有关三角形及其概念经典习题

1、11、三角形及有关概念【知识精读】1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2. 三角形中的几条重要线段：1三角形的角平分线三条角平分线的交点叫做内心2三角形的中线三条中线的交点叫重心3三角形的高三条高线的交点叫垂心3. 三角形的主要性质1三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；2三角形的内角之和等于 180 °3三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和;4三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；5三角形具有稳定性。4补充性质：在 ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一

2、点，那么S ABES CDES BDES CAEA/I三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的一种， 而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成假设干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线， 也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的根底。5.三角形边角关系、性质的应用【分类解析】例1.锐角三角形ABC 中，/ C=2/B，那么/B的范围是A.10/ B20B. 20/ B30C.30/ B45D. 45/ B60分析：因为ABC为锐角三角形，所以 0

3、/ B 90又/ C= 2/ B,0 2 / B 900/ B 45又/A为锐角， / A 180/ B / C为锐角/ B / C 903/ B 90，即/ B 3030/ B 45，应选择C。例2.选择题：三角形的一个外角等于160°,另两个外角的比为 2:3，那么这个三角形的形状是 A.锐角三角形B.直角三角形C钝角三角形D.无法确定分析：由于三角形的外角和等于360。，其中一个角，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。解：三角形的一个外角等于 160 °另两个外角的和等于 200°设这两个外角的

4、度数为 2x, 3x2x 3x 200解得：x 402x 80, 3x 120与80°相邻的内角为100°这个三角形为钝角三角形应选C11例3.如图，：在 ABC中，ABAC，求证：/ C / B。22A/、E/z查I/F BC1分析：欲证/ C Z B，可作/ ABC的平分线BE交AC于E,只要证/ C / EBC 21即可。为与题设 AB AC联系，又作 AF/BE交CB的延长线于F。2显然Z EBC = Z F,只要证 Z C Z F即可。由AF 2AB AC可得证。证明：作Z ABC的角平分线 BE交AC于E,过点A作AF/BE交CB的延长线于FAF/BE,Z F

5、Z EBC,Z FAB Z ABE又 BE 平分Z ABC ,/ EBC = Z ABE Z F=Z FAB , AB = BF又 AB + FB > AF，即 2AB > AF1又 AB AC, AC AF21Z F Z C，又 Z F Z ABC21 1例4.：三角形的一边是另一边的两倍。求证：它的最小边在它的周长的一与一之间。64分析：首先应根据条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系加以证明。AbcBaC证明:如图，设ABC的三边为a、b、c，其中 a 2c，因此,因此,ac，ac是最小边,2c2cb 3c3c c，即 c -(a b c)61(a b c)

6、6故最小边在周长的1c (a b41 1一与一之间。64c)中考点拨:例1.选择题:如图是个任意的五角星,它的五个顶角的和是A. 50B.100C.180D. 200分析：由于我们学习了三角形的内角、 角的问题。解： / C / E / AGF,/ B/ A / B / C / E / D所以选择C例2.选择题：三角形的两边分别为A.大于2B.小于12分析：根据三角形三边关系应有所以应选C例3.：P为边长为1的等边求证：3 PA PB PC2外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形/ D / AFG/ A / AGF / AFG 1805和7,那么第三边x的范围是C.大于2小于12 D.不能

7、确定5x75，即 12 x 2ABC内任一点。2AA/1 / E * F/ 7 PBC证明：过P点作EF/BC，分别交 AB于E,交AC于F, 那么/ AEP =Z ABC = 60°/ EAP / EAF 60/ APE 60在AEP中，/ APE / AEP,AE AP/ AFE / ACB 60，/ AEF 60AEF是等边三角形AFEFAEAPBEEPBPPFFCPCAEEBEPPEFCAPBPPCABEFFCAPBPPCABAFACAPBPPCPBPAPCABAC2PAPBABPBPCBCPCPAAC2 PAPBPC AB BC AC 332 PA PB PC 2题型展示：

8、例1.：如图，在 ABC中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点。求证:1/ BEC >/ BAC ;2AB + AC > BE + EC。分析：在1中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在2中，添加一条辅助线,转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。证明：1T/ BED是 ABE的一个外角，/ BED / BAE同理，/ DEC / CAE/ BED / DEC / BAE / CAE即 / BEC / BAC2延长BE交AC于F点ABAFBEEF又EFFCECABAFEFFC BE EF EC即ABACBEEC例2.求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角

9、等于45°。：如图，在 ABC中， C 90， EAB、 ABD是 ABC的外角，AF、BF分别平分/ EAB及/ ABD。求证：/ AFB = 45°CABED|/F分析：欲证 / AFB 45，须证 / FAB / FBA 135/ AF、BF 分另平分/ EAB 及/ ABD要转证/ EAB +Z ABD = 270°又/ C = 90°,三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和问题得证证明：I / EAB =Z ABC +Z C/ ABD =/ CAB +/ C/ ABC +Z C+Z CAB = 180°,/ C= 90°

10、/ EAB / ABD / ABC / C / CAB / C 180 90270/ AF、BF分别平分Z EAB及Z ABD11Z FAB Z FBA Z EAB Z ABD 27013522在 ABF 中，Z AFB180Z FABZFBA 45【实战模拟】1.：三角形的三边长为3,8, 1 2x,求x的取值范围。2.： ABC中，ABBC,D点在BC的延长线上，使 AD BC , BCACAD，求a和B间的关系为?3.如图，ABC中，ABC、 ACB的平分线交于P点，BPC 134 ，那么 BAC A. 68°B.80°C.88°D.46°4.：如

11、图,AD是 ABC的BC边上高，AE平分BAC 。求证： EAD 1 C25.求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。【试题答案】1. 分析：此题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。解: 三边长分别为3, 8, 12x，由三边关系定理得51 2x1142x102x52.解:ABBC,BCABAC又ADBC,AD ABDB，又BCADBDB根据三角形内角和，得:180180解:3.PBCPCB 46 BP、CP为Z B、Z C的平分线Z PBC-Z ABC,Z PCB -2 2Z ACBZ PBC1ZPCBZABC ZACB2Z ABCZ ACB 2 4692Z BAC180 Z ABC Z ACB88BPC134又4.证明：/ EAD / EAC / CAD1/ AE 平分/ BAC , Z EAC - Z BAC 2又 AD 丄 BC, Z ADC 90Z CAD 90 Z C又 Z BAC 180 Z B Z C1/ EAD / BAC / CAD21180/ B / C 90/ C211丄/ C丄/ B221Z EAD - Z C Z B25.证明：如图，设 ABC的Z BAC和Z ABC的外角平分线交于点 DZ