中考培优竞赛专题经典讲义第1讲角平分线

1、第1讲角平分线1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图,0E是/AOB的平分线,F是0E上一点,假设CFOA于点C,DFOB于点D,那么CF=DF.逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上角平分线除了简单的平分角以外,结合其它的条件,一般可产生以下三种常见模型！模型讲解模型1-BD平分/ABC,且DCBC理由：角平分线的性质结论：DCB2DEB模型2BD平分/ABC,且CDBD理由：等腰三角形三线合一结论：BDCBDE模型3-BD平分/ABC,AD/BCf)理由：平行线的性质结论：ABD为等腰三角形【例题讲解】例题1、如下图,在四边形ABCD

2、中,DC/AB,/DAB=90,ACBC,AC=BC,BF/ABC的平分线交AD,AC于点E、F,贝UBS的值是EFDCmmI【分析】要求B匚的值,一般来说不会直接把EFBF和EF都求出来,所以需要转化BF当过点F作FGAB时,即可曾专化为竺,AG出现模型1,所以这个辅助线与思路EF值得一试.【解答】解：如图,作FGAB于点GBFBGQ/DAB-90,FG/AD,一一EFAGQACBC,/ACB=90又QBF平分/ABC,FG=FC在RtABGF和RtABCF中BFBFCFGFBGFBCF(HL),BC=BGQAC:BC,/CBA=45,AB=2BCBFBGBCBC1.2.EFAGABBG.2

3、BCBC、2I例题2、如图,D是公ABC的BC边的中点,AC=16,贝UDE的长度为AE平分/BAC,AECE于点E,且AB=10,jr【分析】有AE平分/BAC,且AEEC,套用模型2,即可解决该题【解答】解：如图,延长CE,AB交于点F.QAE平分/BAC,AEEC/FAE=/CAE,ZAEF=/AEC=90在公AFE和公ACE中/EAF/EACAEAE/AEF/AECAFE也ACE(ASA)AF=AC=16,EF=EC,BF=6又QD是BC的中点,BD=CDDE是公CBF的中位线1DE=BF=32故答案为：3.例题3、如下图,在ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,动点P在射

4、1线EF上,BP交CE于D,/CBP的平分线交CE于Q,当CQ=-CE时,EP+BP=3B|【分析】这里出现角平分线,又有平行,应该想到模型3,即可构造出等腰三角形,结合相似模型,即可解出答案.【解答】解：如图,延长BQ交射线EF于点M.QE、F分别是AB、AC的中点,EF/BC/CBM=/EMBQBM平分/ABC,/ABM=/CBM/EMB=/EBM,EB=EMEP+BP=EP+PM=EM1QCQ=CE,EQ=2CQ3由EF/BC得,EMQCBQEMEQBCCQ2EM2BC12EPBP12【稳固练习】1、如图,/AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的

5、刻度分别与M,N重合,过角尺顶点C的射线OC便是/AOB的平分线OC,做法用得到三角形全等的判定定方法是A.SASB.SSSC.ASAD.HL第4题第3题第1题2、三角形中到三边距离相等的点是A、三条边的垂直平分线的交点C、三条中线的交点3、如图,四边形ABCD是平行四边形,B、三条高的交点D、三条角平分线的交点BE平分/ABC,CF平分/BCD,BE、CF交于1G.假设使EF=AD,那么平行四边形ABCD应满足的条件是4A. /ABC=60B. AB：BC=1:4C.AB：BC=5:2D.AB：BC=5:84、如图,ABC的周长为26,点D,E都在边BC上,/ABC的平分线垂直于AE,垂足为

6、Q,/ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,假设BC=10,那么PQ的长为3A325B.-2C.3D.45、如图,在ABC中,/C=90,AC=BC,AD平分/BAC交BC于点D,DEAB于点丘,假设公BDE的周长是5cm,那么AB的长为_.第7题第5题第6题6、如图,OB、OCABC的角平分线,DE/BC交AB、AC于D、E,AADE的周长为15,BC长为7,那么公ABC的周长为_.7、如图,在ABC中,点D在BC上,BM平分/ABD,BMAD,N是AC的中点,连接MN,假设AB=5,BC=8,贝MN=.8、如图,ABC中,AD是中线,AE是角平分线,CFAE于F,AB=5,AC=2,那么DF

7、的9、为E、F,10、11、如图,在eO的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,/BAD=60,点C为弧BD的中第8点,贝UAC的长视一第题第10题ZC第11题12、：如图,AD、BE分别是的长等于一.第12题ABC的中线和角平分线,ADBE,AD=BE=6,贝UAC13、将弧BC沿弦BC折叠,交直径AB于点D,假设AD=8,DB=10,那么BC的长是第13题如图,/BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D,DEAB,DFAC,垂足分别AB=6,AC=3,贝UBE=._如下图,在四边形ABCD中,AD/BC,CE是/BCD的平分线,且CEAB,E为垂足,BE=2AE,假设四边形AECD的

8、面积为1,那么四边形ABCD的面积为_且FG=MN,S/FG=&PMN,试问点P14、如图,F,G是OA上两点,M,N是OB上两点,是否在/AOB的平分线上？15、：在公ABC中,/B的平分线和外角/ACE的平分线相交于D,DG/BC,交AC于F,交AB于G,求证：GF=BGCF.16、在四边形ABCD中,/ABC是钝角,/ABC+ZADC=180,对角线AC平分/BAD.ii4Be(1)求证：BC=CD;(2)假设AB+AD=AC,求ZBCD的度数;17、如图,在ABC中,D、E、F分别为三边的中点,G点在边AB上,BDG与四边形ACDG的周长相等,设BC=a、AC=b、AB=c.(1)求线

9、段BG的长；(2)求证：DG平分ZEDF.1118、如图,BAMN,垂足为A,BA=4,点P是射线AN上的一个动点(点P与点A不重合),/BPC=/BPA,BCBP,过点C作CDMN,垂足为D,设AP=x.CD的长度是否随着x的变化而变化？假设变化,请用含x的代数式表示CD的长度；假设不变化,请求出线段CD的长度.19、：平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点分别为0(0,0)、A(5,0)、B(m,2)、C(m-5,2)(1) 问：是否存在这样的m,使得在边BC上总存在点P,使/OPA=900?假设存在求出m的取值范围；假设不存在,请说明理由(2) 当/AOC与/OAB的平分线的交点Q在边B

10、C上时,求m的值.20、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形.如图1,四边形ABCD即为“准等腰梯形.其中/B=/Co(1)在图1所示的“准等腰梯形ABCD中,选择适宜的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一“准等腰梯种示意图即可);形ABCD中/B=/C,E为边BC上一点,假设AB/DE(2)如图2,在beec；AE/DC,求证：如(3)在由不平行于BC的直线AD截公PBCDC所得的四边形ABCD中,/BAD与/ADC的平分线交于点Eo假设EB=EC,请问当点E在四边形ABCD内部时(即图3

11、所示情形),四边形ABCD是不是“准等腰梯形,为什么？假设点E不在四边形ABCD内部时,情况又将如何？写出你的结论.(不必说明理由)参考答案1. 答案2. 答案3. 答案4. 答案BDDC5. 答案5cm6. 答案7. 答案8. 答案9. 答案221.51.51.51510.答案11 .答案明3912 .答案丽213 .答案6疗14?解：过点P分别向OA、OB作垂线,11SAPFG=PGPE,S/MN=MNPH,FG=MN22PH=PE点P在ZAOB的平分线上.15.证实：BD平分ZABC,Z1=Z2,DF/BC,Z2=Z3,Z1=Z3,BF=DF.同理：DE=CE.EF=DFDF,EF=BF

12、CE.16?i牟：(1)如图,过点C作CM,AB,交AB的延长线于点M;作CNAD,垂足为N,AC平分ZDAB,CM=CN又ZABC+ZADC=180,ZMBC+ZADC=180ZNDC=ZMBC,在NDC与公MBC中ZDNC=ZBMC,ZNDC=ZMBCCN=CMBC=DC(2)如图,延长AB至UB,使BB=ADAB+AD=AC,.AB=AC由1知ZADC=ZBBC;在公ADC与公BBC中DC=BCZADC=ZEBCADBE?ADCBAEBC,故AD=EC又AE=AC,AAE=AC=EC故公ABC为等边三角形,？?/CAB=60;?BAD=120,/BCD=360-180-120=60即BC

13、D=6017?B:(1)BDG与四边形ACDG的周长相等,?BD+BG+DG=AC+CD+DG+AGD是BC的中点?BD=CD?.BG=AC+AGBG+(AC+AG)=AB+AC,11?BG=(AB+AC)=(b+c)22证实：点D.F分别是BC、AB的中点1111DF=AC=b,BF=AB=c又FG=BG1BF=2(b+c)-11c=b22?DF=FG?/FDG=/FGD点D.E分别是BC、AC的中点,?DB/AB,?/EDG=/FGD,?/FDG=/BDG,即DG平分/EDF18.解：CD的长度不变理由如下：如图,延长CB和PA,记交点为点Q/BPC=/BPA,BCBP?QB=BC等腰三角

14、形“三合一的性质BAMN,CDMM?AB/CD,?QABQDCAB/CD=QB/QC=1/2?CD=2AB=2X4=8即CD=8;19 .解：(1)存在.yACKHIr*川ryln户O(0,0)、A(5,0)、B(m,2)、C(m-5,2).?OA=BC=5,BC/OA,以OA为直径作D,与直线BC分别交于点E.F那么/OEA=/OFA=90,如图1作DGEF于G,连DB,贝UDB=OD=2.5,DG=2,EG=GF?DE=,DE2DG2=1.5?E(1,2),F(4,2),m54?当,即1mW9时,边BC上总存在这样的点P,使/OPA=90;m1(2)如图2,BC=OA=5,BC/OA?四边

15、形OABC是平行四边形?OC/AB,?/AOC+/OAB=180,OQ平分/AOC,AQ平分/OAB,?/AOQ=0.5/AOC,/OAQ=0.5/OAB,?/AOQ+/OAQ=90AQO=90以OA为直径作D,与直线BC分别交于点E.F,那么/OEA=/OFA=90,?点Q只能是点E或点F,当Q在F点时,OF、AF分别是/AOC与OAB的平分线,BC/OA?/CFO=/FOA=/FOC,/BFA=/FAO=/FAB,?CF=OC,BF=AB而OC=AB,?CF=BF,即F是BC的中点.而F点为(4,2),此时m的值为6.5,当在E点时,同理可求得此时m的值为3.5,综上所述,m的值为3.5或6.5.ABCD分割成一个等腰梯形20 .解：(1)如图,过点D作DEBC交PB于点E,那么四边形BCDE和一个三角形ADE;匚sV-c(2)AEBQABPDE,BDEC;QAEPDC,ABAE.Q在公ABE和公DEC中,BDECABEDECBEECAEDC,AEBCABBEDCEC./BFE=/CHE=90/ilQAE平分ZBAD,DE平分ZADC,EF=EG=EH,在RtAEFB和RtAEHC中,BE=CE,EF=EH,RtAEFB也RtAEHC(HL)Z3=Z4.QBE=CE,Z仁Z2.Z1+Z3=Z2+Z4,即ZABC=