数学高三第一轮复习——解三角形

1、一、知识必备：1直角三角形中各元素间的关系：在ABC中，C90°，ABc，ACb，BCa。（1）三边之间的关系：a2b2c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素间的关系：在ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：ABC。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等（R为外接圆半径）（3）余弦定理：a2b2c22bccosA； b2c2a22cacosB； c2a2b22abcosC。 3三角形的面

2、积公式：（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）absinCbcsinAacsinB；4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5三角形中的三角变换三角形

3、中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；数学高三第一轮复习解三角形1、在三角形ABC中“cosAsinAcosBsinB”是“C90°”的 ( ) A、充分非必要条件B、必要非充分条件 C、充要条件D、既不充分也不必要条件2、设分别是中所对边的边长,则直线与的位置关系是（ ）A平行 B垂直 C重合 D相交但不垂直3、（2009宣武区文）中，分别是内角的对边，且则b：的值是 ( )A. 3：1 B. ：1 C. ：1 D

4、. 2 ：14、（2009揭阳）设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则 （ ）A B2C D45、（2009汕头潮南）ABC的三边分别为a,b,c且满足,则此三角形是（ ）（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等边三角形6、（2010天津理）在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A=（ ）（A） （B） （C） （D）7、设，且，则等于（ ） 或8、在ABC中，是角A、B、C成等差数列的（ ）A充分非必要条件 B充要条件C必要非充分条件 D既不充分也不必要条件9.（2010江西理）E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，

5、则（ ）A. B. C. D. 10、锐角三角形ABC中，若，则的范围是（ ）A(0,2)B CD11、（2010北京文）某班设计了一个八边形的班徽（如右上图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）（A） （B）（C） （D）12、ABC中，已知sinA：sinB：sinC=1:1:，且SABC=，则的值是（ ）A2BC2D13、已知非零向量则ABC的形状是（ ）A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰（非等边）三角形D等边三角形14、ABC中，AB=，AC=，BC=2，设P为线段BC上一点，且则一定有（ ）AAB·AC>PA

6、2，AB·AC>PB·PCBPA2>AB·AC，PA2>PB·PC CPB·PC > AB·AC，PB·PC>PA2 DAB·AC> PB·PC ，PA2 >PB·PC15、CD是ABC的边AB上的高，且，则 ( )AB或C或D或16、的三内角A，B，C所对边长分别是，设向量，若，则角的大小为_17、在中，角所对的边分别为，若则_. 18、(2008湖北)在中，三个角的对边边长分别为,则的值为 .19、在平面直角坐标系xoy中已知ABC的顶点A(6，0)

7、 和C(6，0)，顶点B在双曲线的左支上， 20、若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最小边长与最大边长的比值为m，则m的取值范围是 21、在ABC中，等于 。22、（2010广东理）已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .23、（2010重庆文）如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等. 设第段弧所对的圆心角为，则_ .24、（2010江苏卷）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则=_。25、中，所对的边分别为，,.（1）求；（2）若,求. 26、设的

8、内角所对的边分别为且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.27、设的内角、的对边长分别为、，求28、(2009湖南卷理). 在，已知，求角A，B，C的大小.29、已知中，记，120°（1）求关于的表达式；（2）求的值域；30、（2007山东）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?31、（2010福建理）。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/

9、小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。32、（2010江苏卷）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电

10、视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？33、（2009宁夏海南卷理）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。历年模拟习题1已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是(A)(B)(C)(D)2.已知函数（其中，）的部分图象如图所示.（）求，的值； （）已知在函数图象上的三点的横坐标分别为，求的值.1

11、如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）ABCD2在ABC中，若B=，b=，则C= 3在ABC中，BAC=90º，D是BC的中点，AB=4，AC=3，则=(A) -7(B) (C) (D) 74在中，则 _ 5.在中， ，且的面积为，则 等于 A或 B C D或6在中，则 ( )(A) (B) (C) 或 (D) 或7已知定点，点和Q分别是在直线l：和y轴上动点，则当MPQ的周长最小值时，MPQ的面积是( ) (A) (B) (C) 1 (D) 8. 中的内角的对边分别为，若°，

12、则= 。9在中，若，则 10在中， ，分别为角， ，C所对的边.已知角为锐角，且,则 .11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则. 12. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角B的值为( )A B C D13.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足（1）求的值; （2）若的面积是，求的值 14在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（1）求A的值； （2）若，求的面积 15. 在锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（1）求B的值； （2）求的求值范围。 16已知函数（）求函数的单调递增区间；（）在ABC中，内角A、B、C的对边分别

13、为a、b、c已知, ， ，求ABC的面积17在中，角，所对应的边分别为，且（）求角的大小；（）若，求的面积18.已知函数.（）求的单调递增区间；（）在中，角，的对边分别为. 已知，试判断的形状.19.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（）判断ABC的形状；（）若，求的最大值20已知中，内角的对边分别为，且， （）求的值；（）设，求的面积21已知函数f（x）=sin（2x+）+cos 2x （）求函数f（x）的单调递增区间。 （）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f（A）=，a=2，B=，求ABC的面积22在中,角,的对边分别为,已知向量,且（）求角的大小;

14、（）若,求角的值23.已知向量（0），函数的最小正周期为。（I）求函数的单调增区间；（II）如果ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且满足求的值。24. 已知函数的图象过点. （）求的值； （）在中，角，的对边分别是，.若， 求的取值范围25.在中，三个内角，的对边分别为，且（）求角；（）若，求的最大值26在中，已知（）求角； （）若，求K班数学高三第一轮复习解三角形参考解答110：BBDBD、ADBDC； 1115：ACDDD16、；17、；18、；19、；20、(0,)；21、；22、1；23、；解析： 又，所以24、 解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转

15、化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。当A=B或a=b时满足题意，此时有：，= 4。（方法二），25、解：(1) 因为，即，所以，即 ，得 . 所以,或(不成立).即 , 得，所以.又因为，则，或（舍去） 得(2)， 又, 即 ，得26、（1）由得 又 ，又 （2）由正弦定理得：, 故的周长的取值范围为. （2）另解：周长 由（1）及余弦定理 又即的周长的取值范围为. 27、分析：由，易想到先将代入得。然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应

16、舍去。也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。评析：本小题考生得分易，但得满分难。28、解：设由得，所以又因此 由得，于是所以，因此，既由A=知，所以，从而或，既或故或。29、120°解（1）由正弦定理有：；，；（2）由； 30、解 方法一 如图所示，连结A1B2，由已知A2B2=，A1A2=，A1A2=A2B2，又A1A2B2=180°-120°=60°A1A2B2是等边三角形，A1B2=A1A2=.由已知，A1B1=20，B1A1B2=105°-60°=45°，在A1B2B1中，由余弦定理，=+-·A1

17、B2·cos45°=202+()2-2×20××=200.B1B2=.因此，乙船的速度的大小为×60=（海里/小时）.答: 乙船每小时航行海里.31、【解析】解法一：（I）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 = 故当时，此时 即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。 （II）设小艇与轮船在B出相遇，则KS*5U.C#O 故 ， 即，解得 又时， 故时，t取最小值，且最小值等于 此时，在中，有，故可设计寒星方案如下： 航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇解法二：（I）若相遇时小艇的航行

18、距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。 设小艇与轮船在C处相遇。 在中， 又， 此时，轮船航行时间， 即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。（II）猜想时，小艇能以最短时间与轮船在D出相遇，此时 又，所以，解得 据此可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇 证明如下：KS*5U.C#O 如图，由（I）得，故，且对于线段上任意点P， 有 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时， 故小艇与轮船不可能在A，C之间（包含C）的任意位置相遇。 设，则在中， 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 和 所以，