圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲详细复习资料

1、课程星级：知能梳理【椭圆】一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a、b，焦点为c）（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2、两种标准方程可用一般形式表示：或者 mx2+ny2=1三、椭圆的性质（以为例）1、对称性：对于椭圆标准方程：是以轴、轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。2、范

2、围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。3、顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，。线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4、离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）

3、：5、椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e，（0e1）的点的轨迹为椭圆（）。即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有。焦点在x轴上：（ab0）准线方程：焦点在y轴上：（ab0）准线方程：6、椭圆的内外部需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”（1）点在椭圆的内部（2）点在椭圆的外部四、椭圆的两个标准方程的区别和联系标准方程图形性质焦点，焦距范围，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，轴长长轴长=，短轴长=

4、离心率准线方程焦半径，五、其他结论需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”1、若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是2、若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是3、椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为4、椭圆（ab0）的焦半径公式：,( , )5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFN

5、F。6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF。7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。8、若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是9、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是【双曲线】一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2|）的点的轨迹（为常数）。这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a|F1F2|。当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|MF2|=2a时，曲线

6、仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在。2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程（，其中|=2c）需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线2、直线与双曲线四、双曲线与渐近线的关系五

7、、双曲线与切线方程六、双曲线的性质七、弦长公式1、若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长。3、若弦AB所在直线方程设为，则。4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解八、焦半径公式九、等轴双曲线十、共轭双曲线需要双曲线的详细资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”【抛物线】一、抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l(l不经过点F)

8、距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。二、抛物线的性质三、相关定义1、通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H1H2称为通径；通径：|H1H2|=2P2、弦长公式：3、焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则(1)x0+， (2)，p2(3) 弦长,，即当x1=x2时,通径最短为2p(4) 若AB的倾斜角为，则=（5）+=四、点、直线与抛物线的位置关系需要详细的抛物线的资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”【圆锥曲线与方程】一、圆锥曲线的统一定义平面内的动点

9、P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线称为准线，正常数e称为离心率。当0e1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e1时，轨迹为双曲线。 特别注意：当时，轨迹为圆（，当时）。二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质三、曲线与方程四、坐标变换1、坐标变换：2、坐标轴的平移：3、中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学

10、习资料网】”精讲精练【例】以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_.解：抛物线的焦点为，设双曲线方程为，双曲线方程为【例】双曲线=1(bN)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_。解：设F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y)，则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2)，即|PF1|2+|PF2|250+2c2，又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|，依双曲线定义，有|PF1|PF2|=4，依已知条件有|PF1|

11、3;|PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c2，c2,又c2=4+b2，b2，b2=1。【例】当取何值时，直线：与椭圆相切，相交，相离？解：代入得化简得当即时，直线与椭圆相切；当，即时，直线与椭圆相交；当，即或时，直线与椭圆相离。【例】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=，试求椭圆的方程。解：|MF|max=a+c，|MF|min=ac，则(a+c)(ac)=a2c2=b2，b2=4，设椭圆方程为设过M1和M2的直线方程为y=x+m将代

12、入得：(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0设M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，M1M2的中点为(x0，y0)，则x0= (x1+x2)=，y0=x0+m=。代入y=x，得，由于a24，m=0，由知x1+x2=0，x1x2=，又|M1M2|=，代入x1+x2，x1x2可解a2=5，故所求椭圆方程为： =1。【例】某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长。需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”解：以拱顶为原点，水平

13、线为x轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(10，4）、(10，4）设抛物线方程为x2=2py，将A点坐标代入，得100=2p×(4)，解得p=12。5，于是抛物线方程为x2=25y。由题意知E点坐标为(2，4)，E点横坐标也为2，将2代入得y=0。16，从而|EE|=(0.16)(4)=3.84。故最长支柱长应为3.84米。【例】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程。解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0，n0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)由得(m+n)x2

14、+2nx+n1=0，=4n24(m+n)(n1)0，即m+nmn0，由OPOQ，所以x1x2+y1y2=0，即2x1x2+(x1+x2)+1=0，+1=0，m+n=2又22，将m+n=2，代入得m·n=由、式得m=，n=或m=，n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1。【例】已知圆C1的方程为，椭圆C2的方程为，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。解：由设椭圆方程为设又两式相减，得又即将需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)”

15、或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”由得解得故所有椭圆方程【例】过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程。解法一：由e=，得，从而a2=2b2，c=b。设椭圆方程为x2+2y2=2b2，A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上。则x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，两式相减得，(x12x22)+2(y12y22)=0，设AB中点为(x0，y0)，则kAB=，又(x0，y0)在直线y=x上，y0=x0，于是=1，kAB=1，设l的方程为

16、y=x+1。右焦点(b，0)关于l的对称点设为(x，y)，由点(1，1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2，b2=。所求椭圆C的方程为 =1，l的方程为y=x+1。解法二：需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”由e=，从而a2=2b2，c=b。设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2，l的方程为y=k(x1)，将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0，则x1+x2=，y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=。直线l：y=x过

17、AB的中点()，则，解得k=0，或k=1。若k=0，则l的方程为y=0，焦点F(c，0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=1，直线l的方程为y=(x1)，即y=x+1，以下同解法一。解法三：设椭圆方程为直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。故可设直线，则，所以所求的椭圆方程为：【例】如图，已知P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程。解：以O为原点，P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系。设双曲线方程为=1(a0，b0)，由e2=，得。两渐近线OP1、OP2

18、方程分别为y=x和y=x设点P1(x1，x1)，P2(x2，x2)(x10，x20)，则由点P分所成的比=2，得P点坐标为()，又点P在双曲线=1上，所以=1，即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2即x1x2= 由、得a2=4，b2=9。故双曲线方程为=1。【例】需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”过椭圆C：上一动点P引圆O：x2 +y2 =b2的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。(1) 已知P点

19、坐标为(x0，y0 )并且x0y00，试求直线AB方程；(2) 若椭圆的短轴长为8，并且，求椭圆C的方程；(3) 椭圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)切线PA：，PB：P点在切线PA、PB上，直线AB的方程为(2)在直线AB方程中，令y=0，则M(，0)；令x=0，则N(0，)2b=8 b=4 代入得a2 =25，b2 =16椭圆C方程：(3) 假设存在点P(x0，y0)满足PAPB，连接OA、OB由|PA|=|PB|知，四边形PAOB为正方形，|OP|=|OA| 又P点在椭圆C上由

20、知xa>b>0 a2b2>0(1)当a22b2>0，即a>b时，椭圆C上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直；(2)当a22b2<0，即b<a<b时，椭圆C上不存在满足条件的P点【例】已知点B（1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且ADAE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论。（3）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1·k2=2。求证：直线DE过定点，并求

21、出这个定点。解：（1）设【例】需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”已知曲线，直线l过A（a，0）、B（0，b）两点，原点O到l的距离是（）求双曲线的方程；（）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若，求直线m的方程。解：（）依题意，由原点O到l的距离为，得又。 故所求双曲线方程为（）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx1，则点M、N坐标（）、（）是方程组的解消去y，得依设，由根与系数关系，知= =23，k=±。 当k=±时，方程有两个不等的实数

22、根故直线l方程为【例】已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为（1）求动点的轨迹方程；（2）若已知，、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围解：（1）由已知可得：，所求的椭圆方程为。(2)方法一：由题知点D、M、N共线，设为直线m，当直线m的斜率存在时，设为k，则直线m的方程为y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 (4+9k 2) x2 +54 k +45 = 0 由判别式，得。再设M (x 1，y1 )， N ( x2，y2)，则一方面有，得另一方面有，将代入式并消去x 2可得，由前面知，解得。又当直线m的斜率不存在时，不难验证：，所以为所求。方法二：同上得设点M (3c

23、os，2sin)，N (3cos，2sin) 则有由上式消去并整理得，由于，解得为所求。需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”方法三：设法求出椭圆上的点到点D的距离的最大值为5，最小值为1。进而推得的取值范围为。【例】如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积。解：由题意，可设l的方程为y=x+m，5m0。由方程组，消去y，得

24、x2+(2m4)x+m2=0直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=(2m4)24m2=16(1m)0，解得m1，又5m0，m的范围为(5，0)设M(x1，y1)，N(x2，y2)则x1+x2=42m，x1·x2=m2，|MN|=4。点A到直线l的距离为d=。S=2(5+m)，从而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)·(5+m)(5+m)2()3=128。S8，当且仅当22m=5+m，即m=1时取等号。故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面积为8。【例】已知双曲线C：2x2y2=2与点P(1，2)。(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分

25、别有一个交点，两个交点，没有交点。(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在。解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点。当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k(x1)，代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0(*)()当2k2=0，即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点()当2k20，即k±时=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)当=0，即32k=0，k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点。当0，即k，又k±，故当k或k或k时，方程(*)有两不等实根，

26、l与C有两个交点。当0，即k时，方程(*)无解，l与C无交点。综上知：当k=±，或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当k，或k，或k时，l与C有两个交点；当k时，l与C没有交点。(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2x12y12=2，2x22y22=2两式相减得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2，y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但渐近线斜率为±，结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在。【例】已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆相切过点

27、作斜率为的直线，使得和交于两点，和轴交于点，并且点在线段上，又满足（1）求双曲线的渐近线的方程；（2）求双曲线的方程；（3）椭圆的中心在原点，它的短轴是的实轴如果中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，求椭圆的方程解：（1）设双曲线的渐近线的方程为：，则由渐近线与圆相切可得：所以，双曲线的渐近线的方程为：（2）由（1）可设双曲线的方程为：把直线的方程代入双曲线方程，整理得则（），共线且在线段上，即：，整理得：将（）代入上式可解得：所以，双曲线的方程为（3）由题可设椭圆的方程为：下面我们来求出中垂直于的平行弦中点的轨迹需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.

28、“高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”设弦的两个端点分别为，的中点为，则两式作差得：由于，所以，所以，垂直于的平行弦中点的轨迹为直线截在椭圆S内的部分又由题，这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，所以，所以，椭圆S的方程为：点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）【例】已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距

29、离分别是7和1。需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”（）求椭圆C的方程；（）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”解：()设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得，w。w。w。k。s。5。u。c。o。m 所以椭圆的标准方程为（）设，其中。由已知及点

30、在椭圆上可得。整理得，其中。（i）时。化简得所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。（ii）时，方程变形为，其中当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；【例】已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为。() 求a，b的值；() C上是否存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与L的方程；若不存在，说明理由考点：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解：（）设当的斜率为1时，其方程为到的距离为。 故，由，得，=（）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由（）知C的方程为+=6。设 () C成立的充要条件是且整理得。 故将于是, =,代入解得，此时。 于是=，即因此，当时，；当时，。（）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为【例】已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为（I）求椭圆的方程；（II）设点在抛物线：上，在点处的切线