必修五数列知识点总结

1、必修五数列知识梳理1. 数列的前n项和与通项的公式 Sn =aia2an ；an；Si(n=1)0 - SnA( nA 2)例1.已知下列数列 a油勺前n项和Sn ,分别求它们的通项公式an. Sn =2n2 3n ； S 3n 1.设数列Qn 满足 3 +3a2 +32a3 + +3nan =丄，n 壬 N*.,则 an =3数列 式*中，a1 a2 03an = n2(n N ),求a3 a5的值.已知数列 *的首项印二1,其前n项和Sn=n2an n-1 .求数列 的通项公式设Sn、T”分别是等差数列:、心的前n项和，舒若，则簣.2. 数列的单调性 递增数列:对于任何l N .，均有an

2、 i -an. 递减数列:对于任何n N .，均有a. 1 : a.2010-2011海淀区高三年级期中已知数列an满足：ai a2 a| - a n -（n =1,2,3川I）（I）求 a1,a2, a3 的值;（n）求证：数列an -1是等比数列；(rn)令 bn = (2 - n)(an -1) ( n =1,2,3.),如果对任意 n N*，都有 bnt2 ,求实数 t4的取值范围.2.等差数列知识点通项公式与前n项和公式通项公式aa1（n -1）d , a1为首项，d为公差.前n项和公式Sn二尬 或Sn二na丄n（n -1）d .2 2等差中项：如果a, A,b成等差数列,那么A叫做

3、a与b的等差中项.即：A是a与b的等差中项二2A a b a , A , b成等差数列.等差数列的判定方法定义法：anan=d (nN .，d是常数)二 匕鳥是等差数列；中项法：2an .1 =an an 2 (n N )= n /是等差数列.an =an - b(一次)=q f是等差数列Sn =An2 Bn(常数项为0的二次)二:an 是等差数列等差数列的常用性质数列Bn 是等差数列，则数列n - p 1、: pan?( p是常数)都是等差数列；等差数列务中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 an，an4k，an d2k，an ，为等差数列，公差为kd .(3) an 二 am (n

4、_m)d ；若 m n = p q(m, n, p,q N )，则 am an =ap - aq ;若等差数列an的前n项和Sn，贝” 卜是等差数列;例2已知Sn为等差数列Sn 的前n项和，bSn(n N ) 求证：数列仁?是等差数列.n等差数列的前n项和Sn的最值问题a0若aiA0,dv0,Sn有最大值，可由不等式组/ 来确定n ；耳十兰0a 是等比数列.等比数列的常用性质数列”6 ：是等比数列，则数列pan I ，：VaJ (q=0是常数)都是等比数列；在等比数列：a/中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an k,an 2k, an 3k/为等比数列，公比为qk. an 二 a

5、m qn少(n,m N )若 m n = p q(m, n, p,q N ),贝U am an = ap aq ;若等比数列“Gn I的前n项和Sn ,则Sk、S2k - Sk、S3k - 、Sqk - Sak是等比数列.例3已知Sn为等比数列 a?前n项和，Sn=54 , S2n=60 ,则San =.4. 数列的通项的求法利用观察法求数列的通项.利用公式法求数列的通项：anZni)；弋 - Sn(n 3 2)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项：an d an f(n):a.i =anf(n).构造等差、等比数列求通项： anpan q ； an 1 = pan - qn ；an Jkan

6、s b例4设数列d汕勺前n项和为Sn，已知aa,anSn 3n( nN )，设bn = S 3n， 求数列bn 1的通项公式n,有(宣武二模理18 )设也是正数组成的数列，其前n项和为Sn ,且对于所有的正整数2 Sn = an1 -(I) 求ai, a2的值；(II) 求数列也讣勺通项公式；(III) 令bi=1 ,b2k=a2kj(1)k, b2k.i二a2k3k ( k =1,2,3/),求数列tn油勺前2n 1项和T2n 1 例5已知数列Sn冲，a1 =2, an二an4 2n -1(n 2),求数列的通项公式；设n 是首项为1的正项数列，且(n T)a；.1 - naan. =0(

7、n，N .), 则数列 1的通项an二.例6已知数列中，印=101 =2务- 2 ,求数列的通项公式;3已知数列：n?中，ai =1,an.l =3an 3n ,求数列：n，的通项公式.例7数列a：中, ai=1,ani二鸟（N .）,则 *的通项.2怜数列也中 , ai = 1, ； an - an 彳二.an an 1 (n N ),则 a,的通项 an 二例8已知数列 式讪，ai =1 ,=2an - n ,求数列况，的通项公式.5. 数列求和基本数列的前n项和”n 佝 +an)2 等差数列 的前n项和：Sn =nagn(n -1)da n2 +b n 等比数列& :的前n项和Sn :当

8、q =1时，Sn二nai；当q时，&二1匚卫二;1 - q1 - q数列求和的常用方法：拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.例.等差数列玄， 公差d =丄，且ai 83889 60， 则2ai a2 a3aiOO =:拆项分组法求和111 1求数列1 ,2 ,3-，(n 的前n项和Sn.2482裂项相消法求和1 1 1数列2,厂？ k123 (k 1)的前n项和Sn =求和:求和:111 1+132 43 5 n(n 2)1 1 1+ + 21. 3、2、4 , 3倒序相加法求和北京市宣武区20092010学年度第一学期期末质量检测5已知函数f (x)二 =，m为正整数.5x +

9、J5(l) 求 f(1)f(0)和 f(x) f(1-x)的值；()若数列an的通项公式为a f( ) (n =1,2, ,m ),求数列a“的前m项和Sm ; m(m)设数列bn满足：d =丄,bn 1 二 bn2 bn，设 T.111 ，若2bi +1 b2 +1bn +1(n)中的Sm满足对任意不小于3的正整数n , 4Sm : 777Tn5恒成立，试求m的最大值.例 9设 Sn是数列：a.：的前 n 项和,a1 , S； = a. Sn - - (n _ 2) I 2.丿 求a啲通项；设bn乩,求数列h ：的前n项和Tn.2n +1错位相减法求和若数列a ?的通项an =(2 n -1

10、) 3n ,求此数列的前n项和解析】：Sn =1 3 3 32 5 3(2n -1) 3n ,3Sn h 32 3 33 5 34 ：(2n -1) 3n 1-，得 2Sn =13 23223323423(2n-1)3n 1=132(3233343n)-(2n -1)3n1 =(2 -2n)3n1 6.Sn =(n -1) 3n 13.例10.已知Sn为数列：an 的前n项和,a1 = 1 , Sn+i =4an+2.设数列bn 中 , bn = an 1 - 2an ,求证：是等比数列； 设数列d :中，On=an，求证：心?是等差数列；2n求数列Nn讣勺通项公式及前n项和.x,y R ,有

11、例11.设函数f(x)的定义域为 R ,当x 0时，f(x) 1 ,且对任意的实数f(x y f (x)f (y).求f(0),判断并证明函数f(x)的单调性；数列云满足af(0),且f (an 1)1 (n N*)f (-2 -an)求a 通项公式；北京市宣武区20092010学年度第一学期期末质量检测f (x) f (1 _x) =55x J555x 、55 5x=1分4解：f叫IL1 ；kkkpm k(n)由(i)得 f() f(i 一)=1(1 Em -1),即 f() f ()=1,. ak am =1,1bn 11bn(bn 1)bn,即bn 1bn 11 1bnbn 1mmmm由 Sm 二a1 a2 a3 亠亠 amam,得 Sm =amamN amJ3 a1 耳，1 15 _J5由+，得 2sm = (m -1) 1 - 2am,.Sm = (m -1) f (1) = (m - 1)，10 分2 241(川)bj, bn 1 = b2 bn 二bn(bn T),对任意的 n，N*, bn 0