与几何有关的排列组合题的解法

1、与几何有关的排列组合题的解法排列组合是高考的必考容，而与几何有关的排列组合题在历年的高考中也经常出现，此类题的常用解法主要有以下几种：一 . 总体淘汰法先在弱化条件下算出总数，再严格筛选，把少数不合条件的除去。例 1. （ 1996 年全国高考题）正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中的三角形共有 _ 个。3 个点为顶点解：从7 个点中任取3 个点，（不管是否可组成三角形）其取法有C73 种，在这些取法中三点共线的情况有3 种，所以共有三角形C73332 个。例 2. （ 2002 年全国高考题）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有 _ 种。分析：此题正面思

2、考情形较多，从反面思考，则转化为总体中除去3个面两两相邻的情形。解： 6个面中取3 个共有C63 个，其中3 个面两两相邻只有在共顶点时才出现，共有8个，故所有不同选法有C63812 个。二 . 利用已有的数学模型例 3. 在某个城市中 M 、N 两点之间有整齐的道路网，如图所示，若各个小矩形的边都表示街道，从 M 到 N 处要使路程最近，则共有多少种走法？NM分析：把前图24 的方格看成一地图，每个小矩形的边当成一步，则从M 到 N 至少要走 6 步，其中必须向北走2 步、向东走4 步。我们看如下的模型：将所走的6 步用 6 卡片表示，若卡片上写“北”字则表示向北走，现将2 写有“北”字的卡

3、片和4 写有“东”字的卡片分别放入6 个小盒子中，每个盒子里放一，每一种放法对应着一种走法。如这样一种放法：“东、东、东、北、北、东”则表示“从M 处向东走3 步，再向北走2 步，然后向东走一步到N”。在这些卡片中只要把写有“北”字（或“东”字）的卡片放好，余下的盒子里每一个放一“东”（或“北”）即可，放法有C6215 种或C64种（卡片上只要字同则认为无区别）。推广：将上例中的 24 个方格推广到mn个方格， 这时从 M 到 N 的最短路程的走法是： Cmm n 或 Cmn n 。三. 特征分析法抓住几何图形的某一特征，寻找突破口。例 4.圆周上有20 个不同的点，过任意2 点联结成一条弦，

4、这些弦在圆的交点最多只能有 _ 个。分析：圆上 20 个点相互联结所产生的弦是相当多的，从这些弦中任取两条，则有些有交点， 有些无交点， 有些交点可能重合了，解此题的关键是抓住其本质特征进行分析，如果圆某点是两弦的交点，则此两弦与圆有四个交点，联结这四点则得到一圆接四边形，反之，从圆上任取四点组成圆接四边形，这个四边形的两对角线有且只有一个交点，若不考虑某些交点重合，则交点最多可有C2044845 个。例 5.（ 2004年省春招卷理 9） 直 角 坐 标 系 xOy 平 面 上 ， 平 行 直 线xn( n0， 1， 5) ，与平行直线 yn(n0， 1， 5) 组成的图形中矩形共有（）A. 25个B. 36个C. 100 个D. 225个解： 6横6纵的12条直线垂直相交共有36个点，在这 36 个点中任取2 个点连成线段，则以这条线段为对角线的矩形最多有一个， 当这两点处在同一直线上时，形的对角线。 又因矩形有两条对角线， 所以在利用对角线确定的这些矩形中，则不能成为矩有一半是重复计数。故矩形总数有12C36212C6