二重积分的换元法

1、关于二重积分的换元关于二重积分的换元法法现在学习的是第1页，共24页复习：二重积分在直角坐标系下的计算 Dyxf),(1. 在直角坐标系下二重积分 Dyxf),(dxdy d2.二重积分在直角坐标系下的计算： Ddxdyyxf),( )()(21),(xxdyyxf badx )()(21),(yydxyxf xdxx ydyy d dcdy型型 X型型 Yxyo现在学习的是第2页，共24页 r r l为为邻邻边边的的矩矩形形和和近近似似地地看看成成以以rl rl 即即 rr 扇环的面积 的近似公式： )(:. 2 rr 曲曲线线的的极极坐坐标标方方程程ox)( rr 预备知识：1. 如图:现

2、在学习的是第3页，共24页 1.1.二重积分的换元法二重积分的换元法(1)(1) 在直角坐标系下计算二重积分时，2222byxa 如积分区域为如积分区域为oxy必须化为四个小区域来计算， 因此，有必要学习在其他坐标系下如极坐标系下计算二重积分.这就需要进行变量代换，有如下定理.下非常烦琐，相当麻烦。在某些情况现在学习的是第4页，共24页.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一对一的，则有是一对一的，

3、则有变换变换上雅可比式上雅可比式在在；上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在且满足且满足，平面上的平面上的变为变为平面上的闭区域平面上的闭区域将将连续，变换连续，变换上上平面上的闭区域平面上的闭区域在在设设定理定理现在学习的是第5页，共24页Do Df) (.为为圆圆心心的的圆圆弧弧进进行行划划分分以以出出发发的的射射线线和和用用从从将将区区域域OOD rrr 则则 rr d于于是是面面积积微微元元 ddrr Ddyxf ),(故故 sin,cos rrr rr ddr现在学习的是第6页，共24页.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),

4、(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一对一的，则有是一对一的，则有变换变换上雅可比式上雅可比式在在；上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在且满足且满足，平面上的平面上的变为变为平面上的闭区域平面上的闭区域将将连续，变换连续，变换上上平面上的闭区域平面上的闭区域在在设设定理定理现在学习的是第7页，共24页 )()(21 )sin,cos( rrdrrrf Dddrrrrf )sin,cos( 二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D 的特征，可分为以下三种情况：（1）极点 O 在区域

5、 D 的外部 )()(21 rrr Do)(2 rr )(1 rr :Dr d现在学习的是第8页，共24页oD )(0 )sin,cos( rdrrrf（2）极点 O 在区域 D 的边界上 )(0 rr Dddrrrrf )sin,cos()( rr :Dr（3）极点 O 在区域 D 的内部Do )( rr :D)(0 rr 20 Dddrrrrf )sin,cos( )(0 )sin,cos( rdrrrfr d 20d现在学习的是第9页，共24页 计算dxdyyxD )1(22例1 .122 yxD为为其其中中积积分分区区域域oxy1解 drdrrD )1(2 sincosryrx1 r圆

6、圆的的极极坐坐标标方方程程为为 2010:rD故故由直角坐标化极坐标公式dxdyyxD )1(22 10220)1(rdrrd 10320)(drrrd 2010424121drr 2041d2 现在学习的是第10页，共24页Daa解dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae oxy sincosryrxar 圆圆的的极极坐坐标标方方程程为为 200:arD故故 arrded0220)(2 200221dear由直角坐标化极坐标公式计算dxdyeDyx 22.222ayxD 为为其其中中积积分分区区域域21 练习现在学习的是第11页，共24页 计算 dyxD 22例2 .)(

7、222ayaxD 为为其其中中积积分分区区域域 cos20:arD故故222)(ayax cos2ar 解oxy dyxD 22 cos20222adrrd 2233cos38 da 2033cos316 da 2023sincos316 da3932a 22 现在学习的是第12页，共24页例例3 计计 算算dxdyyxD)(22 ， 其其 D 为为 由由 圆圆 yyx222 ，yyx422 及及直直线线yx3 0 ， 03 xy 所所围围成成的的平平面面闭闭区区域域. 解6 3 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 y

8、yx222 03 xy03 yxoxyyyx222 yyx422 03 yx03 xy现在学习的是第13页，共24页 2. 2. 二重积分的换元法（二重积分的换元法（2 2） .sin,cosryrx间的关系为间的关系为坐标与极坐标之坐标与极坐标之平面上同一个点，直角平面上同一个点，直角的一种变换，的一种变换，坐标平面坐标平面到直角到直角标平面标平面上式可看成是从直角坐上式可看成是从直角坐xoyro 换是一对一的换是一对一的，且这种变，且这种变平面上的一点平面上的一点成成，通过上式变换，变，通过上式变换，变面上的一点面上的一点平平即对于即对于),(),(yxMxoyrMro 现在学习的是第14

9、页，共24页例1解所所围围成成的的闭闭区区域域线线轴轴和和直直轴轴、由由其其中中计计算算2, yxyxDdxdyeDxyxy,xyvxyu 令令.2,2uvyuvx 则则,DD Dxyo2 yxD uvovu vu 2 v. 22;0;0 vyxvuyvux即即现在学习的是第15页，共24页),(),(vuyxJ ,2121212121 DvuDxyxydudvedxdye21故故 vvvuduedv2021 201)(21vdvee.1 ee现在学习的是第16页，共24页例2解所所围围成成的的闭闭区区域域椭椭圆圆为为其其中中计计算算1,122222222 byaxDdxdybyaxD.20,

10、 0, 0, 0 rba其中其中 ,sin,cosbryarx作作广广义义极极坐坐标标变变换换,20,10),( rrDD在在这这变变换换下下现在学习的是第17页，共24页.),(),(abrryxJ 故故换换元元公公式式仍仍成成立立，处处为为零零，内内仅仅当当在在0 rDJ drdabrrdxdybyaxDD 2222211.32ab 现在学习的是第18页，共24页小小 结结一般地，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，而被积函数中含有 的项时，22yx 二重积分在极坐标下的计算公式 Drdrdrrf )sin,cos( )()(21)sin,cos( rrrdrrrfd )(0)sin,cos

11、( rrdrrrfd )(020)sin,cos( rrdrrrfd 采用极坐标计算往往比较方便.现在学习的是第19页，共24页的形式的形式同时也兼顾被积函数同时也兼顾被积函数的形状，的形状，于积分区域于积分区域作什么变换主要取决作什么变换主要取决),(1yxfD基本要求:变换后定限简便，求积容易.),(),(1),(),(. 2yxvuvuyxJ （在积分中注意使用对称性）现在学习的是第20页，共24页 计算计算 deyxyyxD2)( ，其中，其中 D：1 yx，0 x和和0 y所围成所围成.思考题现在学习的是第21页，共24页令令 yvyxu, vyvux雅雅可可比比行行列列式式1),(),(