0=Q所以曲线y = f(x)在(0,f(0)放t的切线方程为y =x.2.方法 1：因为 f(x =exsinx-ax,所以f'(x) =3(sinx cosx) - a . = , 2ex sin( x+-) - a因为x虻0,史,所以4所以、,2exsin(x ) _

10、 0 .4所以当a W0时，f '(x)之0,所以f (x)在区间0,竺单调递增.4方法 2：因为 f(x =exsinx-ax,所以f '(x)=ex(sinx cosx) - a.令 g(x) = f '(x),贝U g'(x) =ex(sinx cosx) ex(cos<-sinx) =2excosx,3当 a W0时，g(0) =1 _a >0, g(n) = a 20.4所以xw0,包时，g(x)至0,即f '(x)20 ,4所以f (x)在区间0,竺单调递增.43.方法1:由2可知，当aE0时，f(x)在区间0,%单调递增,4所以

11、 x 虻0, 3、时，f (x)之 f (0) =0.4当 0 <a <1 时，设 g(x) = f '(x),贝ij g'(x) = ex(sinx+cosx)+ex(cos(-sin>0 =2excosx,3 二因为 f '(0) =1 - a . 0, f'()=a :二 0 ,4所以存在唯一的实数x0 (?,3r),使得 f '(%) = 0,且当 x(0,x0)时，f '(x) >0 ,3 二当”仇彳时，f'(x)<0, 所以f (x)在h%上单调递增，f (x)在x0,包上单调递减.-3 e2-3

12、2220,4又 f(0)=。，f(三)=二二一三a e 424所以当0 <a <1时，对于任意的x0, f(x)>0.4综上所述，当a <1时，对任意的x0,更，均有f (x) >0.4方法2:由(H)可知，当a W0时，f (x)在区间0,31单调递增,43-所以 x 虻0, 时,f (x)之 f (0) = 0 .4当0<a<1时，由(R)可知，f'(x)在0,卞上单调递增，在g,引上单调递减，因为3 二f '(0) =1 - a .0, f '()-a :二 0 ,4所以存在唯一的实数*05土,匣)，使得1()=0,2 4

13、且当内外时，f'(x)>0,当xw(x0，包时，f'(x)<0,4所以f (x)在10,%上单调递增，f (x)在x0,3n上单调递减.43二、34：2 3二 字.2 .e2 -3<2 nf (0) = 0, f ()= e- - a> e 30,42422所以当0 <a <1时，对于任意的x0, , f (x) >0.4综上所述，当a <1时，对任意的xw0,忸，均有f(x)>0.4解析：18.答案：1. f (x)的定义域为(0,+8),f，(x尸?-+& .x当a之0时，f'(x)>0, f (x

14、)在(0,也)上单调递增；由(x)=?1+&<0 得：x >，二 f (x )在 i-?1 xaa上单调递减.当 a <0 时，由 f (x产?1+?a>0 得：0<x<-1 ,二 f (x)在 I0,-?1 j 上单调递增； xaa+二2.由题意可知：lnx,+ax,=0, lnx2+ax2=0 ，相减得：In x2-ln x1 = a(x1 -x2),(x -x2)f (x x2) =(x1 -x2) (1 a)= xx2 a(x1 -x2) xx2x x21-x2.x1 -x21n 迄=. Inx2X x2X 1.0x1X令 x2 = t 至

15、e2, *(t) ="+lnt,得：a= t +1 >0, x11 t(1 t)2t:即:原不等22小在e2,)上单调递增，. Wt)之We2)=1 +2一> 1 +-e 131式成立.解析：29.答案：1. f'(x)=1-2ax-2 = -2ax 2x 1xx由题意f'(x)三0在xW p,2 I时恒成立，即2a之上彳”= (1-1)2-1 _4x x在 xw |1,2 I 时恒成立，即 2a 之d1) -1max, 4x112当*=时，(_1)2_1取最大值8, 4x实数a的取值范围是a之4.1_ .11 2 3. 一2.当 a =-一 时，f(x)

16、=- x+b可变形为一x - x + lnx b = 04242令 g (x) =1 x2 - x +ln x -b(x > 0),贝U g '(x) = (x _2)(x 1422x列表如下：x1(1,2)2(2,4)4g'(x)0+g(x)七一54极小值E21n 2-b-2一 ，-5.g(x)极小值=g(2) =ln2-b-2, g(1) = b5,又 g(4)=2ln 2-b-2, 4方程g(x) =0在1,4 上恰有两个不相等的实数根，g(1)-0一一一一 5.g(2) <0 得 ln22 <b <.4g(4) -0解析：10.答案：1.由题意，

17、知 g(x ) = af (x )+ex = axex+ex ,g'(x)=(ax + a + 1)ex若a=0时，g'(x)>0, g'(x »0在R上包成立，所以函数g(x)在R上单调递增；a 1 . a 1 .若a >0时，当x>-时，g'(x)>0,函数g(x )单调递增，当xc 时, aaa 1 一 .，g'(x )<0 ,函数g (x )单调递减;右a<0时，当xa- 时，g'(x)<0,函数 aa 1 ,g(x评调递减；当x-时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增.综上，右a = 0时,ag(x准R上单调递增 ;若a > 0时，函数g (x)在1-°°,-1 I内单调递减，在区间a匚5,代|内单调递增；当2 <0时，函数g(x)在区间(。j内单调递增，a. a在区间-包-二，.二 a2.由题可知，原命题等价于方程xex =x + 2在乂乏Im,m + 1上有解