2020版高考数学一轮复习数列第3讲等比数列及其前n项和讲义理含解析

1、第 3 讲等比数列及其前n项和考纲解读1.理解等比数列的概念及等比数列与指数函数的关系.2 .掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.(重点)3 .熟练掌握等比数列的基本运算和相关性质.(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的重点.预测 2020 年高考将会以等比数列的通项公式及其性质、等比数列的前n项和为考查重点，也可能将等比数列的通项、前n项和及性质综合考查，此外，还可能会与等差数列综合考查.题型以客观题或解答题的形式呈现，属中档题型.-基础知识过关-1 .等比数列的有关概念

2、(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第口空项起，每一项与它的前一项的比等于口02同一常数,那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的口03公比,公比通常用字母口 04q(qw0)表示.数学语言表达：-aL=q(n2),q为常数，qw。.An-1(2)等比中项如果 05a,Gb成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等比中项？a,Gb成等比数列？i6Gab.2 .等比数列的通项公式及前 n 项和公式(1)若等比数列an的首项为 ab公比是 q,则其通项公式为an=11a1qn1；可推广为an=02adm(2)等比数列的前 n 项和公式：当 q=1 时，&=na；当 q

3、wi 时，S=3 .等比数列的相关性质设数列an是等比数列，S是其前n项和.(1)若mn=p+q,则aa三唱，其中簿n,p,qN.特别地，若2s=p+r,则apar=a2,其中p,s,rCN.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列，公比为芈 qm(k,mEN).若数列an,bn是两个项数相同的等比数列，则数列ban,a1anq1q一pan,pan-qbn和qbn（其中b,p,q是非零常数)也是等比数列.nm.4 4)Sm+n=Sn+qSm=Sm+qSn.(5)当 qw1 或q=1 且k为奇数时，Sk,GkS,SkS2k,是等比数列，公比为qk.当

4、 q=1 且k为偶数时，Sk,S.k-Sk,$k不是等比数列.(6)若ai,a23n=Tn,则Tn,成等比数列.In12nSSwai(7)右数列an的项数为 2n,则=q；右项数为 2n+1,则一=q.SwS禺口诊断fM1 .概念辨析.一.一.一.-.(1)满足an+1=qan(nCN,q为常数)的数列an为等比数列.()2 2)G为a,b的等比中项？G2=ab.()(3)如果数列an为等比数列，则数列lgan是等差数列.()a1an(4)若数列an的通项公式是an=an，则其前n项和为 S=.()-a(5)若数列an为等比数列，则S4,S8-S4,S2S8成等比数列.答案(1)X(2)X(3

5、)X(4)X(5)X2.小题热身(1)在等比数列an中，a3=2,a7=8,则a5等于()A.5B.5C.4D.4答案 C解析设等比数列an的公比为q,则q4=-a7=|=4,q123=2,所以a5=a3q2=2x2=4.a32(2)在等比数列an中，已知a1=1,a4=64,则公比 q=,&=.答案一 4513a4a1a4q解析q=一=64,q=-4,&=a11-q(3)已知数列an是递增的等比数列，a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和为解析因为 ai=2,an+i=2an,所以 anW0,故=2.an一.口一，212nin所以数列an是公比为 2 的等比数列，因为&=126,

6、所以一-=126,所以 2=1264,故 n=6.答案 2n1解析因为数列an是等比数列，所以a1a4=a2a3=8.2又a1+a4=9,所以asa4是方程x9x+8=0 的两个根.3a4又因为 a10,并不适合所有情qq况)，这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便.(2)基本量计算过程中涉及的数学思想方法方程思想，即“知三求二”.分类讨论思想，即分 q=1 和 qwi 两种情况，此处是常考易错点，一定要引起重视.整体思想.应用等比数列前n项和公式时，常把qn,一二当成整体求解.i1-q【巩固迁移】1.等比数列an的前n项和为$=321+r,则r的值为(答案 B解析当n2时，an=$1

7、=32n一+r32n-3r=8323,当n=1时，a1=Si=32+r=3+r,数列是等比数列，当 a1满足 an=833,即 8,323=3+r=鼻，即 r=,故选 B.332. (2018滨海新区期中)已知递增等比数列an的第三项、第五项、第七项的积为 512,且这三项分别减去 1,3,9 后成等差数列.(1)求an的首项和公比；(2)设 S=a1+a2+a；求 S.解(1)根据等比数列的性质，可得a3a5a7=a5=512,解得a5=8.设数列an的公比为q,则a3=Fa7=8q2,q由题设可得争一 1+(8q2-9)=2(8-3)=10,q解得q2=2 或；.an是递增数列，可得 q1

8、,q2=2,得 q=72.因此a5=a1q4=4a1=8,解得a1=2.(2)由(1)得an的通项公式为an=a1qn1=2X(2)n1=(.：2)n+1,-a2=(g 广=2n+1,可得a：是以 4 为首项，公比等于 2 的等比数列.ccC412n因此 S=a1+a2+an=24.12题型等比数列的判断与证明多维探究I【举例说明】an(2018全国卷 I)已知数列an满足ai=1,nan+i=2(n+1)an,设bn=.求bi,b2,b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式.2n+1解(1)由条件可得an+1=nan.将 n=1 代入，得 a2=4a1,而

9、d=1,所以 a=4.将 n=2 代入，得a3=3a2,所以a3=12.从而 3=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列.由题设条件可得 X=至，即bn+1=2bn,n+1n又b1=1,所以bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列.(3)由(2)可得(=2nT,所以an=n2nT.条件探究 1 将举例说明条件改为“a1=1,a2-(2an+1-1)an-2an+1=0,且an0，求an的通项公式.解由a2(2an+11)an2an+1=0 得 2an+4an+1)=an(an+1).一，,，1,故an是首项为 1,公比为 5 的等比数歹U,因此 an=2n_n.

10、条件探究 2 将举例说明条件改为“对任意的 nCN*,有 an+S=n.设 bn=an1，求证：数列bn是等比数列.1证明由a1+S=1及a=S,得a1=5.又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1,得an+1an+an+1=1,2an+1=d+1.-2(an+11)=an1,即 2bn+1=bn.,一 1，.1,数歹 Ubn是以b1=a11=2 为首项，2 为公比的等比数列.I【据例说法】等比数列的判定方法(1)定义法：若的”=q(q为非零常数，nCN*)或q(q为非零常数且n2,nCN*),aAn1则an是等比数列.见举例说明(2).因为an的各项都为正数，所以an+1107=2.(

11、2)等比中项公式法：若数列an中，anwo且a：+i=anan+2(nCN*),则数列an是等比数列.(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=c-qn(c,q均是不为 0 的常数，nN*),则an是等比数列.(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和 S=kqnk(k为常数且 kw0,qw0,i),则an是等比数列.提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.【巩固迁移】1 .已知an,bn都是等比数列，那么()A.an+bn,an,bn都一定是等比数列B.a

12、n+bn一定是等比数列，但an-bn不一定是等比数列C.排+bn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列D.an+bn,anbn都不一定是等比数列答案 C解析an=1,bn=(1)n,则an,bn都是等比数列，但an+bn不是等比数列；设等比数列an的公比为 p,等比数列bn的公比为 q,an+1bn+1an+1bn+1所以数列anbn一定是等比数列.2. (2016全国卷出)已知数列a的前n项和Sn=1+入 an,其中入 wo.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；.31,(2)右 Ss=,求入.32解(1)证明：由题意得 a1=S=1+入&1,一一 1故入 w1,a1一,aw0.1

13、一入由 Sn=1+入 an,&+1=1+入 an+1 得 an+1=入 an+1入 an,即&+1(入一 1)=入 an.由 a1W0,、aaLL.、，an+1入入 w0 倚 anw0,以=.an入一 11 人因此an是首项为-公比为-；的等比数列,1人人一 1n(2)由得anbnanLq.解析设数列3n的公比为q,由已知得313332017=1,323432018=mq1009=n解得q=1009/mP 角度 3 等差数列与等比数列的综合3.(2017 全国卷I)记 S 为等比数列3n的前n项和.已知 G=2,S(1)求3n的通项公式；(2)求 S,并判断$+1,S,$+2是否成等差数列.解

14、(1)设3n的公比为q.由题设可得311+q=2,311+q+q2=6.解得 q=-2,31=-2.故3n的通项公式为3n=(-2).(2)由(1)知31=-2,q=-2,所以Sn+1=31+32+3n+3n+1=31+qS=22$.S+2=31+32+33+3n+2231露即132.解得入=1.题型三等比数列前n项和及性质的应用【举例说明】K 角度 1 等比数列通项的性质1.若等比数列an的各项均为正数，且310311+39312=2e5,则 lnadln32+ln320答案 50解析因为等比数列3n中，310-311=39-312,所以由310311+39312=2e5,可解得310-31

15、1=e5.所以 ln31+ln32+ln320=ln(31,32320)=ln(310,311)10=10ln(310,311)=10lne=50.K 角度 2 等比数列的前n项和的性质2.数列3n是等比数列，前 2018 项中的奇数项之积是 1,偶数项之积是的公比为()m则数列3nA.10%B.m009C.答案 A1009/mD,土m009则公比q满足一 6.由&=1=31+32+qS=2+4+4$=2+4Sn.所以Sn+l+Sn+2=(2-2Sn)+(2+4Sn)=2s,所以Sn+1,Sn,S+2成等差数列.【据例说法】1.掌握运用等比数列性质解题的两个技巧(1)在等比数列的基本运算问题中

16、，一般是列出ai,q满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件.(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：若an是等比数列，且an0,则logaan(a0 且aw1)是以 loga为首项，logaq为公差的等差数列.若公比不为 1 的等比数列an的前 n 项和为 S,则 S,S2nS,SnSn 仍成等比数列，其公比为 qn.如巩固迁移 3.2 .牢记与等比数列前n项和Sn相关的几个结论(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列an中，公比为q.若共有 2n项，则S偶：$奇=4；aa2n1qSwa1若

17、共有 2n+1 项，则S奇一S偶=一-q(qwi 且 q*-1),三一=q.1qS禺(2)分段求和：&+亡Sn+qnS?qn=S+,S(q为公比).如举例说明 3 和巩固迁移 1.【巩固迁移】1. (2018青岛模拟)已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,且满足a6,3a4,Sas成等差数列，则三=()S?A.3B.9C.10D.13答案 C解析设等比数列an的公比为 q,因为a6,3a4,as成等差数列，所以 6a4=a6as,所以 6a4=a4(q2q).由题意得a40,q0.所以 q2q6=0,解得 q=3,2c所以-=1+q2=10.S2S22. (2015,全国卷n)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+as=21,则 a+as+a7=()A.21B.42C.63D.84答案 B解析设an的公比为q,由ai=3,ai+33+85=21 得 1+q2+q4=7,解得q2=2（负值舍去）.，33+35+37=aiq2+