学习Euler,是认识数学的最好途径高斯

1、 乐经良 学习学习Euler, ,是认识数学的最好途是认识数学的最好途径。径。 高斯高斯 数学是理解世界及其发展的一数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙。把主要钥匙。 里约热内卢宣言里约热内卢宣言数学实验数学实验导弹跟踪问题导弹跟踪问题上海交通大学数学科学学院上海交通大学数学科学学院 乐经良实验目的实验目的微分方程数学建模微分方程数学建模回顾微分方程解析解法回顾微分方程解析解法介绍介绍Euler方法方法介绍改进介绍改进Euler方法方法介绍仿真方法介绍仿真方法 乐经良实际问题实际问题某军的一导弹基地发现正北方向某军的一导弹基地发现正北方向120 km处海面上有敌艇一艘以处海面上有敌艇一艘以90

2、 km/h的速度向正东的速度向正东方向行驶方向行驶. .该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇, , 导弹速度为导弹速度为450 km/h，自动导航系统使导弹在，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇任一时刻都能对准敌艇. .试问导弹在何时何处试问导弹在何时何处击中敌艇？击中敌艇？（追踪问题） 乐经良120P(x, y)当当t =0时时, ,导弹位于原点导弹位于原点O, ,敌艇位于敌艇位于( (0,H) )点点, , H = =120 ( (km） 当时刻当时刻t ,导弹位于导弹位于P(x(t),y(t)敌艇位于敌艇位于(90t, H)点点O建立坐标系建立坐标系x 乐经

3、良设时刻设时刻 t 导弹的位置为导弹的位置为P(x(t),y(t), 其其 222ddddwvtytxVw = 450 (km/h) Ve = 90 (km/h) ddeyHyxv tx)(ddddxtvyHtxtye数学模型数学模型速度可由水平分速度与垂直分速度合成速度可由水平分速度与垂直分速度合成导弹方向指向敌艇导弹方向指向敌艇, ,故有故有 乐经良导出一阶微分方程组导出一阶微分方程组2)(1ddxtvyHvtxew2)(1ddyHxtvvtyew0)0(0)0(yx 乐经良解析方法解析方法技巧性较强技巧性较强: : 消去消去 t ,化为二阶方程化为二阶方程222ddd()d()1xyxH

4、yy)(wevv00d0,0dyyxxy连同初始条件连同初始条件设设ddxpy降阶得到一阶可分离变量方程降阶得到一阶可分离变量方程21ddppyHy 乐经良)()(21HyHyHHp21111)() 1()(21HyHHHyHx导弹击中艇时导弹击中艇时y=H, 得到此时其位置和时刻得到此时其位置和时刻2778. 0, )km(2512evLTtHLx进而解出进而解出 乐经良 Euler 方法十分简单方法十分简单, , 就是用差商代替微商就是用差商代替微商数值方法数值方法 ( (Euler方法方法) )第第k+1步的值之间的关系式步的值之间的关系式即采用即采用通常取通常取t为常数为常数,就得到由

5、第就得到由第 k 步的值到步的值到1111dd,ddkkkkkkkkxxyyxxyytttttttt 乐经良伟大的欧拉伟大的欧拉（Leonhard Euler，17071783 ） 著作辉煌：涉及几乎每一数学领域 数学天才：约翰伯努利指引 13岁进巴塞尔大学 毅力惊人：失明17年，完成书和约400篇论文 非凡记忆和心算力：前100个素数的前六次幂 886本书和论文 ，汇成100巨册 风格高尚：支持年青的拉格朗日 热爱生活 乐经良 瑞士法郎上的欧拉 邮票上的欧拉 乐经良解析法降阶后方程的解析法降阶后方程的Euler格式格式ddxpykhHphpp,hpxxkkkkkk21110d0,0dyy o

6、y oxxpy和初始条件和初始条件21ddppyHy由方程由方程0000p,x Euler 迭代格式迭代格式 Matlab文件m4_1 此例告诉我们高阶方程可化为一阶方程组h=H/n为步长 乐经良 设设 t = tk+1 时导弹位置为时导弹位置为(xk+1 ，yk+1)计算到计算到 yk1 H, ykH 停止，取停止，取L xk原模型的原模型的 Euler 迭代格式迭代格式21)(1kkekwkkxtvyHvxx21)(1kkkewkkyHxtvvyy0, 000yx 乐经良利用利用Matlab参见教材中介绍的m文件并运行则 Lx6= 29.195 T 0.3244例如 m4_3,当 = 0.

7、05ktkxkyk10.050.000 0022.500 0020.101.037 3644.976 0730.153.412 0567.350 4140.207.646 1589.448 4350.2514.867 90110.757 9660.3029.194 80128.107 02 乐经良关于微分方程数值方法关于微分方程数值方法大多数微分方程即使形式十分简单，也可能无法用解析方法求解，因此数值方法当当 = 0.001 Lx278=25.049 T 0.27833极其重要 乐经良改进改进Euler法（预测校正法）法（预测校正法）一维例子一维例子 方程与初条件方程与初条件00d( , ),

8、dtxf x txxtEuler 格式格式)(),(1kttxfxxkkkkk改进改进Euler 格式格式),(),(21*11kkkkkktxftxfxx其中其中),(*1kkkktxfxx 乐经良改进改进Euler法的几何解释法的几何解释1( ( ), )dkktkktxxf x t ttd( , )dxf x tt若的解为x(t) , 代入方程从tktk+1积分导出Otk ftf =f (x(t),t)tk+1Euler法法xk+1- xk= f (xk ,tk)改进Euler法xk+1- xk=f (xk ,tk) +/2),(1*1kktxf 乐经良舰的实际过程仿真方法 1 =arc

9、tan(H - vw)/veP0M0模仿真实事件行为和过程在这个问题上，就是一步步地模拟导弹追踪敌在t = 0 时,敌艇在M0(0,H),导弹在原点P0指向M0M1 在t =时,敌艇的位置为M1(ve, H)， 导弹的位置为P1 (x1,y1), 而 x1=0, y1= vw, P11 导弹飞行方向的倾角为 乐经良 x2= x1+ vwcos1 y2= y1+ vwsin1P1P0M0 M12= arctan(H-y2)/(2ve-x2)2在t =2时,敌艇的位置为M2(2ve, H)，位置为P2(x2, y2),由1表达式可写出cos1和sin1的表达式.此时导弹飞行方向的倾角为导弹的M2P

10、21依此类推 乐经良仿真迭代格式仿真迭代格式2222)()(sin)()(coskkekkkkekekyHxkvyHyHxkvxkv在t=(k+1)时，导弹位于Pk+1(xk+1, yk+1) kwkkkwkkvyyvxxsincos11其中 乐经良未用微分方程得到同样结果未用微分方程得到同样结果! !例如 = 0.05使用使用Matlab的计算结果的计算结果 （m4_4）ktkxkyk10.050.000 0022.500 0020.101.037 3644.976 0730.153.412 0567.350 4140.207.646 1589.448 4350.2514.867 90110.757 9660.3029.194 80128.107 02 乐经良仍可能不能改善结果，因此可以采取变步长法：2.在对由模型直接得到的微分方程组用Euler法计算时，我们计算到ykH,yk+1H即停止，但这样的做法可能会有不小误差，即使步长减小而结果实验任务实验任务参见教材当计算到ykHyk+1，两端距离H较远时，以xk , yk为起点,缩小步长继续计算，将改善结果试用这个方法改进授课中计算的结果 乐经良何地击中敌舰?如果当基地发射导弹的同时,敌艇立即由仪器发觉. 假定敌艇为一高速快艇，它即刻以135 km/h 的速度与导弹方向垂直的方向逃逸,问导弹何时实验任务实