矩阵的对角化及其应用

1、 湖北民族学院理学院2016届本科毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用学生姓名： 赵远安 学 号： 021241015 专 业： 数学与应用数学 指导老师： 刘先平 答辩时间： 2016.5.22 装订时间： 2016.5.25 A Graduation Thesis (Project)Submitted to School of Science, Hubei University for NationalitiesIn Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2016Diagonalization of

2、 the Matrix and its ApplicationsStudent Name: ZHAO Yuanan Student No.: 021241015 Specialty: Mathematics and Applied Mathematics Supervisor: Liu Xianping Date of Thesis Defense:2016.5.22 Date of Bookbinding: 2016.5.25 摘 要矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等. 矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵

3、进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题. 本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式IIAbstractThe matrix is an important tool in college mathematics, and can simplify the description language base

4、d on the application of matrix in many ways. So it is easier to understand in many fields, for example, linear equations, quadratic equations. In many characteristics, the matrix similarity is an very important aspect. We know that the matrix similarity is an equivalence relation by which we can cla

5、ssify matrix, the diagonal matrix is very important. This kind of matrix has good properties, and it is convenient for us to solve other problems, such as the application of similar matrix in linear space. In this paper, we first discuss many necessary and sufficient conditions of diagonalization of

6、 matrix and then give some applications of special matrix diagonalization.Key words: diagonal matrix，real symmetric matrix，idempotent matrix，involutory matrix，the eigenvaule，the feature vector，minimal polynomial 目 录摘要III绪言1课题背景1目的和意义 1国内外概况 1预备知识2相关概念2矩阵的对角化4特殊矩阵的对角化 14矩阵对角化的应用 22总结 24致谢 25参考文献 26独创

7、声明 281 绪言本课题研究与矩阵的对角化相关的问题，从对角化的判定展开论述，结合其它学术期刊的结论加上自己的体会，希望能让读者更好的理解矩阵及其对角化的妙处.1.1 课题背景在由北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编、王萼芳与石生明修订、高等教育出版社出版的高等代数一书中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念. 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不

8、同的、表面上完全没有联系的问题，归结为矩阵问题以后却是相同的. 在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在向量空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、矩阵及若尔当标准型.本文主要由矩阵定义和向量空间研究矩阵的对角化，从不同角度揭示矩阵对角化的判定及其性质，还给出特殊矩阵的对角化及其相应的应用.1.2 课题研究的目的和意义课题研究的意义：(1) 研究矩阵对

9、角化的判定定理及应用，为其它学术研究提供便捷的工具；(2) 比较全面的介绍矩阵的对角化，方便读者的整体理解和应用；1.3 国内外概况 实数域、复数域等数域上的矩阵的对角化研究已经很成熟，涉及特征值、最小多项式、线性变换方面的对角化证明也已完善，四元素体上矩阵的广义对角化也有小有成就，矩阵对角化与群环域的结合方面的研究也有所突破. 实对称矩阵、正交矩阵、分块儿矩阵的对角化已完善，矩阵的应用也渐渐出现在更多的学科和科研当中. 矩阵的同时对角化、同时次对角化，以及对角化与秩的恒等式等方面的研究基本完善.2 预备知识 给出本文内容所涉及的一些定义，方便对后面定理证明的理解. 定义1 常以表示数域上矩阵

10、的全体，用表示单位矩阵. 定义2 阶方阵与是相似的，如果我们可以找到一个阶非奇异的方阵矩阵，使得或者 . 根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：反身性：； 对称性：若相似于，则相似于； 传递性：如果相似于，相似于，那么相似于. 定义3 阶方阵与是合同的，如果我们可以找到一个阶非奇异方阵，使得=或者. 根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：反身性：=；对称性：由即有；传递性：由和有. 定义4 式为的阶方阵叫对角矩阵，这里是数（. 定义5 方阵，若，T非奇异，是对角阵，则称可相似对角化. 定义6 方阵，若，T非奇异，是对角阵，则称可合同对角化. 定义7 矩阵的初等变换：互换矩

11、阵的第行(列)于行(列)； 用非零数乘以矩阵第行(列)；把矩阵第行的倍加到第行. 定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三种初等矩阵：单位矩阵经过初等变换得且；单位矩阵经过初等变换得且；单位矩阵经过初等变换得且. 定义9 设方阵，若，就称为对合矩阵. 定义10 设方阵，若，就称为幂幺矩阵. 定义 11 设方阵，若，就称为幂等矩阵.定义 12 设方阵，若存在向量，满足，我们就称是的特征值，是属于特征值的特征向量. 定义13 ，定义为矩阵的最小多项式 ，的一个根为而且比其他以为根的多项式的次数都低，首项系数是1. 3 矩阵的对角化本章介绍数域上阶方阵阵的对角化问

12、题. 先给出矩阵对角化几个一般的充要、充分条件及其证明. 引理1 如果，是矩阵Q的不同的特征值，而，是属于特征值的线性无关的特征向量，,，那么,，,，也线性无关.证明：假设=0，令+=，则 （），且 =0 （1）分别用左乘以（1）两端，再由引理4得：，（;),由此有 该线性方程组的系数矩阵为，为范德蒙行列式，又由互异有.根据克拉默法则就有，即+=0，再由线性无关得： ，故线性无关. 推论1 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 定理1 与对角阵相似有个特征向量，它们是线性无关的.证明：可以对角化可逆矩阵，使得，即=（）.因此可以对角化存在（）使得，也即有个线性无关的特征向量. 根据这个定理判

13、定一个方阵是否可以对角化，必须从求解这个矩阵的特征多项式入手，虽然很直接，但考虑其计算量很大，加之特征值与特征向量只能分开求解，下面会介绍更简便的方法.推论2如过方阵有个不同的特征值，那么该矩阵可对角化.证明：由Q有个不同的特征值及引理1的推论有Q有个线性无关的特征向量，再由定理1即有Q可以对角化. 注意：该推论为对角化的充分条件. 定理2 （互不相同）是的特征值， 可对角化 （r表示矩阵的秩）. 证明：的基础解系的一组基向量的个数为：，我们可以得到关于的线性无关的特征向量的个数是（，再由引理1推出矩阵有个线性无关的特征向量. 根据定理1就有：阶方阵可对角化有个线性无关的特征向量 =， .定理

14、3 与对角矩阵相似的充要条件：且(表示的代数重数). 证明：设的线性无关的特征向量为，由引理1有：线性无关. 若，那么Q就有个线性无关的特征向量可以对角化. 若与对角矩阵相似，则Q的属于不同特征值的特征向量总数一定为. 否则根据定理1就可以推出线性相关，矛盾. 相较于定理1，定理3的优点在于判定一个矩阵是否可以对角化着点于特征向量的重数，方便了许多，也易于计算. 下面利用定理1结合矩阵的秩给出矩阵可对角化的另一判别方法.引理2 设阶方阵，则有. 证明：先证(2). 根据矩阵秩的定义有 阶矩阵的线性无关的行数 方阵的线性无关的行数方阵的线性无关的行数 .对方阵矩阵，由(2)式有，所以. 引理3

15、对于阶方阵有.证明：先证（3），其中为任意阶方阵.显然当中有一个为时结论成立；另设，则有阶子式，有q阶子式.于是有阶子式 ,因此. 要证，只需证明： 运用分块矩阵的初等变换有： ，有初等变换不改变矩阵的秩以及式(3)有： .另证：令，则存在可逆矩阵使得=，若令 =,则以及=. 又因为任意矩阵左乘以与其行数相等的非奇异方阵或者右乘以与其列数相等的非奇异方阵不改变这个矩阵的秩，因此 =() = r(AB)+r(H) . 引理3的一般形式：（希尔维斯特不等式）设，分别为矩阵，则 . 证明：要证只需证明 ,因为分块矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩，而 ，也即，再有定理(3)就得.推论3设为数域上的阶方阵

16、，则. 定理4 设阶方阵，且，则可对角化.证明：由，有矩阵的特征值为或，根据引理2，引理3得：，从而的特征向量(线性无关)共有个.由定理1即得矩阵可对角化.定理 设n阶方阵,两两互不相等，若则与对角阵相似.证明：根据有的特征值在中取得. 再由引理3的推论有,从而方阵的线性无关的特征向量的个数为. 又因为，故方阵的线性无关的特征向量的个数为，由此矩阵可对角化.推论4在定理4的前提条件下我们可以得到如下结论：.定理4是判定矩阵相似与对角矩阵的充要条件，若矩阵阶数较高，计算量依然很大，特征值仍然需要计算，下面给出类似于定理4的充要条件. 定理5 设（互不相同）是的的特征值，重数分别为且，可对角化.证

17、明：先证明必要性与=相似，则存在非奇异矩阵满足，其中为阶单位矩阵，于是=，从而有.由于，因此. 再证充分性：对于n阶矩阵，存在可逆矩阵，使得，是Jordan块，若，Q就可以对角化，而，.所以，若，则因可逆有，又因为当时，可逆，所以，即. 引理4 ,是的关于特征值的特征向量，我们有（不全为0，）也是的关于的特征向量.证明：已知，则，也即，因此，又不全为0，因此，由特征向量的定义有是矩阵的属于特征值得特征向量.定理6 (互不相同)是阶矩阵的所有特征值，它们的代数重数依次是，则方阵与对角矩阵相似,.证明：先证必要性.可对角化存在可逆矩阵使得，从而，其中为阶0矩阵，为阶单位矩阵（. 因可逆，且，所以有

18、. 再证充分性：用反证法. 假设方阵不与对角矩阵相似，由几何重数代数重数得：至少存在一个整数，使得，于是当时，由引理3有.矛盾，假设不成立，故与对角矩阵相似.定理7 (互不相同)是n级方阵的所有特征根，若对任意满足,则矩阵与对角矩阵相似.证明：设的重数分别为，由定理(高等代数第三版，高等教育出版社)得：，再有引理3的推论就有. 对任意正整数，有，因此.从而有方阵的线性无关的特征向量的个数为.又，从而的线性无关的特征向量的个数小于或等于，因此共有个线性无关的特征向量，再根据定理1就有矩阵与对角矩阵相似. 接下来介绍最小多项式在矩阵对角化中的应用.定理8 n阶方阵与对角矩阵相似矩阵的最小多项式无重

19、根.证明：先证必要性.和对角阵相似存在非奇异矩阵，满足，从而有，令是方阵的互不相同的特征值,记 =.因为 =.又 .所以，于是，然而无重根，故无重根.再证充分性：的互不相同的根是，由无重根就有： ，于是.令，则的特征子空间的维数为，因此总共有个线性无关的特征向量，且. 又因为，故 .从而，也即矩阵有个线性无关的特征向量，由定理1就得可以对角化. 4某些特殊矩阵的对角化 4.1 实对称矩阵的对角化问题 实对称矩阵这种矩阵很特别，在诸多方面的到运用，如常用来研究对称变换，对线性变换进行分类.而研究对称矩阵的对角化，是进行分类的初步.引理5 每一个阶复矩阵都存在一个上三角矩阵与其相似，并且上三角矩阵

20、主对角线上的元素为复矩阵的特征值.对任意，可逆矩阵，使得，其中是矩阵的特征值.引理6 实对称矩阵的特征值为实数.证明：设实对称矩阵的一个特征值，则存在非零向量，满足 .令，称为的共轭复数，则.观察下面式子，上式左边等于，右边等于，故 =又 ，故，即是一个实数. 引理7 设为实方阵，我们有如下结论：在实数域上相似在复数域上相似. 证明：必要性显然，下面证明充分性. 在复数域上相似n级可逆复矩阵，使得. 令，则.所以对任意属于都有 (4) 记(实数系多项式)，因为，所以.因此，有有限个实数根，则存在属于，使得. 由(4)式得, 也即在实数域上相似. 定理9 级实对称矩阵的特称根全是实数存在正交矩阵

21、，满足，是上三角矩阵. 正交且特征值全是实数是对称矩阵.证明：先证明必要性，根据引理5有，存在可逆矩阵，使得.再根据引理7，矩阵如果在复数域上相似则一定在实数域上相似，因此可以令为实矩阵，乃正交矩阵，是上三角矩阵且主对角上元素全是实数，于是就有由是上三角矩阵知他的逆也是上三角矩阵，再由上三角矩阵之积仍然是上三角矩阵知为上三角矩阵. 再证充分性：为阶实矩阵，且存在正交矩阵使得为上三角矩阵，即，由此易知为实数且为的特征根. 由容易得到为上三角矩阵(Q是正交矩阵)，又正交矩阵的积为正交矩阵，从而为正交矩阵. 因而，但是是上三角矩阵，而为下三角矩阵，故必为对角矩阵.从而，也即为对称矩阵. 引理8 设是

22、对称变换，是子空间，则的正交补也是子空间. 定理10 对任意级实对称矩阵，存在阶正交矩阵，使得为对角矩阵. 证明定义是与对应的对称变换，只要证有一组标准正交基（n个向量组成）.下面用数学归纳法进行证明.当时结论明显成立.假设对结论成立. 对n维欧氏向量空间，为线性变换的一个特征向量，对应的特征值是. 将单位化，并记为，再作的生成向量空间的正交补，记为，由引理8有是对称变换的不变子空间，他的维数为，显然限制在上仍然是对称变换，根据假设有特征向量做成的标准正交基，从而使的标准正交基，又是的个特征向量.根据归纳假设定理得证.例4.1 已知，求正交矩阵使得为对角矩阵.解：第一步，求矩阵的特征值. 由

23、由此有1（3重），-3为的特征值. 第二步，求特征值1对应的特征向量. 将带入下式 （5） 得基础解系为，.将基础解系正交化，得，.再将上式单位化，有，.上式为属于特征值1（三重）的三个标准正交特征向量.同理可求得特征值-3的标准正交特征向量为.特征向量构成的一组标准交基，所求正交矩阵，此时. 4.2幂等矩阵定理11幂等矩阵与对角矩阵相似.证明：根据有，矩阵的最小多项式整除. 因无重根，由引理5 就有无重根，再由定理8就得矩阵可对角化. 4.3对合矩阵定理12对合矩阵可对角化.证明：，易知=0无重根，根据引理5得无重根，再根据定理8，能够对角化. 4.4幂幺矩阵引理9 是矩阵的任一特征根是的最

24、小多项式的根.证明：用反证法假设是矩阵的特征根而不是其最小多项式的根，则有，故存在多项式，使得 ，将带入上式有 ，即有 .所以可逆（即），与是矩阵的特征根矛盾.故假设不成立，定理得证. 定理13幂幺矩阵与对角矩阵相似.证明：因为，所以矩阵的最小多项式整除（m为正整数），而无重根，根据引理9就得无重根，再由定理8即得矩阵与对角矩阵相似.注意：幂幺矩阵与对角矩阵相似，其中.4.5矩阵的逆、伴随矩阵的对角化定理14能够对角化可对角化.证明：(I)根据题设条件，存在非奇异矩阵满足 由矩阵可逆就有，从而,从而与对角矩阵相似. (II)由得从而也与对角矩阵相似. 4.6某些正交矩阵的对角化 4.6.1二阶

25、正交矩阵的对角化问题设是正交矩阵，根据正交矩阵的性质就有 ，从而二阶正交矩阵有两种形式或. 定理15若，则矩阵与对角矩阵相似.证明：的特征多项式为 由得矩阵的特征值为.当时，容易得到，故正交矩阵有两个不同的特征值，容易看出此时正交矩阵有两个线性无关的特征向量，由定理1即有正交矩阵可对角化.当，即时，或，此时正交矩阵显然与对角矩阵相似.定理16若 ，那么与对角矩阵相似.该定理的证明与定理类似，在此不做赘述.4.6.2几类三阶正交矩阵的对角化定理17正交矩阵可对角化.证明：由是正交矩阵可得，.当时，.i)当时，矩阵有三个不同的特征值，分别为，.由定理1可得矩阵可对角化. ii)当时，或.若，则，显

26、然可对角化.若，则，显然可对角化.当时，.从而的特征值为（二重），由定理5或7得可对角化.定理18若三阶正交矩阵中只有三个非零元素，那么与对角矩阵相似. 共有下面6种形式： 证明 (1)显然可以对角化. (2)，则.当时，有特征值或，根据定理1，可对角化.当时，有特征值-1（二重），1，根据定理7，可对角化.其它形式可模仿(2)进行证明. 5矩阵对角化的应用本节主要讨论可对角化矩阵的应用问题，很多时候我们利用对角化后的矩阵会极大简便我们的计算，方便我们理解和处理比较复杂的问题.5.1求方阵的高次幂一般来说，求矩阵的高次幂最简单的方法便是根据矩阵乘法的定义进行傻瓜式的计算，像这样的计算除非进行编

27、程用计算机进行计算，人工计算会花费大量时间，还很容易出错. 但是针对可以对角化的矩阵，我们利用矩阵相似的性质便会大大简化计算过程，而且不易出错，用这种方法进行编程计算也会方便很多. 下面先介绍这种方法的原理.定理19若，这里为的特征值，T非奇异，则，其中m为正整数.这个定理是矩阵相似应用的特殊情况，一般来讲，若，那么.其中m为正整数，为数域上的任意矩阵.例2 求.解：由得，.容易求得他们对应的特征向量分别为，故.从而=.5.2利用特征值求行列式的值例3 已知级实对称幂等矩阵的秩为，求行列式.解：为幂等矩阵，即，从而的特征值为或0，再由是实对称矩阵，所以与对角矩阵相似，从而，这里可逆，为的秩，为

28、单位矩阵.故.6总结前面初步介绍了判定某个数域上矩阵是否对角化的一些充分必要条件和充分条件，但是判定条件也不局限于文中所给出的. 文中给出了大部分定理的证明，内容较多，需要较广的知识面才能理解；还给出一些特殊矩阵的对角化也只是涉及很少的点，其它方面需要读者根据自己研究的领域进行总结；还给出两点矩阵对角化的具体应用，仍然涉猎较少，只是起一个引导作用. 矩阵的对角化定义还能推广以及在群、域等上面的对角化判定也有所不同，希望广大读者倾注时间在这方面的研究.致 谢在论文完成之际，我首先要向我的指导老师刘先平老师和詹建明老师表示最真挚的谢意. 这篇论文从选题、查阅资料到截稿，我花了三个多月. 在此期间，

29、詹老师和刘老师给我推荐选题以及资料，不厌其烦的解答我所有的疑问，他们严谨治学和蔼可亲的态度将一直影响我.参考文献1 刘九兰,张乃一, 曲问萍主编. 线性代数考研必读.天津:天津大学出版社，20002 谢国瑞主编，线性代数及应用. 北京:高等教育出版社，19993 张学元主编，线性代数能力试题题解. 武汉:华中理工大学出版社，20004王萼芳，石生明. 高等代数M. 北京:高等教育出版社,，20075周明旺，关于矩阵可对角化的一个充要条件J. 通化师范学院学报，2007，(28):10- 116杨子胥，高等代数M. 济南:山东科学技术出版社，2001.7曲春平，矩阵可对角化的充分必要条件J. 辽

30、宁省交通高等专科学校，2003，(5):51- 528贺福利，万小刚，许德云. 关于矩阵可对角化的几个条件J. 高等函报，2004，17(1):14- 16 9王萼芳，石生明，高等代数M. 北京:高等教育出版社，198810徐刚，于泳波，对合矩阵探讨J. 高师理科学刊，2008，28(1):37- 3813钱吉林，矩阵及其广义逆M. 武汉:华中师范大学出版社，1988.14 周永佩，Jordan标准型定理的一种证法J. 中国科学技术大学学报，1990，15(4)，1991(12):34-3715NerignED. 1988. LinearlAgebraandMatrixtheory. Znd.

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