2022年10-11高等数学(上)期中试题及答案

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费10-11 高等数学 A 上期中考试试题及参考答案2021/11/26一、填空题k3x51 如 lim1e，就 k.5xx33x ln 32. 已知 yln13 x ，就 dy. 13xdx13. lim2nnn解.1n 2nn1<221n 2n22n 2nn 22nn2nnn 2nn n2<= .n12n222nn1所以12nn2n1<nnnn 2n1nn1n12<nn1 nn 2nnn 2n1n1nn2n2n 2nnn 2n112nn2nn2n2nnn1n1, n212nn2n

2、12n2n11, n21所以lim2nnn122nn2n12=nnn24. 设 f dy x 为可导函数 ,ysinf sindyf x , 就 .dx解.fdx' xcosf x f'sinf xcosf sinf x5 f x1x , 就 f1xn xf= .解.f ' x1x1x211 2 1.1 1, 假设 k 1k 2kk.1 , 就1x1x1x精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费f k

3、11 k 1 2 k1., 所以f n1 n 2n.1xk 1 11x n 1二、挑选题1. 设函数f xkx7x71 ，且 lim2x1f x1 ，就 k（C） ；311（ A ） 0（ B）2（ C）3（ D ）22. 设 f02 ，就当 x0 时，f xf 0 是 x 的 （B） ；（A ）低阶无穷小量（ B ）同阶无穷小量（ C）高阶无穷小量（ D）等价无穷小量3. 设 fxxax ，而x在 xa 连续但不行导，就f x在 xa处（C）；（ A ）连续但不行导；（ B）可能可导，也可能不行导；（ C）仅有一阶导数；（ D）可能有二阶导数；4. f x | x1 |在点 x1处的导数为D

4、A1；B0；C1 ；D不存在5. 设F x f x ,xx0 ，其中f x 在 x0 处可导，f 00, f 0 0 ，就f 0,x0x0 是 F x 的C(A) 连续点；B第一类间断点；C 其次类间断点；D不能确定三、运算以下各题 :1. 求f x12 x112 x1函数的间断点并判别类型.解.f 0 1x1lim211 ,f 0 1x1lim211x02 x1x02 x1所以 x = 0 为第一类间断点.精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - -

5、- -vip 会员免费2. 求极限lim xx1e x x解.lim xx1ex xlimxln xexex limexln xxex limex1 exxexe1e3. 设yf x 由方程2 x ycosxye1 所确定 , 求曲线yf x 在点 0, 1处的法e线方程 .e解. 上式二边求导2 x y 2y' yxy' sinxy 0 . 所以切线斜率ky' 02 . 法线斜率为1, 法线方程为2y1x1t 21 x ,即x 2y + 2 = 0.2d 2 y4设ycost, 就2 .dx解.dy dxsin t,2td 2 ydx2sin t 2t'dtt

6、 dx2t cost4t 22 sin t 12tsin tt cost4t3四、 在实数范畴内f x2xx21有多少个零点？分析由罗尔中值定理知，假如g x 在闭区间 a , b 上连续，在开区间a , b内可导，且有两个零点，就g x 在a , b内至少有一个零点反之如g x 在a , b内无零点，就g x 在a , b内至多有一个零点此题要结合高阶导数证由于 f x在 R 上任意可导，有f x2x ln 22x ，fx2x ln 222 ，f x2x ln 230 推出 fx 至多有一个零点，进而推出f x 至多有两个零点，因此f x在 R 上至多有三个零点另一方面，又f 0 = f 1

7、 = 0 ，且 f 40,f 50 ，由介值定理知，存在4,5 ，使f 0 精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费故 f x 有且只有三个零点x0=0， 1 ， 其中4,5 五、设f x 在 x = 0 的某领域内二阶可导, 且 limsin 3xf x0 , 求f 0, f' 0,f ' ' 0及 limx0x 3x2f x3.x0x 2sin 3xf x解.limsin 3xf xlimsin 3

8、 xxf xlimx0 . 所以x0x3x2x0x3x0x2l i ms i n3xf x0 .f x 在 x = 0 的某领域内二阶可导, 所以f x,f ' x 在 x =x0x0 连续 . 所以 f0 =3. 由于s i n3xf xsin 3x3f x3l i mx0 , 所以 limx0, 所以x0x2x3sin3x0x2limf x3limxlim 3xsin 3xlim 33c o 3sxx0x 2= limx0x23sin 3 x9x0x3x03x2x02 x2f ' 0limf xf 0limf x3lim xf x3090f xx0x039x0xx0x 22

9、由 lim2, 将 fx 台劳绽开 , 得x0xf 0lim2f ' 0 x1 f '' 0 x22.0 x2 39, 所以1 f ' ' 09, 于是xf ' ' 00x29 .222六、 设 eabe2 ， 证 明ln 2 bln 2 a4 b e2a 分析依据要证结论的形式，可考虑将其中的参数a 或b 换为变量x， 转化为函数不等式利用单调性证明，也可考虑用拉格朗日中值定理证法一设xln 2 xln 2 a4 xa ，e2eax2e就x2 ln x4 ，xe 2 x2 1ln x ，x 2精选名师 优秀名师 - - - - - -

10、- - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费当 x> e 时， x0,故x 单调削减，从而当exe2 时， xe2 440 ，e 2e 2即当 exe2 时， x单调增加因此当 ea2be 时，b a = 0 ，即bln 2 b2ln 2 a24 ba 0， e24故lnblna2 b ea 证法二对函数ln 2x 在 a , b上应用拉格朗日中值定理，得ln 2 bln 2 a2lnba,ab.设t ln t，就tt1ln t，t 2当 t > e 时，t 0

11、,所以t 单调削减，由题设 eabe2 ，及 ab ，有e2 ，即lnln e22，2故lnb2lnae2e24 ba e2七 设函数f x 在 1, 2 上有二阶导数, 且f 1 =f 2= 0, 又F x =x 12f x , 证明 :在1, 2 内至少存在一个, 使F ' ' 0 .证明 : 由于 F1 = F2 = 0,所以存在1, 1 <1 < 2, 满意F ' 1 0 . 所以F ' 1F ' 1 0 .所以存在, 满意 1 <<1 , 且F ' '0八 设 y=f x 在点x0 的某邻域内有三阶连续导数,假如f x0 f x0 0, 而 f x0 0,问x0是否为极植点., x0 ,f x0 是否为拐点？对于你的结论赐予证明；解: 由于 f x0 0, f x0 0 ,由极值的第一充分条件,f x0 是fx 的极值 ,不妨设为精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip 会员免费微小值 ,就在x0 邻近f xf x0 0 ,再由极值的其次充分条件,f x0 不是