等价无穷小量替换定理

1、§2-6无穷小与无穷大的比较基础知识导学1、无穷小的比较定义1设a、3是某一极限过程中的两个无穷小，若limc(c为常数)则(1)当cw0时，称在此极限过程中B与“是同阶无穷小；(2)当C=0时，称在此极限过程中B是a的高阶无穷小，记作B=0(a)(读作小欧a)；(3)当C=1时，称在此极限过程中B与a是等价无穷小，记作3a。2、无穷大的比较定义2设Y、Z是同一极限过程中的两个无穷大量，、Z(1)如果lim=cW0则称Y与Z是同阶无穷大量；Y，、Z(2)如果lim=8时，则称Z是Y的高阶无穷大量；Z(3)如果limYk=c丰0(k>0)，则称Z是关于(基本无穷大量)Y的k阶无穷

2、大量。3、无穷小的阶与主部定义3把某极限过程中的无穷小a作为基本无穷小，如果B与k(k>0)是同阶的无穷小，即limT=cw0则称3是关于a的k阶无穷小。重点难点突破1 .关于无穷小的比较要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无穷小量比的极限，再根据定义判断两个无穷小的关系。注意(1)符号B=O(a)与Ba的含义B=O(a)表示B是a的高阶无穷小，即lim0；Ba表小B与a是等价无穷小，即lim1(1) 同阶不一定等价，等价一定同阶。(2) 利用等价无穷小求极限等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换：若aa',B且lim存在，则lim一=lim一无穷小量

3、的比较表设在自变量XX0的变化过程中，(x)与(x)均是无穷小量无穷小的比较记号(x)是比(x)高阶的无穷小lim()0Xx0(x)(x)(x)(xx0)(x)与(x)是同阶的无穷小limqC(C为不等于零的常数)Xx0(x)a(x)与(x)是等阶无分小lim()1xxoa(x)(x)(x)(xx°)2.关于无穷小的阶当x-0时，由恒等式(i)o(xn)+o(xm)=o(xn)(ii)o(xn)o(xm)=o(xm+n)3.关于无穷小的替换定理0V n v mm>0, n>0设当xx0时，1(x)2(x)1(x)2(x)limxx故存在，则lim上)2(x)xX。1(x)

4、解题方法指导2(x)2(x)limx01.判断无穷小的阶有以下几种方法例1当x-0时，下列无穷小量是(仅供参考)：x的几阶无穷小x-3x3+x5sinxtgx解：因为当x-0时，在x-3x3+x5中3x3与x5都是x的高阶无穷小,35x3xx)1由恒等式(i)x所以，当x一0时，x-3x3+x5是x的一阶无穷小因为当x一0时，sinxx,tgxx,由恒等式(ii)可得sinxtgx=o(x2),即limx0sinxtgx所以，当x一0时，sinxtgx是x的二阶无穷小(2)先将原式变形，再判断阶数例2当x-0时，下列无穷小量是x的几阶无穷小tgx-sinx解：通过分子有理化将原式变形.1x-1

5、x=2x1x1x由此看出，当x-0时，J1xV1x是x的一阶无穷小，事实上2xx0x(1x.11x)通过三角函数的公式将原式变形一sinxtgxsinxsinxsinx(1cosx)cosxcosx因为sinxx,1-cosx1x22由此看出，当x-0时，tgx-sinx是x的三阶无穷小，事实上limsin x(1 cosx)3-x ?cosxlimx 0x?1x22""3"Zx ?cosx此题错误解法:解：因为limx 0tgx sin xlimx 0tgx sinx所以，当x-0时,tg x - sin x是x的一阶无穷小这种解法是错误的，因为由无穷小阶的定义

6、,k比的极限不能为零。ln(1 x) ex 1,2求下列函数的极限(1)1 cosx3x2(2) limx 0tan x sin x(2)(1)1 cosx lim z- x 0 3x21 2 -x=lim 2-x 0 3x2limx 0tan x sin x-3sin x=limx 0sin x(16 cosx)3x cosxsin x(1 cosx)0,1cosx 1x2 ).22.利用等价无穷小代换求极限常用等价无穷小有：当x0时,xsinxtanxarcsinxarctanx/121cosxx,2xsin2xtan2x.cosx2sin2=l如0,sin2x2小结利用等价无穷小可代换整个分子或分母，