第四章控制系统的根轨迹法

1、1第四章 控制系统的根轨迹法 2根轨迹概念 根据系统的零极点分布可间接地研究控制系统的性能。在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方法称为根轨迹法。q根轨迹的类型：常规根轨迹：包括180度等相角根轨迹和零度等相角根轨迹。轨迹增益kg从0变化到无穷大时的根轨迹称为180度根轨迹； kg从0变化到负无穷大时的根轨迹称为0度根轨迹。参量根轨迹：除了根轨迹增益kg以外其他参数变化时的根轨迹。当然包括0度和180度根轨迹。q根轨迹定义：开环系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面上变化的轨迹。3180度等相角根轨迹方程当开环传递函数表示成零、极点形式时,有： jnjimigPsz

2、sksG11gk式中， 为开环系统的根轨迹增益，zi为开环零点，pj为开环极点。可写为以下两个方程，即幅值条件和相角条件：相角条件：1218011kPszsjnjimi), 2, 1, 0( ,k111jnjimigPszsk幅值条件：根轨迹方程： 111jnjimigPszsk(kg0)4180度等相角根轨迹绘制法则 连续性和对称性：连续且对称于实轴。 根轨迹支数，起点和终点：支数为阶数n；起点为开环极点，终点为开环零点(有限零点m个和无限零点n-m个)。 根轨迹的渐近线(有n-m条)： 倾角和与实轴的交点分别为：mnka12) 1.,2 , 1 , 0(mnkmnzPimijnja11,实

3、轴上的根轨迹：其右方开环系统的零点数和极点数的总和为奇数。 5 出射角和入射角 ：）（）（矢量幅角从其他零点到该极点的矢量幅角从其他极点到该极点的出射角）（）（矢量幅角从其他零点到该零点的矢量幅角从各个极点到该零点的入射角会合、分离点和分离角：dsgdsNsDksDsNsDsN|)()(0)()()()(180,分180度等相角根轨迹绘制法则(续)6180度等相角根轨迹绘制法则(续) 与虚轴的交点 :（1）在劳斯表中，令s1行系数全等于零，用s2行的系数构成辅助方程，就可求出这一对虚根，即根轨迹与虚轴的交点。同时，还可求出此时的根轨迹增益。（2）将 代入闭环特征方程，并令特征方程的实部和虚部分

4、别等于零，可求出根轨迹与虚轴的交点和根轨迹增益。js若满足 ,闭环系统极点之和等于开环系统极点之和，且为常数。表明，随着kg增大，一些根轨迹左移，而另一些根轨迹必向右移。 2 mn闭环系统极点之和7参量根轨迹的绘制 绘制根轨迹时，如果可变参数不是kg，而是其它参数时，称为参量根轨迹。参量根轨迹绘制方法： 对1+Gk(s)=0，即闭环特征方程进行等价变换，将其转化为1+pGk1(s)=0的形式。其中p是可变参数。 Gk1(s)是等效的开环传递函数，p是可变参数。根据p的取值范围的不同(大于0或小于0)，可画出以p为参数的180度或0度根轨迹曲线。8增加开环零极点对根轨迹的影响 增加开环零点对根轨

5、迹的影响（1）一般可使根轨迹向左半s平面弯曲或移动，增强系统的相对稳定性，增大系统的阻尼。（2）改变渐近线的倾角，减少渐近线的条数。增加开环极点对根轨迹的影响（1）一般可使根轨迹向右半s平面弯曲或移动，降低系统的相对稳定性，减小系统的阻尼。（2）改变渐近线的倾角，增加渐近线的条数。9利用根轨迹分析系统性能 利用根轨迹可确定使系统稳定的参数范围根轨迹处于s左半平面部分的系统是稳定的。 瞬态性能分析 闭环系统的零、极点和瞬态响应的关系在前面已讨论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。 利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环

6、主导共轭复数极点的高阶系统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域满足的性能指标为：10利用根轨迹分析系统性能(续)%100%100%21ctgeecos和)(33为极点实部nst若闭环极点落在左图中红线包围的区域中，有：3%sctgte和利用这一关系可确定满足一定性能指标要求的开环系统的一些参数。 稳态性能分析：稳态误差与开环传递函数有关，根据根轨迹图能够确定系统的开环传递函数。11应掌握的内容 180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系

7、统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。12例4-1系统的开环传递函数为：当A和kg取不同值时，绘出的根轨迹是什么类型的根轨迹。)3)(2(1)(sssAsksGgk解分以下几种情况说明： Kg为常数，A为变数时，为参量根轨迹； A为常数，kg为变数时，为常规根轨迹（包括180度和0度根轨迹）； 当kg0时，若A0，则为180度根轨迹；若A0，为0度根轨迹。 当kg0，则为0度根轨迹；若A0，为180度根轨迹。13q 画根轨迹 分离（会合）点分别为-2.9

8、3和-17.1，分离（会合）角为90度。根轨迹为圆，如右图所示。45例4-2已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算当增益k为何值时，系统的阻尼比 是 ，并求此时系统的闭环特征根；（3）分析k对系统性能的影响。 510sssksG2114q当 时，阻尼角 ，表示 角的直线为OB,其方程为 ，代入闭环特征方程整理后得：令实部和虚部分别为零，有解得由图可知当 时直线OB与圆相切，系统的阻尼比 ，特征根为 。 2245450521052kjkk0520105kkk5, 5k5k2155j15q 对于分离点 ，由幅值条件可知 对于会合点 ，有 由根轨迹图可知，当 时，闭环系统

9、有一对不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。当 时，闭环系统又有一对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。93. 2858. 093. 21093. 2593. 21k07.1714.2907.17100 .17507.172k858. 00 k14.29858. 0 k k14.294516例4-3控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变量时的根轨迹。)(sR)(sY)2(1ss1as解 系统的闭环传递函数为：1)2(1)(assss用不含参数a的项去除闭环特征方程的两边，有：闭环系统的特征方程为：01)2()(asss

10、sD1) 1(, 012122ssassas即画出以a为参变量的根轨迹：10aaa17例4-4系统的结构图如图所示。试绘制 的根轨迹。并说明闭环系统呈现欠阻尼状态时的开环增益范围。 0*k1*sk) 1(3sss)(sR)(sC解这里要画以k*参量根轨迹。系统的闭环传递函数为：3333)(*2*2*2*sskskssssksks闭环特征方程为：033*2*2sskskss等效为：132)3(2*ssssk等效开环零点为：0，-3等效开环极点为：21j18Root LocusReal AxisImag Axis-3-2.5-2-1.5-1-0.50-1-0.500.51例4-4（续1）19例4-4（续2）其分离回合点计算如下：22)(, 32)(32)(,3)(22ssD