一元二次方程第四课时

1、一元二次方程根与系数的关系中考要求内容基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方

2、程解决简单的实际问题知识点睛一、韦达定理如果的两根是，则，（隐含的条件：） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，二、韦达定理的逆定理以两个数，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是一般地，如果有两个数，满足，那么，必定是的两个根三、韦达定理与根的符号关系在的条件下，我们有如下结论：当时，方程的两根必一正一负若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值当时，方程的两根同正或同负若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根更一般的结论是：若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地： ， 且， 且，特殊地：当时，上述就转化为有两异

3、根、两正根、两负根的条件其他有用结论：若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）若，则方程必有实数根若，方程不一定有实数根若，则必有一根若，则必有一根四、韦达定理的应用已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的一些考试中，往往利用这一点设置陷阱例题精讲一、已知一元二次方程的一根求另一根【例1】 已知

4、关于的方程的一个解与方程解相同求的值；求方程的另一个解【例2】 若方程的一个根为，则方程的另一个根为，二、确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【例3】 已知为方程的两根，且，求的值【例4】 已知关于的方程的两根、满足条件，求的值【例5】 已知关于的方程的一个根是另一个根的平方，求的值【例6】 设、是方程的两个不同的实根，且，则的值是 【例7】 已知关于的方程有两个实数根，且，求值【例8】 已知关于的方程，分别写出下列情形中所满足的条件：方程有两个正实数根；方程两根异号【例9】 已知关于的方程只有一个正根，求的取值范围【例10】 已知关于的方程至少有一个正根，求的取值范围【例11】 已知关于

5、的方程的两根都大于5，求的取值范围【例12】 已知关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，求的取值范围【例13】 关于x的二次方程的两根一个比1大，另一个比1小，则m的取值范围是_【例14】 实数为何值时，关于的一元二次方程有两个正根？两根异号，且正根的绝对值较大？一根大于3，一根小于3？【例15】 已知二次方程的两根都是负数，则k的取值范围是_【例16】 关于的方程的两根满足，如果关于的另一个方程的两实根都在之间，求的值【例17】 方程的两个实根，且这两根的平方和比这两根之积大21，那么m = _【例18】 已知是一元二次方程的两个实数根，且，则m=_【例19】 已知、是一元二次方程的两个

6、实数根是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由求使的值为整数的实数的整数值【例20】 已知是方程的两实根，是否能适当选取a的值，使得的值等于_【例21】 已知（）是方程的两个实数根，是方程的两实数根，且，求的值【例22】 已知方程的两根的平方和为5，则m=_【例23】 已知关于的方程的两个实数根的平方和为23，求的值【例24】 已知关于的方程的两根平方差等于，求的值【例25】 已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求的值【例26】 已知，是有理数，并且方程有一个根是，那么_【例27】 已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数

7、根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由【例28】 已知方程的根是和，方程的根是和其中，、为不同实数，求、的值【例29】 已知关于的方程的两根倒数之和大于，求的取值范围【例30】 关于的二次方程有实根和，且，确定的取值范围【例31】 已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问：与能否同号？若能同号请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由【例32】 若实数使得对于每一个实数，关于、的方程组总有实数解，则的取值范围是_三、求与一元二次方程两根有关的代数式的值【例33】 已知方程的两根为、，则【例34】 已知、是方程的两个实数根，的值为【例35】

8、已知、是方程的两根，求的值【例36】 已知方程的两根为，求：；【例37】 、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值： 【例38】 已知，是方程的两个实数根，则 , , , , ， , , 【例39】 已知，是方程的两个实数根，则 【例40】 关于的方程的一个根是2，则方程的另一根是 ； 【例41】 如果，都是质数，且，求的值【例42】 如果实数满足 ，则 的值为多少？【例43】 如果实数分别满足，求的值【例44】 已知，求的值【例45】 阅读材料：设一元二次方程的两根是、，则根与系数关系为：，已知，且，求的值【例46】 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答：已知，且，求的值【例47】

9、若，且有及，则 ， 【例48】 设实数分别满足，并且，求的值【例49】 设方程的大根为，方程的小根为，则_【例50】 设、是方程的两根，则代数式的值是 ，代数式的值是 【例51】 已知，是一元二次方程的两个根，求的值【例52】 已知是不等式组的整数解，、是关于的方程的两个实根，求： 的值； 的值【例53】 已知、均为实数，且满足，求的值【例54】 设、为互不相等的实数，且，则（ ）A B C D无法确定四、根据一元二次方程的两根构造一元二次方程【例55】 设的两实数根为，那么为两根的一元二次方程是_【例56】 已知方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方【例57】 求一个一元二次方程，使它的两个根是和【例58】 已知某二次项系数为的一元二次方程的两个实根为、，且，试求这个一元二次方程【例59】 已知关于的方程有两个相等的实数根，、是关于的方程 的两个根，求以，为根、二次项系数为一元二次方程五、根与系数关系的其他应用【例60】 当取遍0到5的所有实数时，满足的整数的个数是【例61】 已知方程的两实根为、，