2协整的JJ检验

1、JJ协整检验在本书§2.5中，已经介绍了协整理论。协整理论是动态计量经济学模型的理论基础，正是由于变量之间可能存在的协整关系，才可能将自回归分布滞后模型变换为具有误差修正机制的误差修正模型。在§2.5中已经介绍了单整的DF检验和ADF检验，以及检验两个同阶单整变量之间是否存在协整的EG检验(Engle和Granger于1987年提出两步检验法)。这里着重介绍多重协整检验，即检验多个具有同阶单整变量之间是否存在协整关系。也可以用EG检验法检验多个具有同阶单整变量之间是否存在协整关系。在其第一阶段，需要设计许多线性模型进行OLS估计，应用很不方便。Johansen于1988年，

2、以及与JuseliusJohansen检验，或一起于1990年提出了一种用向量自回归模型进行检验的方法，通常称为JJ检验，是一种进行多重协整检验的较好方法。1. JJ检验的原理§ 1.5 (6.2.27)所示的没有移动平均项的向量自回归模型表示为：yt其中=：'-1yt,7.pyt.(6.4.7)Y1ty1t_1y1t3y2tytAy2tay2t_pyMt_p:,二111-,.；t112：11Mp11p12p1M：二121:二122：二12Mp21p22二工p2M,：1M1.、1M2-pM1>2t1t2tSt(6.4.8)(6.4.8)进行差分变换可以得到下式表示的模(

3、6.4.9),产M士为了简便，改写为：pyt-'j£如果yt表示M个I(1)过程构成的向量，对型：pyt二工Jj卜ny一；tj壬由于I(1)过程经过差分变换将变成I(0)过程，即(6.4.9)中的Ayt、的11(j=1,2,，p)都是I(0)变量构成的向量，那么只有nyj是i(o)变量构成的向量，即y1t4,y2，yMt之间具有协整关系，才能保证新生误差是平稳过程。如果R(n)=M,显然只有y”，y2tH，yM1都是I(0)变量，才能保证新生误差是平稳过程。而这与已知的yt为I(1)过程相矛盾。所以必然存在r(H)cm。如果R(n)=0，意味着n=0,因此(6.4.9)仅仅是

4、个差分方程，各项都是(0)变量，不需要讨论yit,，y2t山，yMt,之间是否具有协整关系。如果R(n)=r(0<r<M),表示存在r个协整组合，其余Mr个关系仍为I(1)关系。在这种情况下，口可以分解成两个(MMr)阶矩阵a和P的乘积：二二:(6.4.10)其中R(C(,)=r,R(P)=r。将(6.4.10)代入(6.4.9),得至U:p:yt="：j.：yt一：三，yj-,t(6.4.11)j±该式要求y、t,为一个(0)向量，其每一行都是一个(0)组合变量，即每一行所表示的yu，y2tL，yMt,的线性组合都是一种协整形式。所以矩阵P'决定了y1

5、u,y2tL，yMj之间协整向量的个数与形式。所以B,称为协整向量矩阵，r为系统中协整向量的个数。矩阵a的每一行0是出现在第j个方程中的r个协整组合的一组权重,故称为调整参数矩阵。当然容易发现，口和P并不是唯一的。于是，将yt中的协整检验变成对矩阵n的分析问题。这就是JJ检验的基本原理。2. JJ检验的预备工作Johansen于1988年提出的检验方法必须进行如下步骤的预备工作:第一步：用OLS分别估计(6.4.12)pyt=''jyt-1j土中的每一个方程，计算残差，得到残差矩阵第二步：用OLS分别估计pyy='-jyt_j'j土中的每一个方程，计算残差，得到

6、残差矩阵第三步：构造上述残差矩阵的积矩阵：S0,为一个(MXT)阶矩阵。(6.4.13)S1,也为一个(MXT)阶矩阵。R00R10第四步:-1二TS0S=T飞1sR01R11-1=TS0S11=TS1S1(6.4.14)计算R10R00-R01关于R11的有序特征值和特征向量。特征值即为特征方程(6.4.15).1R11-R10R00R01的解，12九1A主Lr主之九M之0，构成对角矩阵A;对应的特征向量卞成的矩阵为B,则有(6.4.16)1R11B=R10R00R01B其中B由下式正规化：BR11B=I第五步：设定似然函数。当口无约束时，(6.4.15)的M个特征值都保留，其对数似然函数依

7、赖于：1 二、-T'ln1i)(6.4.17)2 i±但当R(II)=r(0<r<M)时，对数似然函数是r个最大的特征值的函数：1一T-ln1-i）（6.4.18）3 iN3. JJ检验之一一特征值轨迹检验如果r个最大的特征值给出了协整向量，对其余M_r个非协整组合来说，,上儿.r-1,，M应该为0。于是设零假设为：Hr:有M_r个单位根，即有r个协整关系。备择假设为无约束。检验统计量为：M"（Mr）=T£ln（九Jr=0,1,2，M1（6.4.19）i=1服从Johansen分布。当r=0,1,2，M-1时可以得到一系列统计量值：n（M）,n

8、（M_i），j（i）。依次检验这一系列统计量的显著性。当“（M）不显著时（即n（M）值小于某显著T水平下的Johansen分布临界值），不拒绝H0（即不拒绝r=0）,说明有0个协整向量（即不存在协整关系）；当n（M）显著时（n（M）值大于某显著T水平下的Johansen分布临界值），拒绝H0而接受H1,此时至少有1个协整向量，必须接着检验n（M1）的显著性。当“（M-1）不显著时（即H（M-1）值小于某显著TfcK平下的Johansen分布临界值），不拒绝H1（即不拒绝r=1）,说明有1个协整向量（即存在1种协整关系）；当“（M-1）显著时（n（M1）值大于某显著TfcK平下的Johansen

9、分布临界值），拒绝H1而接受H2,此时至少有2个协整向量，必须接着检验力（M2）的显著性。，一直检验下去，直到出现第一个不显著的n（Mr）为止，说明存在r个协整向量。这r个协整向量就是对应于最大的r个特征值的经过正规化的特征向量。（6.4.（19） 验统计量被称为特征值轨迹统计量，于是上述检验被称为特征值轨迹检验。特征值轨迹检验临界值见表6.4.1。4. JJ检验之一'最大特征值检验另外一个类似的检验的零假设为：Hr:有M-r个单位根，即有r个协整关系。备择假设为有M-r-1个单位根。检验统计量为基于最大的特征值九r的：（r-1）=-TlnQ-r）（6.4.20）该统计量被称为最大特征

10、值统计量。于是该检验被称为最大特征值检验。检验从下往上进行，即首先检验统计量二（0）。如果统计量二（0）不显著，即二（0）值小于某显著性水平下的Johansen分布临界值，则不拒绝H0（即不拒绝r=0）,说明有0个协整向量（即不存在协整关系）；如果统计量U（0）显著，即U（0）值大于某显著性水平下的Johansen分布临界值，则拒绝有0个协整向量的H0，接受至少有1个协整向量的备择假设，必须接着检验（1）的显著性。如果统计量二（1）不显著，即二（1）值小于某显著TfcK平下的Johansen分布临界值，则不拒绝H0（即不拒绝r=1）,说明有1个协整向量；如果统计量。显著，即七（1）值大于某显著

11、性水平下的Johansen分布临界值，则拒绝有1个协整向量的H0,接受至少有2个协整向量的备择假设，必须接着检验二（2）的显著性。，一直检验下去，直到出现第一个不显著的，r-1）为止，说明存在（r1）个协整向量，拒绝至少有r个协整向量的备择假设。这（r1）个协整向量就是对应于最大的（r-1）个特征值的经过正规化的特征向量。最大特征值检验临界值见表6.4.1。注意临界值的选取与M、r有关。例如，如果M=2,即变量数为2;T=40。求得到的两个特征值（按照从大到小的顺序排列）为：儿0=0.50，九1=0.10。由（6.4.20）求出的最大统计量为：（0）-40ln（1-0.50）=27.73（1）

12、=-40ln（1-0.10）=4.21首先检验统计量。（0）,此时应该选择对应于M0=2的临界值14.595（给定显著性水平为95%）。因为27.73>14.595,所以统计量。（0）显著，则拒绝有0个协整向量的H0,接受至少有1个协整向量的备择假设，必须接着检验匚（1）的显著性。选择对应于M1=1的临界值8.083（给定显著性水平为95%）,因为4.21<8.083,表示统计量匚（1）不显著，则不拒绝H0（即不拒绝r=1）,说明有1个协整向量。如果M=3,即变量数为3,则在进行统计量。（0）显著性检验时，应该选择对应于M0=3的临界值21.279（给定显著性水平为95%）。表6.

13、4.1由Johansen和Juselius于1990年计算得到。表6.4.1Johansen分布临界值表统计量50%80%90%95%97.5%99%均值方差最12.4154.9056.6918.0839.65811.5763.0307.024大27.47410.66612.78314.59516.40318.7828.03012.568特312.70716.52118.95921.27923.36226.15413.27818.518征417.87522.34124.91727.34129.59932.61618.45124.163值523.13227.95330.81833.26235.70038.85823.68029.000特2.4154.0956.6918.0839.65811.5763.0307.0