一元二次方程--(思维导图+资料)

1、学习必备欢迎下载2 a- b) =1）22 ) (x 5)1 2 3 4 1321 ) x 4x 4 162）2x2 10x 25 4 13三、学习过程22问题 1、 请你思考方程 (x 3) 5 与 x 6x 4 0 有什么关系，如何解方程2 x2 6x 4 0 呢？问题 2、能否将方程 x2 6x 4 0转化为( x m) 2 n的形式呢？2 由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为( xm) = n 的形式(其中 m、 n 都是常数)，如果 n 0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法 。21) x2 4x30.22) x23x1 = 0四、知识梳理问题 1

2、：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？问题 2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？达标检测一1、填空：2 2 2 2( 1)x2+6x+=(x+ )2； (2)x 2-2x+=(x- )2；(3)x 2-5x+=(x-)2； (4)x2+x+=(x+)2；22(5)x +px+ =(x+ ) ；222、将方程 x2+2x-3=0 化为 (x+m) 2=n 的形式为；3 、用配方法解方程x2+4x-2=0 时，第一步是，第二步是 ，第三步是 ，解是。21、用配方法解一元二次方程 x2+8x+7=0 ，则方程可变形为( ) 22A. (x-4) =9B.(x+4) =922C

3、.(x-8) 2=16D.(x+8) 2=572 5 2 62、已知方程 x2-5x+q=0 可以配方成 (x-)2= 的形式，则 q 的值为( )246251919A. B. C. D. -4444223、已知方程 x2-6x+q=0 可以配方成 (x-p )2=7 的形式，那么 q 的值是( )A.9 B.74、用配方法解下列方程：2（ 1） x 2-4x=5 ；2（ 3） x 2+8x+9=0 ；C.2 D.-22(2)x2-100x-101=0；4)y2+2 2 y-4=0 ；5、试用配方法证明：代数式x2+3x- 3 的值不小于 -15 。241、用配方法解下列方程：2（1）x 2-

4、6x-16=0 ；2(2)x 2+3x-2=0 ；2 5 22、请你思考方程 x2- x+1=0 与方程 2x2-5x+2=0 有什么关系？2三、学习内容问题 1、如何解方程 2x2-5x+2=0？3x2 8x 1 0-3x2 4x 1 0四、知识梳理问题 1：对于二次项系数不为 1 的一元二次方程，用配方法求解时要注意什么？ 问题 2、：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 系数化一，移项，配方，开方，解一元二次方程1、填空：21(1)x - x+32=(x- )2,2(2)2x -3x+=2(x-).2、用配方法解一元二次方程2x2-5x-8=0 的步骤中第一 步是23、方程 2(x+4)

5、 2-10=0 的根是.24、用配方法解方程 2x2-4x+3=0 ，配方正确的是( )22A.2x 2-4x+4=3+4B. 2x 2-4x+4=-3+423C.x -2x+1= +125、用配方法解下列方程：D. x 2-2x+1=- 3 +121) 2t2 7t 4 0 ；22) 3x2 1 6x1、用配方法解下列方程，配方错误的是（2 2 2 7 2 65 A.x 2+2x-99=0 化为 (x+1) 2=100B.t2-7t-4=0 化为 (t- )2=242 2 2 2 2 10 C.x 2+8x+9=0 化为(x+4) 2=25D.3x 2-4x-2=0 化为 (x- )2=39

6、2 2 2 22、a2+b2+2a-4b+5=(a+)2+(b-)22、用配方法解下列方程： 22(1)2x2+1=3x ；(2)3y 2-y-2=0 ；2 23 2 23、试用配方法证明： 2x2-x+3 的值不小于 .4、已知 (a+b)2=17， ab=3.求(a-b)28的值.一、知识目标1、会用公式法解一元二次方程2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b24ac03、在公式的推导过程中培养学生的符号感 重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程 难点： 求根公式的结构比较复杂，不易记忆； 系数和常数为负数时，代入求根公式常出符

7、号 错误二、知识准备1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？2、用配方法解下例方程22) 2x2 4x 5 0(1) 2x2 7x 2 0三、学习内容问题 1：如何解一般形式的一元二次方程ax2 bx c = 0(a0)？回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识： bc因为 a 0 ，方程两边都除以 a ，得x2x 0移项，得aa2 b c xx aa配方，得2 b b 2 c b 2 x 2 x ( ) ( ) 2a 2a a 2a即b 2 b2 4ac (x ) 2 2a 4a2问题 2、为什么在得出求根公式时有限制条件b 2 21、把方程 4-x =3x

8、化为 ax +bx+c=0(a 形0)式为，b -4ac= 2 4ac0？b2 4ac当 b2 4ac 0，且 a 0时， b 2、方程 x2+x-1=0 的根是。2ac 大于等于零吗？4a2让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当b2 4ac 0时，因为 a 0，所以 4a2 0，从而 b2 42ac 04a2到此，你能得出什么结论？让学生讨论、交流，从中得出结论，当2b2 4ac 0 时，一般形式的一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0) 的根为 x b2ab2 4ac bb2 4ac，即 x 。 2a2a由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 bx c 0 ( a 0) 的求根公

9、式：x b b 4 ac ( b2 4ac 0 ) 2aa、这个公式说明方程的根是由方程的系数由一元二次方程中系数b 、 c 所确定的， 利用这个公式， 我们可以 a、b 、c的值，直接求得方程的解， 这种解方程的方法叫做公式法。例 6 解下列方程：2 x23x2 = 02 2 x27x = 43、用公式法解方程2 x2+4 3 x=2,其中求的2b2-4ac 的值是(四、知识梳理 引导学生总结： 1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。3、若解一个一元二次方程时， b2 4ac< 0，请说明这个方程解的情况。五、达标检测达标检测一A

10、.16 B. 4 C. 32 D.644、用公式法解方程 x2=-8x-15 ，其中 b2-4ac=，方程的根是 .25、用公式法解方程 3x2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ）12 144 12A.x 1.2=212 144 12B. x 1.2=212 144 12C. x1.2=212 144 48D. x1.2=6达标检测二2 2 21、把方程 (2x-1)(x+3)=x 2+1 化为 ax2 + bx + c = 0 的形式， b2-4ac=，方程的根是.22、方程 x 4x 0的解为3、方程 (x-1)(x-3)=2 的根是( )A. x 1=1,x2=3B.x=2 2 3

11、 C.x=2 3 D.x=-2 2 34、已知 y=x 2-2x-3 ，当 x= 时，y 的值是 -35、用公式法解下列方程：22(1)x2-2x-8=0；(2)x2+2x-4=0 ；3) 2x2-3x-2=0；4) 3x(3x-2)+1=0.4、 已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程 x2 10x 24 0 的一个根，求这个三角形的周长。b2 4ac 对根的情况的判断作用一、学习目标1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式2、能用 b2 4ac 的值判别一元二次方程根的情况3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程 重点：一元二次方程根与系数的关系 难点：由一元二次方程的根

12、的情况求方程中字母系数的取值 一、 知识准备1、 一元二次方程 ax bxc = 0（ a 0）当 b2 4ac 0时， X1,2 =2、 解下例方程：（1）x2 -4x+4=0（2） 2x2 -3x -4=0 （3） x2+3x+5=0 三、学习内容1、情境创设1、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ x22x8 = 0 x2 = 4x 4 x23x = 32、探索活动1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关 吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？例 解下列方程：2 2 2 x2x1 = 0 x22 3 x3 = 0 2 x22x

13、1 = 0分析：本题三个方程的解法都是用公式法来解，由公式法解一元二次方程的过程中先求出 b24ac 的值可以发现它的符号决定着方程的解。3、你能得出什么结论？ 由此可以发现一元二次方程 ax2 bx c = 0（a0）的根的情况可由 b2 4ac来判定： 2 当 b24ac>0 时，方程有 当 b2 4ac = 0 时，方程有2当 b2 4ac < 0 时，方程 我们把 b2 4ac叫做一元二次方程 ax2 bx c = 0（a0）的根的判别式。4、若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到的值的符号呢？ 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2 4ac当一元二次方程有两个相

14、等的实数根时，b2 4ac当一元二次方程没有实数根时， b2 4ac 例题教学不解方程，判断下列方程根的情况：221、 2x2 x 6 0； 2、 x2 4x 2 ；3 、 4x2 1 3x四、知识梳理请同学们议一议一元二次方程根与系数的关系五、达标检测达标检测一1、方程 3x2+2=4x 的判别式 b2-4ac=，所以方程的根的情况是2、一元二次方程 x2-4x+4=0 的根的情况是（ ）A. 有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 不能确定3 下列方程中，没有实数根的方程式（）22A.x 2=9B.4x 2=3（4x-1）2C.x（x+1）=1D.2y 2+6y+7=

15、04、方程 ax2+bx+c=0（a 有0）实数根，那么总成立的式子是（ 22A.b -4ac> 0B. b -4ac< 022C. b -4ac 0D. b -4ac 0k=25、如果方程 9x2-（k+6）x+k+1=0 有两个相等的实数根，那么达标检测二1、方程 （2x+1）（9x+8）=1 的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定2、关于 x 的一元二次方程 的根的情况是 （ ）A 有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D 无法确定 3、关于 x的方程 x2+2 k x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k（ ）A.k>-1B.k -1 C.k>1D.k04、已知方程 x2-mx+n=0 有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m， n 的值可以是m= ,n= .5、若方程 kx2 6x 1 0有实数根，则 k 的范围是 6、若关于 x的一元二次方程 mx2 2x 1 0 有两个相等的实数根，则 m 7、不解方程，判断下列方程根的情况：（1） 3x2x1 = 3x（2）5（x21）= 7x