2018年成人高考专升本高等数学考前复习重点分析

1、20182018 年成人高考专升本高等数学考前复习重点分析第一章函数、极限和连续 1.1函数一、主要内容函数的概念1.函数的定义:定义域：D(f),值域：Z(f).2 .分段函数：H；：出;3 .隐函数：F(x,y)=04 .反函数：y=f(x)一x=(Ky)=f-1(y)y=f-1(x)定理：如果函数：y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。函数的几何特性1.函数的单调性：y=f(x),xD,x1、x2D当 x1x2时， 若 f(x)f(x2),则称 f(x

2、)在 D 内单调减少()；若 f(x1)f(x2),则称 f(x)在 D 内严格单减少()。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x),x6(-,+)周期：T-最小的正数4.函数的有界性：|f(x)|0、a?1)5.对数函数：y=logax,(a0、a?1)6.三角函数：y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx7.反三角函数：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx复合函数和初等函数 1.复合函数：y=f(u),u=(

3、|)(x)y=fd(x),x6X 2.初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数3限一、主要内容;11.x0-xx0无穷大量和无穷小量1.无穷大量：lim|f(x)=+a称在该变化过程中 f(x)f(x)为无穷大量。X 再某个变化过程是指：2 .无穷小量：limf(x)=0称在该变化过程中f(X)为无穷小量3 .无穷大量与无穷小量的关系：定理：limf(x)=0ulim卜1)=g(f(x)#0)4 .无穷小量的比较：lima=0,limP=0若lim艮=0,则称(3是比较高阶的无穷小量；a若limE=c(c为常数)，则称(3与同

4、阶的无穷小量；若limE=1,则称B与是等价的无穷小量，记作：B;a若limE=?则称B是比较低阶的无穷小量。aL-t.X、fj定理：若：%除口202；,则：lim-=lim筌两面夹定理(1)数列极限存在的判定准则：设：ynMXnwZn(0=12、3)limynr.limzn二an.二n二n(2)函数极限存在的判定准则:设：对于点 x。的某个邻域内的一切点(点 x0除外)有：且：呵 g(x)二网 h(x)=A则：limf(x)=Axxx0极限的运算规则则:lim：xn=an)：且:若：limu(x)=A,limv(x)=B贝U：limu(x)-v(x)-limu(x)-limv(x)-A-B1

5、limu(x)v(x)=limu(x)limv(x)=AB2lim收=limu(x)&(linv(x)(linv(x)= =0)0)v(x)limv(x)B推论：limudx)一u?(x)一-un(x)Dlimcu(x)Dlimcu(x)=.=.climu(x)climu(x)一、主要内容函数的连续性1.函数在刈处连续：f(x)在 x。的邻域内有定义,1olm0y=lm0f(xx)-f(刈)=02olimf(x)=f(xlimf(x)=f(x0) )xx0左连续：xso-f(x)=f(x0)右连续：limf(x)=f(xlimf(x)=f(x) )xx1 .函数在处连续的必要条件：定理

6、：f(x)在 A A 处连续二f(x)f(x)在 x x0处极限存在2 .函数在几处连续的充要条件：limu(x)n=limu(x)n两个重要极限sinxsinxd d1.lim11.lim1x0 x x2.lim(11)x=exx(1)续limsin(x)=1：(x).0(x)1四0(1+ +x)x)x=e=e定理：limf(x)=f(xo)=limf(x)=limf(x)=f(%)xX0 x)X0-X_.X04,函数在*a,b】上连续：f(x)在a,b上每一点都连续。在端点a和 b 连续是指：limf(x)limf(x)= =f(a)f(a)左端点右连续；x_a-limf(x)=f(b)右

7、端点左连续。x_b-a+0b-x5.函数的间断点：若f(x)在 x x。处不连续，则x。为 f(x)的间断点。I/J间断点有三种情况：_X.J|10f(x)f(x)在 x0处无定义；，:；.2。limf(x)不存在；xx0730f(x)f(x)在 x0处有定义，且顺f(x)(x)存在，xx0但 limf(x)#f(xlimf(x)#f(x0)。xx0两类间断点的判断：1。第一类间断点：特点：limlim_ _f(X)和1 1imim+ +f f(x)都存在。xx0 xx0可去间断点：l叮1f(x)存在，但x,x0limf(x)f(x0),或f(x)在x0处无定义x-,x02。第二类间断点：li

8、m_f(x)和1 1imim+ +f f(x)至少有一个为-xrxxxx0特点:或理。f(x)振荡不存在函数在xo处连续的性质1.连续函数的四则运算:呵0f(x)Y(x):f(x。)一内。)limf(x)g(x)=f(x。)g(x。)xx0limf(x)f(x). .f(xf(x。)x,x0g(x)g(x。)三)函数在a,b上连续的性质无穷间断点：limf(x)limf(x)和 gf(x)x.X0一x，X0至少有一个为OOf(x)1.最大值与最小值定理:f(x)f(x)f(x)在a,b上一定存在最大值与最小值。设xim0f(x)=f(x。),网0gKAEX。)limg(x)#0XTxoJ2.复

9、合函数的连续性:则:limf(x)=flimx.xox-xo(x)=f(x。)3.反函数的连续性:-Ma)有界定理:f(x)f(x)在a,b上连续二f(x)f(x)在a,ba,b上一定有界。3,介值定理:f(x)在a,b上连续在(a,b)(a,b)内至少存在一点巴，使得：fC)=c,推论:f(x)在a,b上连续，且f(a)与f(b)异号=在(a,b)内至少存在一点使得：f(t)=0b)初等函数的连续性:初等函数在其定域区间内都是连续的f(x)2.1 导数与微分一、主要内容导数的概念1.导数：y=f(x)在xo 的某个邻域内有定义,f(x)-f(xo)右导数：门汽卜。xxo其内可导，且极限存在;

10、(或:f；(xo)=limf(x)xxo(六) .函数可导的必要条件：_rII1定理：f(x)在x xo处可导=f(x)在x xo处连续(七).函数可导的充要条件：定理：yx=o=f(x。) )存在=f1xo)=fxo),且存在。(八).导函数：y=f(x),x三( (a,b)f(x)在(a,b)内处处可导。f(x)(九).导数的几yf(xo)是曲线一元函数微分学2.左导数:f(xo)=limxxo-f(X) )-f(xo)x-xo定理:f(x)在/的左(或右)邻域上连续在则:f(xo)=limf(x)x-xo-iIM(xo,y。)处切线的斜率。求导法则1.基本求导公式:2 .导数的四则运算:

11、(u-v)=u-v(uv)=uvuv3 .复合函数的导数:(崇墨，或f(x):f(x)(x)注意f(x)与fx)的区别：f*(x)表示复合函数对自变量x求导;fd(x)表示复合函数对中间变量*(x)求导。4 .高阶导数：f(x),f(x),或f(3)(x)函数的 n 阶导数等于其 n-1 导数的导数。微分的概念1.微分：f(x)在X的某个邻域内有定义,其中：A(x)与&X无关，o0 x)是比&X较高o(x)阶的无穷小量，即：lim0 xx则称y=f(x)在X处可微，记作:2 .导数与微分的等价关系:oX0uuv-uvvv2(v10)定理：f(x)在X处可微=f(x)在x处可导,

12、且：f(x)=A(x)3 .微分形式不变性：不论 u 是自变量，还是中间变量，函数的微分dy都具有相同的形式。4 2.2 中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理1.罗尔定理：f(x)满足条件：yf(。f(x)工一V-aobbxx,X1|1II2.拉格朗日定理：f(x)满足条件:罗必塔法则：(0,-型未定式)0定理：f(x)和g(x)满足条件：limf(x)=0(或。0)oxa1limg(x)=0(或。0)；xa2o在点 a 的某个邻域内可导，且g(x)，0；30 x以裁hA，(或 8)则:limxa(二)f(x).g(x)limL)=A,x；a(:g(x)f()注意： 1o法则的意义： 把函

13、数之比的极限化成了它们导数之比的极限。1.0若不满足法则的条件，不能使用法则。0即不是 7型或一型时，不可求导。02.0应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。3.0若 f(x)和 g(x)g(x)还满足法则的条件，可以继续使用法则，即：4.0若函数是00产-8 型可采用代数变,八.00-0一形，化成0或一型；若是1,0产型可0采用对数或指数变形，化成 2 2 或二型。0导数的应用1.切线方程和法线方程：设：y=f(x),M(X0,y0) )切线方程：y-y0=f( (X0)()(x-X0) )i法线方程：y-y0(x-X0),(f(x0) )=0)f(x。) )2 .曲线的

14、单调性：3 .函数的极值：极值的定义：设f f(x)在(a,b)内有定义，”是(为功内的一点；若对于 x0的某个邻域内的任意点x*x0,都有：则称f（xo）是f（x）的一个极大值（或极小值）称x0为f（x）的极大值点（或极小值点）极值存在的必要条件：1o.f(x)存在极值f(x0)l0r,十4一定理：20f(xo)存在。Jf(%)=0Xo称为f（x）的驻点极值存在的充分条件:定理一:当X渐增通过X0时，f（x*（+）变（-）;_X.则f（X0）为极大值；当X渐增通过X0时，f（x）由（-）变（+）;则f（%）为极小值。10f（%）=0;f（%）是极值；定理二.20.f*（x0）存在。厂x是极值

15、点。若f”（Xi,则f（x。）为极大值；若f f（“）0 0, ,则f（%）为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4 .曲线的凹向及拐点：若f（x）0，xa,b）；则f（x）在（a a，b b）内是上凹的（或凹的），（U）;f“（X）0,Y（a,b）；则f f（x x）在（a a，b b）内是下凹的（或凸的），），（A A）；5。曲线的渐近线：水平渐近线:铅直渐近线:第三章一元函数积分学(1)不定积分一、主要内容重要的概念及性质：(9).原函数：设：f( (x) )，F( (x) )，ID若：F(x)=f(x)则称F F( (x) )是f( (x) )的一个原函数，并称F(

16、x)+C是f(x)的所有原函数，其中 C 是任意常数。(10).不定积分：函数f(x)的所有原函数的全体，称为函数f(x)f(x)的不定积分；记作：其中：f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；x称为积分变量。(11).不定积分的性质：(16)-f(x)dx=f(x)或：d1f(x)dx1f(x)dxf(x)dx=f(x)C或：df(x)=f(x)Cfi(x)f2(x)fn(x)dx一分项积分法kf(x)dx=kIf(x)dx(k 为非零常数)(12).基本积分公式：换元积分法：1.第一换元法：(又称“凑微元”法)常用的凑微元函数有：1odx=1d(ax)=1d(ax+b)(a,b为

17、常数，a=0)aa2oxmdx=dxm+1=-d(axm5+b)(m为常数)m1a(m1)3oexdx=d(ex)=1d(aex+b)ac14odxd(lnx)x5osindx二d(cosx)cosxdx=d(sinx),J/I16odx=d(arcsinx)-d(arccosx)(2)-x2(3).第二换元法：第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，其作用是将根式有理化。一般有以下几种代换：1ox=tn,n为偶数时,t0(当被积函数中有 ux 时)2ox=asint,(或 x=acosx),0Mtw:(当被积函数中有 Ja2-x2时)3ox=atant,(或x=acott),0-t7,(0t

18、-7)(当被积函数中有 Ja2+x2时)4ox=asect,(或x=acsct),0-tf,(0t-y)(当被积函数中有 Jx2a2时)分部积分法：(5).分部积分公式：(6).分部积分法主要针对的类型：3P(x)sinxdx,P(x)cosxdxP(x)exdxP(x)arcsinxdx,P(x)arccosxdxeaxsinbxdx,eaxcosbxdx其中：P(x)=a0 xn+aixn+an(多项式)(7).选 u 规律：在三角函数乘多项式中，令P(x)=u,其余记作 dv;简称“三多选多”。在指数函数乘多项式中，令P(x)=u,其余记作 dv;简称“指多选多”。在多项式乘对数函数中，

19、令 lnx=ulnx=u, ,其余记作 dv;简称“多对选对”。在多项式乘反三角函数中，选反三角函数为 u,其余记作 dv;简称“多反选反”。在指数函数乘三角函数中，可任选一函数为 u,其余记作 dv;简称“指三任选”。简单有理函数积分：P(x)1.有理函数：f(x)=-Q(x)其中 P(x)P(x)和 Q(x)Q(x)是多项式。2,简单有理函数:f(x)=P(x)1xf(x)=P(x)1x2f(x)二P(x)(xa)(xb)f(x)=P(x)(xa)2b3.2f(x)一.主要内容(一).重要概念与性质1,定积分的定义:Xi-i由 Xn-ibx定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几

20、何意义：是介于 x 轴，曲线 y=f(x),直线x=a,x=b 之间各部分面积的代数和。x 轴上方的面积 iIyx 轴下方的面积+a0-bx2,定积分存在定理:若：f(x)满足下列条件之一若积分存在，则积分值与以下因素无关:(6) .牛顿一一莱布尼兹公式：牛顿一一莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。(7) .原函数存在定理：(8) .定积分的性质：（二）小积分的计算：i;(9) .换元积分(10) .分部积分(11) .广义积分(12) .定积分的导数公式（三）定积分的应用1.平面图形的面积：与 x 轴所围成的图形的面积 y1.求

21、出曲线的交点，画出草图；2.确定积分变量，由交点确定积分上下限；3.应用公式写出积分式，并进行计算。2 .旋转体的体积及 x 轴所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积：J0.厂bx_y及 y 轴所围成图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积：,3 一Ii-JI1-第四章多元函数微积分初步.II/,1，偏导数与全微分一.主要内容：.多元函数的概念c)二元函数的定义：d)二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。(而一元函数是平面上的曲线).二元函数的极限和连续：.极限定义：设 z=f(x,y)满足条件：.连续定义：设 z=f(x,y)满足条件：.偏导数：.全微分：.定义:z=f(x,y)是工=f(X

22、,y)在点(x,y)处的全微分。.全微分与偏导数的关系f(x).复全函数的偏导数:.设：z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y).设丫=f(U,V) ),U=U( (X) ),V=V( (X) ).隐含数的偏导数：.设F(x,y,z)=0,z=f(x,y),且Fz#0.设F(x,y)=0,y=f(x)，且Fy#0.二阶偏导数：.二元函数的无条件极值.二元函数极值定义：-极大值和极小值统称为极值，xxJ7极大值点和极小值点统称为极值点。.极值的必要条件：两个一阶偏导数存在，则：1使fx(x0,y0)=f；(x0,y0)=0的点(x0,yO),而非充分条件。22.例：z=y-x1%I-

23、I驻点不一定是极值点。e)极值的充分条件：求二元极值的方法：极值点。二倍角公式：(含万能公式)-一.9+H6sin2=2sinccos-=吟-tgJ)，2.2.一2._2.1-tg二cos21-cos二-sin二-2cos-1=1-2sin1二2-1tgl第五章排列与组合(1)加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。(2)乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完.1I.成。i排列：从 n 个不同元素里，任取(1mn)个元素，按照一定的顺序排列成一I.j./；列，称为从 n 个不同元素里取出 m 个元素的一个排列，计算公式：，品./一,.一(

24、1MmMn)/,.,/一组合：从 n 个不同元素里，任取(lmn)个元素组成一组，叫做从 n 个不同mnC或()元素里取出 m 个元素的一个组合，组合总数记为nn,计算公式:第六章概率论符号概率论集合论样本空间全集1r11X.%F/不可能事件空集基本事件集合的元素A事件子集二上丑堂1tg2u2cos211cos2A 的对立事件A 的余集事件 A 发生导致A 是 B 的事件 B 发生子集A=BA 与 B 两事件相等集合 A 与B 相等事件 A 与事件 B至少有一个发生A 与 B 的并集事件 A 与事件 B 同时发生A 与 B 的交集A-B事件 A 发生而事件B 不发生A 与 B 的差集事件 A

25、与事件 B 互产1不相容11A 与 B 没有相同元素由于随机事件都可以用样本空间 Q 中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来讨论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示LI-I事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。各事件的关系运算如图示：9,完备事件组n 个事件 4 出,4,如果满足下列条件：4U&UU*G；(2)4 口 4=中1/=1，入川，则称其为完备事件组。显然任何一个事件 A 与其对立事件月构成完备事件组10.事件运算的运算规则：(1)交换律月凡，总(2)结合律

26、 SUqU-rUtEg(3)分配律切 nc“nGU(Enc)(4)对偶律(二国=皿及可 R=率的古典定义定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为 n,事件 A 包河月)=竺1含的基本事件数为 m,则事件 A 发生的概率为理。概率的基本性质与运算法则111I性质 1.0P(A)I特别地，P()=0,P(Q)=1力./I、Z/1/Z；J产性质 2.若,则 P(B-A)=P(B)-P(A)性质 3.(加法公式).对任意事件 A,B,有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)。推论 1.若事件 A,B 互不相容(互斥)，则 P(A+B)=P(A)+P(B)推论 2.对任一事件 A,有

27、嗝P推论 3.对任意事件 A,B,C,有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)%.FI条件概率、乘法公式、事件的独立性条件概率定义 1:设有事件 A,B,且 P(B)0,称类似地，如果 P(A)0,则事件 B 对事件 A 的条件概率为概率的乘法公式乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件 A,B,C,有事件的独立性一般地说，P(A|B)?P(A),即说明事件 B 的发生影响了事件 A 发生的概率。若P(A|B)?P(A),则说明事件 B 的发生在概率意义下对事件 A 的发生无关，这时称事件 A,B 相互独立。定义：对于事件 A,B

28、,若 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A 与事件 B 相互独立。独立试验序列概型在相同的条件下，独立重复进行 n 次试验，每次试验中事件 A 可能发生或可能不发生，且事件 A 发生的概率为 p,则在 n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为一维随机变量及其概率分布J/,I1(一)随机变量.随机变量定义：设 Q 为样本空间，如果对每一个可能结果口，变量 X 都有一个确定的实数值/叮)与之对应，则称 X 为定义在 Q 上的随机变量，简记作乂(或彳)。.离散型随机变量定义： 如果随机变量 X 只能取有限个或无限可列个数值， 则称 X 为离散型随机变量。(二)分布函数与概率分布布函数定义

29、：设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，则函数四工”户(工幻(S3称为随机变量 X 的分布函数。分布函数 F(x)有以下性质：F(x)是 x 的不减函数，即对任意可沁有网砧*网肛)口飞)跃工+0”15小)F(x)是右连续的，即 e(5)对任意实数 ab,有 PaXwb=F(b)-F(a)2,离散型随机变量的概率分布则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布(或概率函数或分布列)。离散型随机变量 X 的概率分布也可以用下列列表形式来表示：3.分布函数与概率分布之间的关系尸兀”名网若 X 为离散型随机变量，则。I.产随机变量的数字特征1.数学期望i!i,(1)数学期望的概念1定义：设 X 为离散型

30、随机变量，其概率函数为)J“力./IIJ产若级数绝对收敛，则称为 X 的数学期望，简称期望或均值，记作 EX,即(2)数学期望的性质若 C 为常数，则 E(C)=C若 a 为常数,则 E(aX)=aE(X)若 b 为常数，则 E(X+b)=E(X)+b若 X,Y 为随机变量，则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)2.方差(1)方差的概念定义：设 X 为随机变量，如果趴X2存在，则称取 X-瓯为 X 的方差,记作 DX,即如方差的算术平方根称为均方差或标准差，,X1一、二丁丁对于离散型随机变量 X,如果 X 的概率函数为=/=3=12E,则 X 的方差为 X(2)方差的性质若 C 为常数，则 D(

31、C)=0若 a 为常数,则次瓦一)=.以若 b 为常数，则 D(X+b)=D(X),；11/、.基本公式,i111。由ab=N(1)b-logaN(2)(1)对数的性质：,：I-1/I负数和零没有对数；1 的对数是零；底数的对数等于 1。(2)对数的运算法则：loga(MN)=logaM+logaN(M,N三R+)小MlogaN=logaM-logaNM,NRloga(Nn)=nlogaN(NWR+)loga%N=1logaNNRe+)nII3、对数换底公式：由换底公式推出一些常用的结论：lo9ab=或logablogba=110gbaloganbm=mlogabnloganbn=logabl

32、oganam=m三角函数的单调区间:x的递增区间是|2kn:-,2kir+1(kZ)一22递减区间是叫嗫加十幻);y=cosx的递增区间是2knn,2kn(k运Z),递减区间是2k二,2k二二1(kZ),y=tanx的递增区间是kn,kn+三(kwZ),Q,a?1)(6)(ex)=ex为雨】(8)x_gXJ|vU(sinx)=cosx(1。)(cosx)=sinx-L=sec3xCcotr)=-L-esc3x(11)(12)77(arcain)(15)(13)(secx)=secx(arccosx)三三tanx(14)(cscx)=cscxcotx(国xtsn1=/(3tCcotx)=一门(1

33、8)K数的四则运算法则设 u=u(x),v=v(X)均为 X 的可导函数，则有(1)(u 士 v)=u土 v(uv)=u-v+u-v(cu)=c-u(uv-w)=uvw+uvw+uv-w.复合函数求导法则如果 u=(|)(x)在点 x 处可导，而 y=f(u)在相应的点 u=(|)(x)处可导，则%，I./复合函数 y=fx0在点 x 处可导，且其导数为I!八同理，如果 y=f(u),u=“)，v=少仅)，则复合函数 y=f(x0)的导ii|i,数为.反函数求导法则力./I、Z/1/Z；J产如果 x=(|)(y)为单调可导函数，则其反函数 y=f(x)的导数17、微分的计算dy=f，(x)dx

34、求微分 dy 只要求出导数 f(x)再乘以 x,所以我们前面学过的求导基本公式与求导法则完全适用于微分的计算。于是有下列的微分公式及微分法则：(1)d(c)=0(c 为常数)(2)取/)=产以(口为任意实数)d(ex)=exdxd(sinx)=cosxdxd(cosx)=-sinxdx)d(cu)=cdu18、微分形式不变性设函数 y=f(u),则不论 u 是自变量还是中间变量，函数的微分 dy 总可表示为uv-uV(v*0)dy=f，(u)du19、常用的凑微分公式:dr=d(ax+b)fdr2x+l=J-d(2x+1)22x+l=i-ln12H+1+Cfax+b)dx=f(ax-b)a(ax+b)a=d(ax2+b)j=dx=2d而la,W“-，3,团=一及0)secxdx=